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1、案 例 ： 原 子 彈 爆 炸 的 能 量 估 計問 題 的 由 來 :1945年 7月 16日 ， 美 國 科 學(xué) 家 在 新 墨 西 哥 州 阿 拉莫 戈 多 沙 漠 進 行 了 “ 三 位 一 體 實 驗 ” ， 試 爆 了 世 界 上第 一 顆 原 子 彈 。 這 一 事 件 令 全 球 震 驚 。 由 此 開 始 了 一個 新 的 時 代 。當 時 ， 有 關(guān) 原 子 彈 的 所 有 資 料 都 是 保 密 的 ， 一 般人 無 法 知 道 。 兩 年 后 ， 美 國 政 府 首 次 公 布 了 這 次 爆 炸的 錄 像 帶 ， 但 沒 有 任 何 數(shù) 據(jù) 。英 國 物 理 學(xué) 家

2、G.I.Taylor通 過 研 究 錄 像 ， 建 立 模型 對 這 次 爆 炸 的 能 量 進 行 估 計 ， 得 到 能 量 為 19.2千 噸 。這 個 結(jié) 果 與 后 來 公 布 的 實 際 能 量 21千 噸 相 當 接 近 。那 么 ， Taylor是 如 何 對 原 子 彈 爆 炸 的 能 量 進 行 估 計的 ？ 時 間t(ms) 半 徑r(m) 時 間t(ms) 半 徑r(m) 時 間t(ms) 半 徑r(m)0.10 11.1 1.36 42.8 4.34 65.60.24 19.9 1.50 44.4 4.61 67.30.38 25.4 1.65 46.0 15.0 1

3、06.50.52 28.8 1.79 46.9 25.0 130.00.66 31.9 1.93 48.7 34.0 145.00.80 34.2 3.26 59.0 53.0 175.00.94 36.3 3.53 61.1 62.0 185.01.08 38.9 3.80 62.91.22 41.0 4.07 64.3表 一 ： 時 刻 t(毫 秒 ) 的 “ 蘑 菇 云 ” 半 徑 r(米 ) 問 題 分 析 ：爆 炸 產(chǎn) 生 的 能 量 主 要 以 沖 擊 波 和 幅 射 的 方 式 向外 擴 散 。 但 這 些 在 錄 像 中 是 看 不 到 的 。爆 炸 形 成 的 “ 蘑 菇 云

4、 ” 的 半 徑 與 時 間 有 關(guān) ， 與能 量 有 關(guān) ， 還 與 “ 蘑 菇 云 ” 周 圍 的 空 氣 密 度 有 關(guān) ，與 大 氣 壓 強 有 關(guān) 。 從 而 可 以 通 過 量 綱 分 析 的 方 法 確定 這 些 量 之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 。如 果 想 從 爆 炸 錄 像 中 去 推 斷 原 子 彈 爆 炸 的 全 過 程 ，從 而 用 能 量 轉(zhuǎn) 化 等 規(guī) 律 去 分 析 爆 炸 產(chǎn) 生 的 能 量 比 較 困難 。 因 為 我 們 沒 有 詳 實 的 數(shù) 據(jù) 資 料 。一 般 地 ， 爆 炸 產(chǎn) 生 的 沖 擊 波 以 爆 炸 點 為 中 心 呈 球面 向 四 周 傳

5、 播 。 爆 炸 產(chǎn) 生 的 能 量 越 大 ， 在 一 定 時 刻 沖擊 波 就 傳 得 越 遠 。 而 沖 擊 波 又 可 以 通 過 爆 炸 形 成 的“ 蘑 菇 云 ” 反 映 出 來 。 基 本 假 設(shè) ：2、 原 子 彈 爆 炸 產(chǎn) 生 的 能 量 主 要 是 以 沖 擊 波 的 形式 表 現(xiàn) 出 來 。 不 考 慮 其 它 （ 如 幅 射 ） 的 影 響 。4、 沖 擊 波 可 以 通 過 爆 炸 形 成 的 “ 蘑 菇 云 ” 來 表征 。 1、 原 子 彈 的 爆 炸 是 在 瞬 間 完 成 的 ， 不 考 慮 爆 炸 的核 反 應(yīng) 過 程 。3、 只 考 慮 沖 擊 波 的

6、 動 力 學(xué) 特 性 。 符 號 設(shè) 定 ：物 理 量 符 號 單 位時 間 t 秒 （ s）半 徑 r 米 （ m）能 量 E 焦 耳 （ ）空 氣 密 度 千 克 米 (kg/m3)大 氣 壓 強 P 帕 斯 卡 （ a） 建 立 數(shù) 學(xué) 模 型 ：計 算 爆 炸 當 量 的 數(shù) 學(xué) 模 型 是 用 量 綱 分 析 法 建 立 。用 PI定 理 可 以 將 函 數(shù) 形 式 找 出 來 。設(shè) 爆 炸 中 ， 沖 擊 波 的 半 徑 r 、 時 間 t 、 能 量 E 、 空氣 密 度 、 大 氣 壓 強 P 滿 足 的 一 般 函 數(shù) 形 式 為 ：0),( PEtrf 由 于 爆 炸 是

7、在 瞬 時 完 成 的 ， 不 考 慮 爆 炸 過 程 所 需時 間 。 故 只 考 慮 能 量 釋 放 后 的 沖 擊 波 傳 播 的 物 理 過 程 。故 這 是 一 個 動 力 學(xué) 問 題 。所 用 基 本 量 綱 為 ： 長 度 ， 質(zhì) 量 ， 時 間 。 沖 擊 波 的 半 徑 r ： r=L時 間 t ： t=T能 量 E ： E=L2MT-2空 氣 密 度 ： =L-3M大 氣 壓 強 P： P=L-1MT-2由 此 可 以 得 到 量 綱 矩 陣 為 ： 20210 11100 1320153 TML PEtrA 關(guān) 系 中 用 到 的 各 物 理 量 的 量 綱 分 別 為

8、： 因 為 A 的 秩 為 3， 所 以 方 程 組有 5-3=2個 基 本 解 ， 即 方 程 組 有 無 窮 多 個 解 。TyyyyyyAy ),(,0 54321從 中 取 出 基 本 解 ， 原 則 是 能 從 中 分 離 出 我 的 所需 的 物 理 量 ， 從 而 能 構(gòu) 造 適 當 的 無 量 綱 量 ， 找 出 項其 形 式 關(guān) 系 。不 妨 取 其 兩 個 基 本 解 為 ：令 y1=1， y5=0 得 到 y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0);令 y1=0， y5=1 得 到 y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)。由 量 綱 分 析 的 Buckingham

9、Pi定 理 ， 這 兩 個 基 本解 可 以 得 到 兩 個 無 量 綱 量 ： 5 25/15/15/21 EtrErt 5 32565/35/25/62 EPtPEt 從 而 ， 由 Pi定 理 可 知 ， 存 在 某 個 二 元 函 數(shù) F， 使得 0),( 21 F從 上 式 中 解 出 1得 ， )(5 32565 21 EPtEtr 其 中 是 某 未 知 標 量 函 數(shù) ， 于 是 有 )(5 32565 2 EPtEtr其 中 是 某 未 知 標 量 函 數(shù) 。這就是我們需要的數(shù)學(xué)模型。但由于方法的局限性，PI定理中的等價方程仍然包含著一些未定函數(shù)、參數(shù)或無量綱量.比如這里的

10、，所以需要我們用其他的方法來確定這些未定量。 確 定 參 量 ：由 于 原 子 彈 爆 炸 的 時 間 極 短 ， 而 釋 放 的 能 量 非常 大 ， 所 以 有 05 32562 EPt所 以 未 知 函 數(shù) 在 2的 值 (2)可 看 成 常 數(shù) 。 由 資料 和 其 他 小 型 爆 炸 的 經(jīng) 驗 數(shù) 據(jù) ， 可 取 (2) 1。 故 有 5 2 Etr這就是我們所求的數(shù)學(xué)模型。從前面的表一中的數(shù)據(jù)就可求出E/，從而求出E。 數(shù) 值 計 算 ：由 前 所 給 表 中 半 徑 和 時 間 的 數(shù) 據(jù) 可 以 做 算 出 E/。5/25/1 tEr Etr lnln2ln5 上 式 兩 邊

11、 取 對 數(shù) 整 理 可 得 31.7933ln E把 ln( E/ ) 看 作 一 個 參 數(shù) ， 用 一 元 線 性 回 歸 方 法可 以 求 得 代 入 空 氣 密 度 =1.25kg/m3可 得 )(108.027631.7933)exp( 13 JE 代 入 能 量 單 位 ： 1千 噸 （ 即 1千 噸 TNT爆 炸 產(chǎn) 生的 能 量 ） = 4.184 1012焦 耳 ， 可 得)(19.1863 )10184.4(108.0276 1213千噸 E這 個 結(jié) 果 與 后 來 公 布 的 爆 炸 能 量 的 準 確 數(shù) 據(jù)（ 21千 噸 ） 相 差 很 小 。從 而 說 明 了 模 型 有 正 確 性 。