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1、NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用主 要 內(nèi) 容差 分 方 程 建 模 實 例一 、 差 分 方 程 的 概 念二 、 差 分 方 程 的 建 立三 、 差 分 方 程 的 求 解五 、 一 階 非 線 性 方 程四 、 發(fā) 生 函 數(shù) 方 法 NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用差分方程是一種離散變化的數(shù)學模型?，F(xiàn)實世界和社會經(jīng)濟生活中，離散變化的現(xiàn)象與過程隨處可見；而且，在某些場合，用離散變化來刻畫連續(xù)變化，能使問題便于處理和研究。( 1) ( ( ), 0,1, 2,x t f x t t 1 ( ), 0,1, 2,k kx f x k 1 1 1 2 2 2 1 21 2(

2、 1) ( ( ), ( ), , ( )( 1) ( ( ), ( ), , ( ) 0,1, 2,( 1) ( ( ), ( ), , ( )nnn n nx t f x t x t x tx t f x t x t x t tx t f x t x t x t 一階差分方程n 階差分方程 NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用修正模型差 分 方 程 建 模 實 例例 1 種群生態(tài)學中的蟲口模型。在種群生態(tài)學中考慮象蠶、蟬這種類型的昆蟲數(shù)目（即“蟲口”）的變化，注意這種蟲口一代一代之間是不交疊的，每年夏季這種昆蟲成蟲產(chǎn)卵后全部死亡，第二年春天每個蟲卵孵化成一個蟲子。nP 第n 年的蟲口數(shù)

3、c成蟲平均產(chǎn)卵數(shù)1 , 0,1, 2,n nP c P n 21 , 0,1, 2,n n nP c P bP n b阻滯系數(shù)1 (1 ) , 0, 0,1, 2,n n nx x x n 標準形式（Logistic方程） NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用影 響 蟲 口 的 因 素周圍環(huán)境提供的空間和食物有限蟲子之間為了生存互相競爭而咬斗傳染病及天敵對蟲子生存的威脅簡 化 規(guī) 律咬斗和接觸是發(fā)生在兩只蟲子之間的事件 只蟲子配對的事件總數(shù) nP1 ( 1)2 n nP P 21 ( 1)2 n nP P 影響蟲口的因素量化2nbP NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用例 2 鯊魚和小

4、雜魚的捕食與被捕食問題的模型。1 2,( ) ( )xx n n n 單位時間鯊魚和小雜魚的數(shù)量1 2,d d 鯊魚和小雜魚的繁殖率（1）不考慮它們相互之間的影響1 1 12 2 2( 1) ( )( 1) ( )x n d x nx n d x n （2）考慮它們相互之間的影響小雜魚量的增加引起鯊魚量的增加，因子為b鯊魚量的增加引起小雜魚量的減少，因子為c 1 1 1 22 1 2 2( 1) ( ) ( )( 1) ( ) ( )x n d x n bx nx n cx n d x n NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用用 差 分 方 程 解 決 實 際 問 題 的 步 驟 ：第 一

5、 步 設(shè)定好實際問題中的未知函數(shù)（數(shù)列），按照已知相關(guān)領(lǐng)域的物理、力學、經(jīng)濟的學科的規(guī)律建立相鄰的自變量值（一般就是相鄰的時間）的未知函數(shù)取值間的依賴關(guān)系，建立差分方程模型。第 二 步 對已建立的差分方程模型，若能直接求解的則求出其解，若不能求解或直接求解比較困難的，則用定性的方法討論其解的變化趨勢及性質(zhì)。第 三 步 將數(shù)學討論得到的結(jié)果與實際情形加以對照，然 后給實際問題一個滿意的答復(fù)。 NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用一 、 差 分 方 程 的 概 念1. 差分的概念及簡單性質(zhì)實數(shù)序列1 2 : , , , ,n na a a a 二階差分2 1 ( 1, 2, )n n na a

6、 a n 一階差分1 ( 1, 2, )n n na a a n 差分算子2 1 2 1 1 2 1( ) ( ) 2n n n n n n n n n na a a a a a a a a a 例 求序列 的一階差分與二階差分。2 ( 1, 2, )na n n an_:n2 dan_:an1an ddan_:dan1dan MATHEMATICA NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用定 理 1 若序列 的通項公式是 的一次函數(shù)，則其一階差分為常數(shù)，二階差分為零。反之依然。 na n序列圖形（點列）與差分間的關(guān)系 24681012 -1 -0.5 0.5 11a 2a 3a 4a5a 6

7、a 7a 8a 9a 10a11a 12a NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用 24681012 -1 -0.5 0.5 11a 2a 3a 4a5a 6a 7a 8a 9a 10a11a 12a 0.382603 0.910195 0.600957 -0.260798 -0.882776 -0.693134 0.133772 0.837689 0.771438 -0.0040682 1a 2 2a 2 3a 2 4a 2 5a 2 6a 2 7a 2 8a 2 9a 2 10a NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用數(shù)列與函數(shù)增減性和凹凸性判別方法比較增減性凹凸性0 n na a 增

8、0 n na a 減2 0 n na a 凹2 0 n na a 凸( )y f x函數(shù) na數(shù)列( ) 0 ( )f x f x 增( ) 0 ( )f x f x 減( ) 0 ( )f x f x 凹( ) 0 ( )f x f x 凸 NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用2. 差分方程由方程的迭代關(guān)系可得方程的任意有限項（方程的數(shù)值解），特殊情形能得到序列的通項公式。定 義 含有序列的任意項 且含有其差分的方程稱為差分方程。稱序列的一個或幾個已知項為方程的初始條件。na定 義 差分方程的一個解析解是指序列 的一個通項公式，把它代入差分方程，就得到一個恒等式。若解中不含任意常數(shù)，稱這

9、樣的解為方程的特解，若解中含有任意常數(shù)，稱這樣的解為方程的通解。 na NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用二 、 差 分 方 程 的 建 立例 1 某種真菌培養(yǎng)物的增長，從實驗中采集到如下數(shù)據(jù)： 建立方程1 0.6n n n np p p p NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用1 1.01 200n na a 例 2 某人在銀行貸款，打算每月還款200元。假定貸款年利率為12%（月利率為1%），設(shè) 為第 個月開始時的欠款，建立還款模型。na n0.01 200n na a （一階線性常系數(shù)非齊次差分方程）MATHEMATICA1n n na a a NUDT 差 分 方 程 及 其

10、 應(yīng) 用 51015202530 5000 10000 15000 20000 25000 貸款分別為5000，20000，25000的還款情況比較 NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用例 3 冰箱冷藏室的溫度調(diào)節(jié)在50C。飲料放在冷藏室后每分鐘溫度的變化與冰箱溫度和飲料溫度的差成正比，通過實驗知比例系數(shù)約為0.008。設(shè)飲料放入冷藏室n分鐘后為tn，求其溫度變化遵循的差分方程。1 0.008( 5)n n nt t t 0.008( 5)n nt t NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用例 4 Fibonaccii問題?？紤]家兔的繁殖，假定現(xiàn)有一對幼兔（一雌一雄），在它們成長成一對成

11、兔后每月生一對幼兔，而每對幼兔在一個月后變成成兔。如果一代一代繁殖下去，問在n個月后將有多少對家兔？第0個月第1個月第2個月 第3個月第4個月11235幼兔成兔 NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用第n個月家兔的對數(shù)( )P n成兔對數(shù)|( ) ( )a n b n幼兔對數(shù)第n+1個月家兔的對數(shù)( 1)P n成兔對數(shù)幼兔對數(shù)|( ) ( ) ( )a n b n a n( ) ( ) ( )P n a n b n ( ) ( ) ( 1)a n b n a n ( 1) ( )b n a n ( 2) ( 2) ( 2)P n a n b n ( 1) ( 1) ( 1)a n b n a

12、 n ( 1) ( )P n P n ( 2) ( 1) ( )P n P n P n (0) (1) 1P P Fibonaccii數(shù)列 NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用例 5 硬幣噴泉問題（n個硬幣的一種多行排列）。第一行是k個硬幣兩兩相鄰，任何更高行的每個硬幣恰好與其下面一行的兩個硬幣接觸，稱其為（n, k）噴泉。兩個（17，8）噴泉噴泉塊：每一行的硬幣鄰接 問 題 有多少個噴泉塊它的第一行恰好是k個硬幣？噴 泉 塊 非 噴 泉 塊(1), (2), (3), , ( ),f f f f k ? NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用(1) 1f (2) 2f (3) 5f k

13、個硬幣j個硬幣( ) ( 1) (1) ( 2) (2) 1 ( 1) 1 ( 2,3, )f k k f k f f k k ( ) (0 1)f j j k ( )f k ？k j種可能遞推公式一般情形 NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用三 、 差 分 方 程 的 求 解一 階 線 性 方 程一階線性差分方程1 (1)n n nx kx C 對應(yīng)齊次方程1 (2)n nx kx 齊次方程（2）的通解為0nnx k x設(shè) 為常數(shù)，nC C方程（1）有常值解nx B, 1CB kB C B k ，則此時，方程（1）有通解1 nn Cx Ak k 0( )1 1nn C Cx x kk k

14、 （特解） NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用二 階 線 性 方 程二階線性齊次差分方程2 1 0 (3)n n nx ax bx 設(shè) 滿足方程（3），nnx t則2 0 (4)t at b （特征方程）則得通解1 1 2 2n nnx C t C t 1）若方程（4）有兩個不同的實根 和 ，1t 2t（ 其中 為任意常數(shù)） 1 2,C C2）若方程（4）有兩相同的實根 ，t 1 2n nnx C t C nt 則得通解（ 其中 為任意常數(shù)）1 2,C C3）若方程（4）有兩復(fù)數(shù)根 ，1,2 (cos sin )t R i 則得通解1 2cos sinn nnx C R C R （ 其中

15、 為任意常數(shù)）1 2,C C NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用例1 求解1 1 .n n n nx kx cx x 1 1n n n nx kx cx x 1 1 nn nkxx cx （一階非線性差分方程）11n nk cx x 1n ny x 1n ny ky c 1 1n n cy yk k 解得0( )1 1nn c cy y kk k 01 11( )1 1n nnx c cy kx k k （原方程的解） NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用例2 求解Fibonaccii方程2 1 0 1, 1.n n nF F F F F 對應(yīng)的特征方程為 ，2 1 0t t 解得1

16、 21 5 1 5,2 2t t 因此方程的通解為1 5 1 5( ) ( )2 2n nnF A B 試用Mathematica求出在所給初始條件下的 和 ， 并利用該公式求A B( 1,2, ,100) .nF n NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用四 、 發(fā) 生 函 數(shù) 方 法( ) ( 1) (1) ( 2) (2) 1 ( 1) 1(0) (1) 0, ( 2,3, )f k k f k f f kf f k 硬幣噴泉問題0( ) ( ) kkF x f k x發(fā)生函數(shù)或母函數(shù)（generating function）因此，只要求出發(fā)生函數(shù) ，通過求該函數(shù)的冪級數(shù)展開，便可得到

17、( )F x( ) ( 0,1, 2, )f k k NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用( ) ( 1) (1) ( 2) (2) 1 ( 1) 1(0) (1) 0, ( 1, 2,3, )f k k f k f f kf f k 1 1 2 2 1 11 1 2 ( )k k kk k k k kk k ka x b x a b a b ab x 法 則( ) ( 1) (1) ( 2) (2) 1 ( 1)k k kf k x k f k f f k x x 2 2 2( ) ( 1) (1) ( 2) (2) 1 ( 1)k k kk k kf k x k f k f f k x

18、 x ( ) 1F x x 2 ( ) 1(1 )x F xx 21x x22( ) 1 ( ) 1(1 ) 1x xF x x F xx x 21 2( ) 1 3 xF x x x 1 1 ( )k kk kkx f k x NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用五 、 一 階 非 線 性 方 程沒有求非線性差分方程解析解的一般理論，可以就合理的n，用迭代產(chǎn)生數(shù)值解和圖形解，由此分析非線性差分方程解的長期性態(tài)。1 ( )0,1,n nx f xn xyO ( )y f x 0 x y x1 1( , )x x1 2( , )x x 2 3( , )x x. . .0 1( , )x x NUDT 差 分 方 程 及 其 應(yīng) 用當代計算機科學的發(fā)展，特別是圖象顯示系統(tǒng)的發(fā)展，賦予差分方程這個傳統(tǒng)數(shù)學分支以新的內(nèi)容和方法，使之在科學的各個部門、在人類活動的各個領(lǐng)域、也在數(shù)學自身得到廣泛和卓有成效的應(yīng)用。例 就不同的初值 和參數(shù) ，討論方程 的解的性態(tài). 0 x r 21 (1 )n n nx r x rx 0 0.1, 1.8, 2.25, 2.52, 2.56, 2.80 x r r r r r