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1、第 五 講 Matlab優(yōu) 化 工 具 箱 簡 介 -optimization toobox1. 線 性 優(yōu) 化2. 非 線 性 優(yōu) 化3. 極 小 化 極 大 （ Minmax） 問 題4. 曲 線 擬 合 與 插 值 線 性 規(guī) 劃 問 題 是 目 標 函 數(shù) 和 約 束 條 件 均 為 線 性 函 數(shù) 的 問 題 ，MATLAB7.0解 決 的 線 性 規(guī) 劃 問 題 的 標 準 形 式 為 min sub. to： 其 中 f、 x、 b、 beq、 lb、 ub為 向 量 ， A、 Aeq為 矩 陣 .其 它 形 式 的 線 性 規(guī) 劃 問 題 都 可 經 過 適 當 變 換 化 為

2、 此 標 準 形 式 . 在 MATLAB5.x以 上 版 中 ， 線 性 規(guī) 劃 問 題 Linear Programming已 用 函 數(shù) linprog取 代 了 MATLAB5.x版 中 的 lp函 數(shù) .當 然 ， 由 于 版本 的 向 下 兼 容 性 ， 一 般 說 來 ， 低 版 本 中 的 函 數(shù) 在 7.0版 中 仍 可 使用 . nRxxf bxA beqxAeq ubxlb 5.1 線 性 優(yōu) 化 函 數(shù) linprog格 式 x = linprog(f,A,b) %求 min f *x sub.to 線 性 規(guī) 劃 的 最 優(yōu) 解 .x = linprog(f,A,b,

3、Aeq,beq) %等 式 約 束 ， 若 沒 有 不 等 式 約 束 ， 則 A= ， b= .x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) . %指 定 x的 范 圍 ， 若 沒 有 等 式 約 束 ， 則 Aeq= ， beq= .x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %設 置 初 值 x0.x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options為 指 定 的 優(yōu) 化 參 數(shù) .bxA x,fval = linprog() % 返 回 目 標 函 數(shù) 最 優(yōu) 值 ， 即 fval=

4、f *x.x,lambda,exitflag = linprog() % lambda為 解 x的 Lagrange乘 子 .x, lambda,fval,exitflag = linprog() % exitflag為 終 止 迭 代 的 錯 誤 條 件 .x,fval, lambda,exitflag,output = linprog() % output為 關 于 優(yōu) 化 的 一 些 信 息 .說 明 : 若 exitflag0表 示 函 數(shù) 收 斂 于 解 x， exitflag=0表 示 超 過函 數(shù) 估 值 或 迭 代 的 最 大 次 數(shù) ， exitflagf = -5; -4;

5、 -6; % 寫 成 行 向 量 亦 可 ！A = 1 -1 1;3 2 4;3 2 0;b = 20; 42; 30;lb = zeros(3,1);x,fval,exitflag,output,lambda = linprog(f,A,b,lb)結 果 為 ：x = %最 優(yōu) 解 0.0000 15.0000 3.0000fval = %最 優(yōu) 值 -78.0000exitflag = %收 斂 1 output = iterations: 6 %迭 代 次 數(shù) cgiterations: 0 algorithm: lipsol %所 使 用 規(guī) 則lambda = ineqlin: 3x

6、1 double eqlin: 0 x1 double upper: 3x1 double lower: 3x1 double lambda.ineqlinans = 0.0000 1.5000 0.5000 lambda.lower ans = 1.0000 0.0000 0.0000表 明 ： 不 等 約 束 條 件 2和 3以 及 第 1個 下 界 是 有 效 的 . 請 寫 出 下 面 線 性 規(guī) 劃 的 Matlab程 序 . c=-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6; A=0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0

7、.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08; b=850;700;100;900; Aeq=; beq=; vlb=0;0;0;0;0;0; vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) MATLAB求 解 優(yōu) 化 問 題 的 主 要 函 數(shù) 優(yōu) 化 函 數(shù) 的 輸 入 變 量 優(yōu) 化 函 數(shù) 的 輸 出 變 量 5.2非 線 性 優(yōu) 化5.2.1 有 約 束 的 一 元 函 數(shù) 的 最 小 值單 變 量 函 數(shù) 求 最 小 值 的 標 準 形 式 為 sub.to 函 數(shù) fminbnd格 式 x = fmi

8、nbnd(fun,x1,x2) %返 回 自 變 量 x在 區(qū) 間 上 函 數(shù) fun取 最 小 值 時 x值 ， fun為 目 標 函 數(shù) 的 表 達 式 字 符 串 或 MATLAB自定 義 函 數(shù) 的 函 數(shù) 柄 .x = fminbnd(fun,x1,x2,options) x,fval = fminbnd() x,fval,exitflag = fminbnd()x,fval,exitflag,output = fminbnd()x(fminx 21 xxx 例 5-2 計 算 下 面 函 數(shù) 在 區(qū) 間 (0， 1)內 的 最 小 值 . x3 e xlogxxcosx)x(f 解

9、 ： x,fval,exitflag,output=fminbnd(x3+cos(x)+x*log(x)/exp(x),0,1)x = 0.5223fval = 0.3974exitflag = 1 output = iterations: 9 funcCount: 9 algorithm: golden section search, parabolic interpolation 1)3x()x(f 3 例 5-3 在 0， 5上 求 下 面 函 數(shù) 的 最 小 值 解 ：先 自 定 義 函 數(shù) ： 在 MATLAB編 輯 器 中 建 立 M文 件 為 ：function f = myfu

10、n(x)f = (x-3).2 - 1;保 存 為 myfun.m， 然 后 在 命 令 窗 口 鍵 入 命 令 ： x=fminbnd(myfun,0,5)則 結 果 顯 示 為 ：x = 3 5.2.2 無 約 束 多 元 函 數(shù) 最 小 值多 元 函 數(shù) 最 小 值 的 標 準 形 式 為其 中 ： x為 向 量 .命 令 利 用 函 數(shù) fminsearch求 無 約 束 多 元 函 數(shù) 最 小 值 .函 數(shù) fminsearch格 式 x = fminsearch(fun,x0) %x0為 初 始 點 ， fun為 目 標 函 數(shù) 的表 達 式 字 符 串 或 MATLAB自 定 義

11、 函 數(shù) 的 函 數(shù) 柄 .x = fminsearch(fun,x0,options) % options查 optimset.x,fval = fminsearch() %最 優(yōu) 點 的 函 數(shù) 值 .x,fval,exitflag = fminsearch() % exitflag與 單 變 量 情 形 一 致 .x,fval,exitflag,output = fminsearch() %output與 單 變 量 情 形一 致 . )x(fminx x,x,xx n21 222132131 xxx10 xx4x2y 例 5-4 求 的 最 小 值 點 .解 ： X=fminsearc

12、h(2*x(1)3+4*x(1)*x(2)3-10*x(1)*x(2)+x(2)2, 0,0)結 果 為 X = 1.0016 0.8335或 在 MATLAB編 輯 器 中 建 立 函 數(shù) 文 件 .function f=myfun(x)f=2*x(1)3+4*x(1)*x(2)3-10*x(1)*x(2)+x(2)2;保 存 為 myfun.m， 在 命 令 窗 口 鍵 入 X=fminsearch (myfun, 0,0) 或 X=fminsearch(myfun, 0,0)結 果 為 ： X = 1.0016 0.8335 5.2.3 有 約 束 的 多 元 函 數(shù) 最 小 值非 線

13、性 有 約 束 的 多 元 函 數(shù) 的 標 準 形 式 為 ：sub.to 其 中 ： x、 b、 beq、 lb、 ub是 向 量 ， A、 Aeq為 矩 陣 ， C(x)、Ceq(x)是 返 回 向 量 的 函 數(shù) ， f(x)為 目 標 函 數(shù) ， f(x)、 C(x)、Ceq(x)可 以 是 非 線 性 函 數(shù) .在 MATLAB5.x中 ， 它 的 求 解 由 函 數(shù) constr實 現(xiàn) .)x(fminx 0)x(C 0)x(Ceq bxA beqxAeq ubxlb 函 數(shù) fmincon格 式 x = fmincon(fun,x0,A,b)x = fmincon(fun,x0,

14、A,b,Aeq,beq)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)x,fval = fmincon()x,fval,exitflag = fmincon()x,fval,exitflag,output = fmincon()x,fval,exitflag,output,lambda = fmincon()x,fval,exitflag,output,lambda,gra

15、d = fmincon()x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian = fmincon() 參 數(shù) 說 明 ：fun為 目 標 函 數(shù) ， 它 可 用 前 面 的 方 法 定 義 ；nonlcon的 作 用 是 通 過 接 受 的 向 量 x來 計 算 非 線 性 不 等 約 束 和 等式 約 束 分 別 在 x處 的 估 計 C和 Ceq， 通 過 指 定 函 數(shù) 柄 來 使 用 ， 如 ：x = fmincon(myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,mycon)， 先建 立 非 線 性 約 束 函 數(shù) ， 并 保 存 為 myco

16、n.m： function C,Ceq = mycon(x)C = % 計 算 x處 的 非 線 性 不 等 約 束 的 函 數(shù) 值 .Ceq = % 計 算 x處 的 非 線 性 等 式 約 束 的 函 數(shù) 值 .lambda是 Lagrange乘 子 ， 它 體 現(xiàn) 哪 一 個 約 束 有 效 .output輸 出 優(yōu) 化 信 息 ；grad表 示 目 標 函 數(shù) 在 x處 的 梯 度 ；hessian表 示 目 標 函 數(shù) 在 x處 的 Hessian值 . 例 5-5 求 下 面 問 題 在 初 始 點 （ 0， 1） 處 的 最 優(yōu) 解21212221 x5x2xxxx 0 x)1x

17、( 221 06x3x2 21 min sub.to 解 ： 約 束 條 件 的 標 準 形 式 為 ：sub.to 先 在 MATLAB編 輯 器 中 建 立 非 線 性 約 束 函 數(shù) 文 件 ： function c, ceq=mycon (x) c=(x(1)-1)2-x(2); ceq= ; %無 等 式 約 束 .0 x)1x( 221 6x3x2 21 然 后 ， 在 命 令 窗 口 鍵 入 如 下 命 令 或 建 立 M文 件 ：fun=x(1)2+x(2)2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2); %目 標 函 數(shù) .x0=0 1;A=-2 3; % 線 性 不 等

18、 式 約 束 .b=6;Aeq= ; % 無 線 性 等 式 約 束 .beq= ;lb= ; % x沒 有 下 、 上 界 .ub= ;x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,mycon) 則 結 果 為 x = 3 4fval = -13exitflag = 1 % 解 收 斂 . output = iterations: 2 funcCount: 9 stepsize: 1 algorithm: medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-sea

19、rch firstorderopt: cgiterations: lambda = lower: 2x1 double % x下 界 有 效 情 況 ， 通 過 lambda.lower可 查 看 . upper: 2x1 double % x上 界 有 效 情 況 ， 為 0表 示 約 束 無 效 . eqlin: 0 x1 double %線 性 等 式 約 束 有 效 情 況 ， 不 為 0表 示 約 束 有 效 . eqnonlin: 0 x1 double %非 線 性 等 式 約 束 有 效 情 況 . ineqlin: 2.5081e-008 %線 性 不 等 式 約 束 有 效

20、 情 況 . neqnonlin: 6.1938e-008 %非 線 性 不 等 式 約 束 有 效 情 況 . grad = %目 標 函 數(shù) 在 最 小 值 點 的 梯 度 . 1.0e-006 * -0.1776 hessian = %目 標 函 數(shù) 在 最 小 值 點 的 Hessian值 . 1.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 5.2.4 二 次 規(guī) 劃 問 題二 次 規(guī) 劃 問 題 （ quadratic programming） 的 標 準 形 式 為 ： sub.to 其 中 ， H、 A、 Aeq為 矩 陣 ， f、 b、 beq、 lb、 ub、 x

21、為 向 量其 它 形 式 的 二 次 規(guī) 劃 問 題 都 可 轉 化 為 標 準 形 式 . MATLAB5.x版 中 的 qp函 數(shù) 已 被 6.0版 中 的 函 數(shù) quadprog取 代 。xfxHx21min bxA beqxAeq buxbl 函 數(shù) quadprog格 式 x = quadprog(H,f,A,b) %其 中 H,f,A,b為 標 準 形 中 的 參數(shù) ， x為 目 標 函 數(shù) 的 最 小 值 .x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq滿 足 等 約 束 條 件 .x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,u

22、b) % lb,ub分 別 為 解 x的下 界 與 上 界 .x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0為 設 置 的 初 值x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options為 指 定 的 優(yōu) 化 參 數(shù) .x,fval = quadprog() %fval為 目 標 函 數(shù) 最 優(yōu) 值 .x,fval,exitflag = quadprog() % exitflag與 線 性 規(guī) 劃 中 參數(shù) 意 義 相 同 .x,fval,exitflag,output = quadprog() %

23、output與 線 性 規(guī) 劃中 參 數(shù) 意 義 相 同 .x,fval,exitflag,output,lambda = quadprog() % lambda與線 性 規(guī) 劃 中 參 數(shù) 意 義 相 同 . 3xx)0,0(xx01 10)xx(213xx)xx(fmin 2121212121 例 5-6 求 二 次 規(guī) 劃 的 最 優(yōu) 解 max f (x1, x2)=x1x2+3 sub. to x1+x2-2=0解 ： 化 成 標 準 形 式 ： sub.to x1+x2=2 在 Matlab中 實 現(xiàn) 如 下 ：H=0,-1;-1,0;f=0;0;Aeq=1 1;b=2;x,fva

24、l,exitflag,output,lambda = quadprog(H,f, , ,Aeq,b)結 果 為 ：x = 1.0000 1.0000 fval =-1.0000exitflag =4output = iterations: 1 algorithm: large-scale: projective preconditioned conjugate gradients f irstorderopt: 0 cgiterations: 1 message: Optimization terminated: local minimum found; the solution is sin

25、gular. lambda = eqlin: 1.0000 ineqlin: lower: upper: 5.3 極 小 化 極 大 （ Minmax） 問 題)x(Fmaxmin iFx i 0)x(C 0)x(Ceq bxA beqxAeq ubxlb sub.to 其 中 ： x、 b、 beq、 lb、 ub是 向 量 ， A、 Aeq為 矩 陣 ，C(x)、 Ceq(x)和 F(x)是 返 回 向 量 的 函 數(shù) ， F(x)、 C(x)、 Ceq(x) 可 以 是 非 線 性 函 數(shù) . 函 數(shù) fminimax格 式 x = fminimax(fun,x0)x = fminima

26、x(fun,x0,A,b)x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq)x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x = fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)x,fval,maxfval = fminimax()x,fval,maxfval,exitflag = fminimax()x,fval,maxfval,exitflag,output = fminimax()x,fval,maxf

27、val,exitflag,output,lambda = fminimax() 例 5-7 求 下 列 函 數(shù) 最 大 值 的 最 小 化 問 題其 中 ： )x(f ,)x(f ,)x(f ,)x(f ,)x(f 54321 304x40 x48xx2)x(f 2122211 22222 x3x)x(f 18x3x)x(f 213 214 xx)x(f 8xx)x(f 215 解 ： 先 建 立 目 標 函 數(shù) 文 件 ， 并 保 存 為 myfun.m： function f = myfun(x)f(1)= 2*x(1)2+x(2)2-48*x(1)-40*x(2)+304; f(2)=

28、-x(1)2 - 3*x(2)2;f(3)= x(1) + 3*x(2) -18;f(4)= -x(1)- x(2);f(5)= x(1) + x(2) - 8;然 后 ， 在 命 令 窗 口 鍵 入 命 令 ：x0 = 0.1; 0.1; % 初 始 值x,fval = fminimax(myfun,x0)結 果 為 ：x = 4.0000 4.0000fval = 0.0000 -64.0000 -2.0000 -8.0000 -0.0000 5.4 曲 線 擬 合 與 插 值 在 大 量 的 應 用 領 域 中 ， 人 們 經 常 面 臨 用 一 個 解析 函 數(shù) 描 述 數(shù) 據(jù) (通

29、常 是 測 量 值 )的 任 務 .對 這 個 問 題有 兩 種 方 法 . 插 值 ： 在 插 值 法 里 ， 數(shù) 據(jù) 假 定 是 正 確 的 ， 要 求以 某 種 方 法 描 述 數(shù) 據(jù) 點 之 間 所 發(fā) 生 的 情 況 . 曲 線 擬 合 ： 曲 線 擬 合 或 回 歸 是 人 們 設 法 找 出 某 條光 滑 曲 線 ， 它 最 佳 地 擬 合 數(shù) 據(jù) ， 但 不 必 要 經 過 任 何數(shù) 據(jù) 點 . 標 有 o 的 是 數(shù) 據(jù) 點 ； 連 接 數(shù) 據(jù) 點 的 實 線 描 繪 了 線 性 內 插 ，虛 線 是 數(shù) 據(jù) 的 最 佳 擬 合 .0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

30、0.6 0.7 0.8 0.9 1-2024681012 x y=f(x) Second Order Curve Fitting 曲 線 擬 合 的 兩 個 基 本 問 題 ： 1.最 佳 擬 合 意 味 著 什 么 ？ 2.應 該 用 什 么 樣 的 曲 線 ？ 可 用 許 多 不 同 的 方 法 定 義 最 佳 擬 合 ， 并 存 在無 窮 數(shù) 目 的 曲 線 . 當 最 佳 擬 合 被 解 釋 為 在 數(shù) 據(jù) 點 的 最 小 誤 差 平方 和 ， 且 所 用 的 曲 線 限 定 為 多 項 式 時 ， 那 么 曲 線擬 合 是 相 當 簡 捷 的 .數(shù) 學 上 ， 稱 為 多 項 式 的

31、 最 小 二乘 曲 線 擬 合 .1 Matlab 曲 線 擬 合 虛 線 和 標 志 的 數(shù) 據(jù) 點 之 間 的 垂 直 距 離 是 在 該 點 的 誤 差 .對各 數(shù) 據(jù) 點 距 離 求 平 方 ， 并 把 平 方 距 離 全 加 起 來 ， 就 是 誤 差 平 方和 .這 條 虛 線 是 使 誤 差 平 方 和 盡 可 能 小 的 曲 線 ， 即 是 最 佳 擬 合 .最 小 二 乘 這 個 術 語 僅 僅 是 使 誤 差 平 方 和 最 小 的 省 略 說 法 . 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2024681012 x y=f(x) S

32、econd Order Curve Fitting Matlab 曲 線 擬 合 和 插 值 命 令曲 線 擬 合 和 插 值 函 數(shù)polyfit(x, y, n) 對 描 述 n階 多 項 式 y=f(x)的 數(shù) 據(jù) 進 行 最 小 二 乘 曲 線 擬 合interp1(x, y, xo) 1維 線 性 插 值interp1(x, y, xo, spline ) 1維 3次 樣 條 插 值interp1(x, y, xo, cubic ) 1維 3次 插 值interp2(x, y, Z, xi, yi) 2維 線 性 插 值interp2(x, y, Z, xi, yi, cubic )

33、 2維 3次 插 值interp2(x, y, Z, xi, yi, nearest ) 2維 最 近 鄰 插 值 x=0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1;y=-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; n=2; p=polyfit(x, y, n)ezplot( -9.8108*x*x+20.1293*x-0.0317 ) %二 次 多 項 式 系 數(shù) %既 是 p的 輸 出 ， 該 命 令 為 畫 出 擬 合 曲 線 .xi=linspace(0, 1, 100); % x-axis data

34、 for plotting z=polyval(p, xi) %求 出 多 項 式 在 xi點 處 的 取 值 . plot(x, y, o , x, y, xi, z, : ) xlabel( x ), ylabel( y=f(x) ), title( Second Order Curve Fitting ) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -2 0 2 4 6 8 10 12 x y =f (x ) Second Order Curve Fitting 多 項 式 階 次 的 選 擇 是 任 意 的 .兩 點 決 定 一 直 線或 一 階 多

35、 項 式 .三 點 決 定 一 個 平 方 或 2階 多 項 式 .按此 進 行 ， n+1數(shù) 據(jù) 點 唯 一 地 確 定 n階 多 項 式 .于 是 ，在 上 面 的 情 況 下 ， 有 11個 數(shù) 據(jù) 點 ， 我 們 可 選 一 個 高達 10階 的 多 項 式 .然 而 ， 高 階 多 項 式 給 出 很 差 的 數(shù)值 特 性 ， 人 們 不 應 選 擇 比 所 需 的 階 次 高 的 多 項 式 .此 外 ， 隨 著 多 項 式 階 次 的 提 高 ， 近 似 變 得 不 夠 光 滑 ，因 為 較 高 階 次 多 項 式 在 變 零 前 ， 可 多 次 求 導 . 0 0.2 0.4

36、0.6 0.8 1 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 x y= f(x ) 2nd and 10th Order curve Fitting 原 始 數(shù) 據(jù) 標 以 o， 2階 曲 線 擬 合 是 虛 線 ， 10階 擬 合 是 實 線 .注 意 ， 在 10階 擬 合 中 ， 在 左 邊 和 右 邊 的 極 值 處 ， 數(shù) 據(jù) 點 之 間 出現(xiàn) 大 的 紋 波 .當 企 圖 進 行 高 階 曲 線 擬 合 時 ， 這 種 紋 波 現(xiàn) 象 經 常 發(fā) 生 .顯 然 ， 越 多 就 越 好 的 觀 念 在 這 里 不 適 用 . 2 插 值 命 令 插 值 定 義 為 對 數(shù) 據(jù)

37、 點 之 間 函 數(shù) 的 估 值 方 法 ， 這些 數(shù) 據(jù) 點 是 由 某 些 集 合 給 定 .當 人 們 不 能 很 快 地 求 出所 需 中 間 點 的 函 數(shù) 值 時 ， 插 值 是 一 個 有 價 值 的 工 具 .例 如 ， 當 數(shù) 據(jù) 點 是 某 些 實 驗 測 量 的 結 果 或 是 過 長 的計 算 過 程 時 ， 就 有 這 種 情 況 . 最 簡 單 插 值 的 例 子 是 MATLAB的 作 圖 .按 缺 省 ，MATLAB用 直 線 連 接 所 用 的 數(shù) 據(jù) 點 以 作 圖 .這 個 線 性 插值 猜 測 中 間 值 落 在 數(shù) 據(jù) 點 之 間 的 直 線 上 .當

38、 然 ， 當 數(shù)據(jù) 點 個 數(shù) 的 增 加 和 它 們 之 間 距 離 的 減 小 時 ， 線 性 插值 就 更 精 確 .例 如 : x1=linspace(0, 2*pi, 60); x2=linspace(0, 2*pi, 6); plot(x1, sin(x1), x2, sin(x2), - )xlabel( x ), ylabel( sin(x) ), title( Linear Interpolation ) 0 1 2 3 4 5 6 7-1 -0.5 0 0.5 1 x si n( x) Linear Interpolation一 個 在 數(shù) 據(jù) 點 之 間 用 60個 點

39、， 它 比 另 一 個 只 用 6個 點 更 光 滑 和 更 精 確 . 如 曲 線 擬 合 一 樣 ， 插 值 要 作 決 策 .根 據(jù) 所 作 的 假 設 ，有 多 種 插 值 .而 且 ， 可 以 在 一 維 以 上 空 間 中 進 行 插 值 .即 如 果 有 反 映 兩 個 變 量 函 數(shù) 的 插 值 ， z=f(x, y)， 那 么就 可 在 x之 間 和 在 y之 間 ， 找 出 z的 中 間 值 進 行 插值 .MATLAB在 一 維 函 數(shù) interp1和 在 二 維 函 數(shù) interp2中 ，提 供 了 許 多 的 插 值 選 擇 . 為 了 說 明 一 維 插 值 ，

40、 考 慮 下 列 問 題 ， 12小 時 內 ，一 小 時 測 量 一 次 室 外 溫 度 .數(shù) 據(jù) 存 儲 在 兩 個 MATLAB變 量中 . hours=1:12; % index for hour data was recorded temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24; % recorded temperatures plot(hours, temps, hours, temps, + ) % view temperatures title( Temperature )xlabel( Hour ), ylabel( Degrees Celsiu

41、s ) 0 2 4 6 8 10 125 10 15 20 25 30 35 Hour Deg ree s C els ius Temperature 正 如 上 圖 看 到 的 ， MATLAB畫 出 了 數(shù) 據(jù) 點 線 性 插 值 的 直線 .為 了 計 算 在 任 意 給 定 時 間 的 溫 度 ， 人 們 可 試 著 對 可 視 的圖 作 解 釋 .另 外 一 種 方 法 ， 可 用 函 數(shù) interp1. t=interp1(hours, temps, 9.3) % estimate temperature at hour=9.3t =22.9000 t=interp1(hours

42、, temps, 4.7) % estimate temperature at hour=4.7t =22 t=interp1(hours, temps, 3.2 6.5 7.1 11.7) % find temp at many points!t = 10.2000 30.0000 30.9000 24.9000 interp1的 缺 省 用 法 是 由 interp1(x, y, xo)來描 述 ， 這 里 x是 獨 立 變 量 (橫 坐 標 )， y是 應 變 量 (縱 坐標 )， xo是 進 行 插 值 的 一 個 數(shù) 值 數(shù) 組 .另 外 ， 該 缺 省 的使 用 假 定 為 線 性

43、 插 值 . 若 不 采 用 直 線 連 接 數(shù) 據(jù) 點 ， 我 們 可 采 用 某 些 更 光滑 的 曲 線 來 擬 合 數(shù) 據(jù) 點 .最 常 用 的 方 法 是 用 一 個 3階 多項 式 ， 即 3次 多 項 式 ， 來 對 相 繼 數(shù) 據(jù) 點 之 間 的 各 段 建 模 ，每 個 3次 多 項 式 的 頭 兩 個 導 數(shù) 與 該 數(shù) 據(jù) 點 相 一 致 .這 種類 型 的 插 值 被 稱 為 3次 樣 條 或 簡 稱 為 樣 條 .函 數(shù) interp1也 能 執(zhí) 行 3次 樣 條 插 值 . t=interp1(hours, temps, 9.3, spline ) % estima

44、te temperature at hour=9.3t = 21.8577 t=interp1(hours, temps, 4.7, spline ) % estimate temperature at hour=4.7t = 22.3143 t=interp1(hours, temps, 3.2 6.5 7.1 11.7, spline ) t = 9.6734 30.0427 31.1755 25.3820 interp1二 個 強 約 束 :（ 1） 人 們 不 能 要 求 有 獨 立 變 量 范 圍 以 外 的 結 果 ，例 如 ， interp1(hours, temps, 13.5

45、)導 致 一 個錯 誤 ， 因 為 hours在 1到 12之 間 變 化 .（ 2） 獨 立 變 量 必 須 是 單 調 的 .即 獨 立 變 量 在 值上 必 須 總 是 增 加 的 或 總 是 減 小 的 . 二 維 插 值 是 基 于 與 一 維 插 值 同 樣 的 基 本 思想 .然 而 ， 正 如 名 字 所 隱 含 的 ， 二 維 插 值 是 對 兩變 量 的 函 數(shù) z=f(x, y) 進 行 插 值 . 3. 非 線 性 數(shù) 據(jù) （ 曲 線 ） 擬 合非 線 性 曲 線 擬 合 是 已 知 輸 入 向 量 xdata和 輸 出 向 量 ydata， 并且 知 道 輸 入 與

46、輸 出 的 函 數(shù) 關 系 為 ydata=F(x, xdata)， 但 不 知道 系 數(shù) 向 量 x.今 進 行 曲 線 擬 合 ， 求 x使 得 下 式 成 立 ：函 數(shù) lsqcurvefit格 式 x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)x,resnorm = lsqcurvefit()x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda = lsqcurvefit()x,resnorm,residual,exitflag,out

47、put,lambda,jacobian =lsqcurvefit() i 2ii22x )ydata)xdata,x(F(21ydata)xdata,x(F21min resnorm=sum (fun(x,xdata)-ydata).2)， 即 在 x處 殘 差的 平 方 和 ；residual=fun(x,xdata)-ydata， 即 在 x處 的 殘 差 ；exitflag為 終 止 迭 代 的 條 件 ；output為 輸 出 的 優(yōu) 化 信 息 ；lambda為 解 x處 的 Lagrange乘 子 ；jacobian為 解 x處 擬 合 函 數(shù) fun的 jacobian矩 陣 .

48、 例 5-8 求 解 如 下 最 小 二 乘 非 線 性 擬 合 問 題已 知 輸 入 向 量 xdata和 輸 出 向 量 ydata， 且 長 度 都 是 n， 擬 合函 數(shù) 為即 目 標 函 數(shù) 為其 中 ：初 始 解 向 量 為 x0=0.3, 0.4, 0.1。 32 )i(xdata)3(x)i(xdatasin()2(x)i(xdata)1(x)i(ydata n1i 2iix )ydata)xdata,x(F(21min 32 xdata)3(x)xdatasin()2(xxdata)1(x)xdata,x(F 解 ： 先 建 立 擬 合 函 數(shù) 文 件 ， 并 保 存 為 m

49、yfun.mfunction F = myfun(x,xdata)F = x(1)*xdata.2 + x(2)*sin(xdata) + x(3)*xdata.3;然 后 給 出 數(shù) 據(jù) xdata和 ydataxdata = 3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4;ydata = 16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.0 54.3;x0 = 10, 10, 10; %初 始 估 計 值x,resnorm = lsqcurvefit(myfun,x0,xdata,ydata)結 果 為 ：Opti

50、mization terminated successfully:Relative function value changing by less than OPTIONS.TolFunx = 0.2269 0.3385 0.3021resnorm = 6.2950 4 非 線 性 最 小 二 乘非 線 性 最 小 二 乘 （ 非 線 性 數(shù) 據(jù) 擬 合 ） 的 標 準 形 式 為 :其 中 ： L為 常 數(shù) 設則 目 標 函 數(shù) 可 表 達 為其 中 ： x為 向 量 ， F(x)為 函 數(shù) 向 量 . L)x(f)x(f)x(f)x(fmin 2m2221x )x(f )x(f )x(f)

51、x(F m21 i 2i22x )x(f21)x(F21min 函 數(shù) lsqnonlin格 式 x = lsqnonlin(fun,x0) %x0為 初 始 解 向 量 ； fun為 ，i=1,2,m， fun返 回 向 量 值 F， 而 不 是 平 方 和 值 ， 平 方 和 隱 含在 算 法 中 ， fun的 定 義 與 前 面 相 同 .x = lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options) %options為 指 定 優(yōu) 化 參 數(shù) ，若 x沒 有 界 ， 則 lb= ， ub= .x,resnorm = lsqnonlin() % resnorm=sum(fun(x

52、).2)， 即解 x處 目 標 函 數(shù) 值 .x,resnorm,residual = lsqnonlin() % residual=fun(x)， 即解 x處 fun的 值 . )x(fi 例 5-9 求 下 面 非 線 性 最 小 二 乘 問 題初 始 解 向 量 為 x0=0.3, 0.4。解 ： 先 建 立 函 數(shù) 文 件 ， 并 保 存 為 myfun.m， 由 于 lsqnonlin中的 fun為 向 量 形 式 而 不 是 平 方 和 形 式 ， 因 此 ， myfun函 數(shù) 應 由建 立 ： k=1,2,10function F = myfun(x)k = 1:10;F = 2

53、 + 2*k-exp(k*x(1)-exp(k*x(2);然 后 調 用 優(yōu) 化 程 序 ：x0 = 0.3 0.4；x,resnorm = lsqnonlin(myfun,x0) x = 0.2578 0.2578resnorm = %求 目 標 函 數(shù) 值 124.3622 101k 2xkxk )eek22( 21 實 際 問 題 求 解（ 任 務 分 配 問 題 ） 某 車 間 有 甲 、 乙 兩 臺 機 床 ， 可 用 于 加 工 三種 工 件 。 假 定 這 兩 臺 車 床 的 可 用 臺 時 數(shù) 分 別 為 800和 900， 三種 工 件 的 數(shù) 量 分 別 為 400、 60

54、0和 500， 且 已 知 用 三 種 不 同 車床 加 工 單 位 數(shù) 量 不 同 工 件 所 需 的 臺 時 數(shù) 和 加 工 費 用 如 下 表 。問 怎 樣 分 配 車 床 的 加 工 任 務 ， 才 能 既 滿 足 加 工 工 件 的 要 求 ，又 使 加 工 費 用 最 低 ？ 654321 8121110913min xxxxxxz 6,2,1,0 9003.12.15.0 8001.14.0 500600400 x . 654 321 63 52 41 ix xxx xxx xx xx xts i 解 設 在 甲 車 床 上 加 工 工 件 1、 2、 3的 數(shù) 量 分 別 為

55、x1、 x2、x3， 在 乙 車 床 上 加 工 工 件 1、 2、 3的 數(shù) 量 分 別 為 x4、 x5、 x6?？?建 立 以 下 線 性 規(guī) 劃 模 型 ： f = 13 9 10 11 12 8;A = 0.4 1.1 1 0 0 0 0 0 0 0.5 1.2 1.3;b = 800; 900;Aeq=1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1;beq=400 600 500;vlb = zeros(6,1);vub=;x,fval = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)程 序 詳 解 ： 見 example5.m The end