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1、 17.3 Green 公 式 (I)（ George Green， 17931841） 一 、 Green公 式 及 簡 單 應 用二 、 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關 性三 、 二 元 函 數(shù) 的 全 微 分 求 積主 要 內 容 一 、 Green公 式 及 簡 單 應 用復 連 通 區(qū) 域單 連 通 區(qū) 域區(qū) 域 連 通 性 的 分 類 .1 , 為 平 面 區(qū) 域設 D 內 任 一 閉 曲 線如 果 D , D所 圍 成 的 部 分 都 屬 于 為 平 面 單 連則 稱 D;通 區(qū) 域 .否 則 稱 為 復 連 通 區(qū) 域D D 公 式Green .2定 理 1 則 有 LD

2、QdyPdxdxdyyPxQ )( 公 式 Green函 數(shù) 注 ： 的 正 方 向的 邊 界 曲 線 LD ,當 人 沿 邊 界 行 走 時 .)( 的 左 側他總 在 她區(qū) 域 D負 方 向 ? 右 側D D LD QdyPdxdxdyyPxQ )(待 證 表 達 式 LD QdydxdyxQ LD PdxdxdyyP等 價 于 證 明型 區(qū) 域y 型 區(qū) 域x分 析 ：證 明 依 賴 于 區(qū) 域 的 形 狀 單 連 通復 連 通 型又既 yx 一 般 區(qū) 域 o xy Da b)(1 xy )(2 xy cd )(2 yx )(1 yx A BC E證 明 : ),()(),( 21 b

3、xaxyxyxD ),()(),( 21 dycyxyyxD o xy Dcd )(2 yx )(1 yx A BC ED dxdyxQ dcdc dyyyQdyyyQ ),(),( 12 CAECBE dyyxQdyyxQ ),(),( EACCBE dyyxQdyyxQ ),(),( L dyyxQ ),(dxxQdy yydc )( )(21同 理 可 證 LD dxyxPdxdyyP ),(兩 式 相 加 得 LD QdyPdxdxdyyPxQ )( LD1D 2D3D 321 )()( DDDD dxdyyPxQdxdyyPxQ 型型 又 是分 成 三 個 既 是用 光 滑 曲 線

4、將 yxD ., 321 DDD的 區(qū) 域 LD1L 2L3L 1D 2D3D 321 )()()( DDD dxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321 LLL QdyPdxQdyPdxQdyPdx L QdyPdx G F CE3L2L1L AB, 2 BALABD的 邊 界 線 由則 CGAEC及, 3LCEAFC.構 成 D dxdyyPxQ )( CEAFCBALAB 2 CGAECL QdyPdx )(3, 2 知由 L QdyPdx 2 3 1 )( L L L QdyPdx . LD QdyPdxdxdyQP yx :便 于 記 憶 的 形 式 D簡 單 應 用 .

5、3 xyo LA BBOABOAL LD xdydxdy BOABOA xdyxdyxdy .41 2rdxdyxdy DAB 簡 化 曲 線 積 分 )1( 1987年 考 研 試 卷 一 ， 一 (4) 18 L xx dyaxyedxyxbyeI )cos()(sin( 3 求例 ).00(2)0,2( 2 ，到沿 曲 線從 點其 中 OxaxyaAL .)4()22( ,9 2 222 L dyxxdxyxyI yxL求 取 正 向 的 圓 周設例 1999年 考 研 試 卷 一 ， 四 解 xyo LD.022 L yx ydxxdy L 1Drly xo lL yx ydxxdyy

6、x ydxxdy 2222 xyo r 1DlL02222 lL yx ydxxdyyx ydxxdy .2 (注 意 格 林 公 式 的 條 件 ) dr rr 2 2222 sincos 20所 以 . ,)1( ,)01(,4 5 22 取 逆 時 針 方 向為 半 徑 的 圓 周 為 中 心，是 以 點其 中計 算例 RR Lyx ydxxdyL解 .)0,0(),( ,)4( 4 222 22 yxxQyx xyyP ,4: 222 ayxlL 內 取 一 小 橢 圓在 2000年 考 研 試 卷 一 、 五.方 向 為 逆 時 針 方 向并 取 l lL yx ydxxdyyx y

7、dxxdyI 2222 44 l ydxxdya21 22242 21 ayx dxdya :公 式 知由 Green. Green公 式 應 用 技 巧 :, )( 內 無 奇 點Di 則所 圍 區(qū) 域 為是 封 閉 曲 線如 , , .1 DL ;直 接 用, )( 內 有 奇 點Dii ;挖 掉 再 用 , .2 是 非 封 閉 曲 線如 L .先 補 再 用不 閉 則 補 ， 出 奇 則 挖 計 算 二 重 積 分 )2( xyo AB 11 D BOABOA yD y dyxedxdye 22 10 22 dxxedyxe xOA y ).1(21 1 e 計 算 平 面 面 積 )

8、3(格 林 公 式 LD yQxPyxyPxQ dddd推 論 : 正 向 閉 曲 線 L所 圍 區(qū) 域 D的 面 積,dd21 L xyyxA , L xdyA . L ydxA例 如 , 橢 圓 20,sincos: by axL 所 圍 面 積 . L xyyxA dd21 ab 解 L ydxxdyA 21 AMOONA ydxxdyydxxdy 2121 )0,(aANM AMO ydxxdy21 .614 20 adxxa a L l例 8 為 平 面 上 封 閉 曲 線 , 為 任 意 方 向 向 量 ，0),cos( L dsnl n L則 的 外 法 線 方 向 。 為( ,

9、 )l a b (cos( , ),cos( , )n n x n yL(cos( , ),cos( , ) ( cos( , ),cos( , )t x t y n x n y 證 明 ： 設 ，的 切 線 方 向 2 2 2 2cos( , ) cos( , ) cos( , )L L a bl n ds n x n y dsa b a b 2 2 2 2 2 2 2 2 cos( , ) cos( , )0L La b a bt y t x ds dy dxa b a b a b a b = G u vu vdxdy dsn nu v u v 例 ( cos cos ) ( cos co

10、s )u v u u v vds v u dsn n x y x yu v ( cos cos ) ( cos cos )( )cos ( )cos( )cos( , ) ( )cos( , )u u v vv u dsx y x yu v v vv u v u dsx x y yu v v vv u t y v u t x ds x x y y 證 明 ： = ( ) ( )( ) ( )D u v u vv u dx v u dyy y x xu v u vv u v u dxdyx x x y y y 2 2 2 2 2 2 2 2D v u u u v v v u u u v vv u

11、 v u dxdyx x x x x x y y y y y y ( )D G u vv u u v dxdy du v ),( yxu DD 0(0,0) D 2 2x yD xu yu dxdyx yD 2 2 2 21 1(0,0) 2 2 x yD D xu yuxdy ydxu u dxdyx y x y 例 7： 設 在 分 段 光 滑 閉 曲 線 圍 成 的 有 界 閉 區(qū) 域上 連 續(xù) 一 階 偏 導 數(shù) 在 上 可 積 證 明 2 2 2( , )D x y x y D D D 設 ，證 明 ： 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2D D DDD xdy ydx ux

12、 uyu dxdyx y y x y x x yux uy dxdyy x y x x yxux yuydxdyx y = 2sin 02 2 22sin* * , sin( )2 cos , sinxyD u conu xdy ydx dx yu 而 0 2 2 2 21 10,0 2 2D Dxdy ydx xux yuyu u dxdyx y x y 令 1. 連 通 區(qū) 域 的 分 類 ;2. 二 重 積 分 與 曲 線 積 分 的 關 系 ;3. Green公 式 的 簡 單 應 用 . LD QdyPdxdxdyyPxQ )(小 結 .4 Dab DI 0,0,2 0,0,0思 考 題 ：