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1、1 5.1 二 次 曲 線 與 直 線 的 相 關 位 置第 五 章 二 次 曲 線 的 一 般 理 論 5.2 二 次 曲 線 的 漸 近 方 向 、 中 心 、 漸 近 線 5.3 二 次 曲 線 的 切 線 5.4 二 次 曲 線 的 直 徑 5.5 二 次 曲 線 的 主 直 徑 和 主 方 向 5.6 二 次 曲 線 方 程 的 化 簡 與 分 類 5.7 應 用 不 變 量 化 簡 二 次 曲 線 的 方 程 2 第 五 章 二 次 曲 線 的 一 般 理 論教 學 安 排 說 明12 2.3. 1. 2.課 時 通 過 本 章 的 學 習 ， 使 學 生 理 解 二 次 曲 線和

2、 直 線 的 相 關 位 置 ； 掌 握 二 次 曲 線 的 漸 近 方 向 、 漸 近 線 、 中 心 、 切線 等 概 念 ； 掌 握 二 次 曲 線 的 直 徑 、 方 向 等 ； 熟 悉 二 次 曲 線 的 化 簡 和分 類 。1.二 次 曲 線 的 漸 近 方 向 、 漸 近 線 、 中 心 、 切 線 等 概 念 ； 二 次曲 線 的 直 徑 、 方 向 等 ； 二 次 曲 線 的 化 簡 和 分教 學 時 數(shù) ：本 章 教 學 目 標 及 要 求 ：本 章 教 學 重 點 本 章 教 學 難 類 。二 次 曲 線 的 相 關 理 論 ； 二 次 曲 線 的 化點 簡 和 分 類

3、。 3 5.1 二 次 曲 線 與 直 線 的 相 關 位 置2課 時二 次 曲 線 與 直 線 的 相 關 位 置 ；1.二 次 曲 線 與 直 線 的 相 關 位 置 的 討 論 ； 2.一 些 符 合 的 記 憶 。 1.理 解 并 記 憶 一 些 符 合 ； 2.掌 握 二 次 曲 線 與 直 線 的 相 關 位 置 ； 3.熟 悉 二 次 曲 線 與 直 線 的 相 關 位 置 的 條 件 ； 教 學 時 數(shù) ：教 學 重 點 ：教 學 難 點 ：教 學 目 標 ：4.培 養(yǎng) 學 生 分 析 問 題 和 解 決 問 題 的 能 力 。 返 回 4 引 論一 、 平 面 上 的 二 次

4、 曲 線2 211 12 22 13 23 332 2 2 0 (1)a x a xy a y a x a y a 。其 一 般 形 式 是 ：平 面 上 由 二 元 二 次 方 程 所 表 示 的 曲 叫 做 二 次 曲 。線 線( , )1 x y x y 如 果 點 的 坐 標 中 有 虛 數(shù) ， 我 們 仍 然 認為 它 表 示 平 面 上 的 一 點 ， 并 把 它 叫 做 虛 點 ； 相 對 于 把 、都 是 實 數(shù) 對 應 的 點 叫 做 實 點 ； 實 點 和 虛 點 統(tǒng) 稱 為 復 點 。我 們 把 對 應 坐 標 為 共 軛 虛 數(shù) 的 點 叫 做 共.復 點 ： 軛 虛

5、點 。二 、 平 面 上 的 虛 元 素如 圓 、 、 曲 、 物 等 。橢圓 雙 線 拋 線 51 1 1 2 2 21 2 1 21 2 ( , ) ( )14 , 1M Mx y x yx x y yM M M x y 設 、 為 兩 個 復 點 ，則 點 分 成 定 比 的 坐 標 是 、.定 比 分 點 公 式 ： 。C 0 A B C AxBy 若 、 、 與 三 個 實 數(shù) 成 比 例 , 則 方 程為 實 直 線 ， 否 則 為 虛 直 線 。 虛 直 線 和 實 直 線 統(tǒng) 稱為 復 直 線 。 只 討 論 實 系 數(shù) 方 程 ， 它 表 示 的 曲 線 上 可3.復 直 線

6、 ： 能 有 虛 點 。1 1 1 2 2 22 1 2 11 21 2 ( , ), ( , )2 M Mx y x yM M x x y yM M 設 是 平 面 上 的 兩 個 復點 ， 且 的 坐 標 ， 中 至 少 有 一 個 為 虛 數(shù) ，稱 為 虛 向 量 。 相 對 于 虛 向 量 前 面 所 講 的 向 量 稱 為 實 向量 。 虛 向 量 、 實 向 量 統(tǒng) 稱 為.復 向 量 ： 復 向 量 。2. 復 向 量 00 0 0( , ) : Xx x tx y X Y y y Yt 過 點 且 方 向 為 的 直 。的 參 數(shù) 方 程 為線 6 三 、 一 些 記 號2 2

7、11 12 22 13 23 33( , ) 2 2 2F x y a x a xy a y a x a y a ；1 11 12 13( , )F x y a x a y a ； 2 12 22 23( , )F x y a x a y a ；3 13 23 33( , )F x y a x a y a ； 2 211 12 22( , ) 2x y a x a xy a y ；11 12* 12 22 ( , )xa aA ya a 叫 的 矩 陣 ；11 12 1312 22 2313 23 33 ( , )a a aA a a a F x ya a a 叫 的 矩 陣 ；1 11 22

8、I a a ； 11 122 12 22a aI a a ；11 12 133 12 22 2313 23 33= a a aI a a aa a a ； 11 13 22 231 13 33 23 33= a a a aK a a a a 。 1 2 3( , ) ( , ) ( , ) ( , )F F F Fx y x x y y x y x y 可 以 驗 證 ： 。 7 2 211 12 22 13 23 33( , ) 2 2 2 0 (1)F x y a x a xy a y a x a y a 下 面 我 們 二 次 曲討論 線11 12 22 2 211 0 12 0 0 2

9、2 0 13 0 23 0 332 2 211 0 12 0 13 12 0 22 0 23( 2 )2 ( 2 2 2 ) 0 3( ) ( )X XY Y Xa a a ta x a y a a x a y a Y ta x a x y a y a x a y a （ ） 即 ： 5.1 二 次 曲 線 與 直 線 的 相 關 位 置 2 0 01 0 0 2 0 0( , ) 2 ( , ) 0( , ) ( , )X Y t F X F t Fx y x y Y x y (4) 00 0 0 (2)( , ) : (2) (1) Xx x tx y X Y y y Ytt 和 過 點

10、且 方 向 為 的 直 參 數(shù) 方 程的 交 情 況 。 我 們 先 把 方 程 代 入 方 程 ， 整 理 得 關 于 的 方 程 ：（ ）線點 t下 面 我 們 這 個 于 的 方 程 ， 從 而 了 解 (1)和 (2)的 交 點 情 況 。討論 關 8 一 、 (X,Y) 0的 情 況2 0 01 0 0 2 0 0,( ) 2 ( , ) 0( , ) ( , )X Y Xt F F Y t F x yx y x y +對 方 程 21 0 0 2 0 0 0 0, 0 (4)4 ( , ) ( , ) 4 , ( , )X Y tF x y X F x y Y X Y F x y

11、當 （ ） 時 ： 方 程 是 關 于 的 二 次 方 程 ， 判 別 式（ ） 。1 2(4)(2 10) (. )1 t t 方 程 有 兩 個 不 等 的 實 根 與 ，直 線 與 二 次 曲 線 有 兩 個 不 同 的： 實 交 點 ； 1 2(4)(2 10) (2 ). t t 方 程 有 兩 個 相 同 的 實 根 與 ，直 線 與 二 次 曲 線 有 兩 個 重 合 的： 實 交 點 ；(4)(2)3 0. 方 程 有 兩 個 共 軛 虛 根 ， 直線 與 二 次 曲 線 (1)有 兩 個 共 軛 的： 虛 交 點 。2 22 22 2 /4 1 0/4 1 3 +2 4 01

12、 + 2 0 x y x yx y x yx y x y 都 是 兩 個 交 點： 。 如 和有 兩 個 不 同 的 實 交 點 ； 和 有兩 個 共 同 點重 合 的 實 交 點 ； 和 有 兩 個 共 軛 的 虛 交 點 。 9 1 0 0 2 0 0( , ) ( , ) 0(2) (1)1 XF F Yx y x y 當. 時 ：直 線 與 二 次 曲 線 有 唯 一 的 實 交 點 ；1 0 0 2 0 0 0 0( , ) ( , ) 0 0(4) (2) (2 1)( , )XF x y F x y Y F x y 當 且時 ： 是 矛 盾 方 程 ， 直 線 與 二 次 曲 線

13、 沒 有 交 點 ；. 1 0 0 2 0 0 0 0( , ) ( , ) 0 ( , ) 0(4) (2) (1)3 F x y X F x y Y F x y 當 且時 ： 是 恒 等 式 ， 直 線 的 全 部 在 二 次 曲 線 上 。. 190 1 4.P 作 、業(yè) ： 二 、 (X,Y)=0的 情 況2 0 01 0 0 2 0 0)( , ( , ) 0.( , ) 0 2 ( , ) ( , )X Y t F X F Y t F x yX Y t x y x y = + 對 方 程當 時 是 關 于 的 一 次 方 程 ， 又 分 三 種 情 況 ： 1. 2. 3.復 元

14、素 ； 記 號 ； 直 線 和 二 次 曲 線 的 相小 結 ： 關 位 置 。 2 2 00 x yx y 直 線 在 曲線 上 .2 21y xy 曲 線 和 直線 交 于 一 點 .雙 曲 線 和 它 的漸 近 線 不 相 交 . 10 5.2 二 次 曲 線 的 漸 近 方 向 中 心 漸 近 線2課 時二 次 曲 線 的 漸 近 方 向 和 漸 近 線 ；1.二 次 曲 線 的 漸 近 方 向 的 討 論 ； 2.二 次 曲 線 的 中 心 。 1.理 解 漸 近 方 向 、 中 心 和 漸 近 線 ； 2.掌 握 二 次 曲 線 的 分 類 ； 教 學 時 數(shù) ：教 學 重 點 ：

15、教 學 難 點 ： 3.熟 悉 有 心 和 無 心 二 次 曲 線教 學 目 標 ： 的 概 念 。 返 回 11 復 習 3.4. 5. 6.1.平 面 上 的 二 次 曲 線 ； 2.復 點 ； 復 向 量 ；復 直 線 ； 定 比 分 點 公 式 ；一 一、 概 念 ： 些 記 號 。1. 02 03 0 ( , 0. ). X Y ： 直 線 與 二 次 曲 線 有 兩 個 不 同 的 實 交 點 ；： 直 線 與 二 次 曲 線 有 兩 個 重 合 的 實 交 點 ；： 直 線 與 二 次 曲 線 有 兩 個 共 軛二 、 的 虛 交 點 。 1 0 0 2 0 01 0 0 2 0

16、 01 0 0 2 0 0 0 00 01 ( , ) ( , ) 02 ( , ) ( , ) 0 03 ( , ) ( , ) ( , ) 0( , 0 )F x y X F x y YF x y X F x y YF x y X F x y Y F x yF x yX Y . 時 ， 直 線 與 二 次 曲 線 有 唯 一 的 實 交 點 ；、 時 ， 直 線 與 二 次 曲 線 沒 有 交 點 ；時 ， 直 線 的 全 部 都 在 二 次 曲 線 上 。. 、. 三 結 束 12 一 、 二 次 曲 線 的 漸 近 方 向 1 , 0 :X Y X Y ： 滿 足 條 件 的 方 向

17、叫 做 二 次 曲 線(1)的 漸 近 方 向 ， 否 則 叫 做 非 漸 定 義 近 方 向 。 11 12 22 112 2 211 12212 12 11 2222 12 2 111122 4 40 :2 0( , ) 0 + =0 ( ) 2 ( )( ):X Xa X Y YX X YY aX Y a XY a Y a aa a a aa a I aa 證 ： 因 二 次 曲 線 的 二 次 項 系 數(shù) 不 能 全 為 零 ， 當 時 ，。1 二 次 曲 線 的 漸 近 方 向 總 存 在 且 最 多定 理 ： 有 兩 個 。22 12 2 220 : =( ):Ia Y X a a

18、 同 理 ： 當 時 ， 有 。11 22 12 122122 ( )= =0 0 2 =0: 0:1 1:0 0 X Y XYa a a aX Y I a ， 當 時 ， 有 ， 則 ，故 或 ， 此 時 ， 所 以 定 理 成 立 。 13 2 0 :I X Y 二 次 曲 線 的 漸 近 方 向 是 一 對 共 軛 虛方 向 ， 我 們 把 沒 有 實 漸 近 方 向 的 二 次 曲定 義 2 線 叫 橢(1)： 圓 型 的 。2 22 21. 1x ya b 求 橢 圓 的 漸例 近 方 向 。 因 為 二 次 曲 線 的 漸 進 方 向 最 多 有 兩 個 ， 而 任 意 直 線 的

19、 方 向 有無 數(shù) 多 個 ， 所 以 二 次 曲 線 的 非 漸 進 方 向 可 以 有 無 數(shù) 多 個 。二 次 曲 線 按 漸 近 方 向 的 分 類2 2 2 2( , ) 0 0 ,: : X Y X aX Y ia b Y bX Y a bi 虛 漸 近 方 向 ， 將 系 數(shù) 代 入 即 ， 得 = 即 橢圓 的 漸 近 方 向 為 ： 。 2 2 1 0 x y 可 驗 證 ： 也另 是 橢 圓 型 的 。22 2 2 211/ 0 00 1/aI b a b 因 ,解 ： 故 有 一 對 共 軛 14 2 0I 時 有 一 個 實 漸 近 方 向 ， 有 一 個 實 漸 近方

20、 向 的 二 次 曲 線定 義 2(2)： 叫 拋 物 型 的 。二 次 曲 線 按 漸 近 方 向 的 分 類2 22. y px求 拋 物 線 的例 漸 近 方 向 。2 20 0 00 1( , ) 0 0: 1:0I X Y YX Y 因 ,它 有 一 個 實漸 近 方 向 ， 這 時 即 ， 得 拋 物 線 的 漸 近 方向 為 解 ： 。 2 21 02 0 x x 驗 證 ： ， 都例 ： 是 拋 物 型 的 。22 1 0 00 0( , ) 0 0 : 0:1IX Y X X Y 因 為 , 它 有 一 個 實 漸 近 方 向 ， 這 時即 ， 得 解 ： 漸 近 方 向 為

21、 。 15 二 次 曲 線 按 漸 近 方 向 的 分 類22 2 2 2 2 22 2 11/ 0 0,0 1/( , ) 0 0 ,: : aI b a bX Y X aX Y a b Y bX Y a b 因 故 它 有 兩 個 不 同 的 實 漸 近 方向 ， 這 時 即 ， 得 = 即 雙 曲 解 線 的 漸 近 方 向為 ： 。 2 2 0 x y 另 外 可 以 驗 證 ： 也 是 雙 曲 型 的 。2 22 2 1. x ya b 求 雙 曲 線 的例 3 漸 近 方 向 。222 0=00III 橢 圓 型 （ ）拋 物 型 （二 次 曲 線 ）雙 曲 ）可 型 （見 ： 2

22、 0I 時 二 次 曲 線 有 兩 個 實 漸 近方 向 ， 有 兩 個 實 漸 近 方 向 的 二 次 曲 線定 義 2(3)： 叫 雙 曲 型 的 。 16 0( , )X Y 當 時 ， 非 漸 近 方 向 的 直 線 與 二 次 曲 線總 有 兩 個 交 點 ， 我 們 把 這 兩 個 交 點 的 連 線 叫 二 次 曲 定 義 3： 線 的 弦 。C C若 點 是 二 次 曲 線 的 通 過 它 的 所 有 弦 的 中 點 ， 則 點叫 二 次 曲 定 義 4：線 的 中 心 。 0 0 0 1 1 102 2 2 1 22 1 0 0 2 0 0 0 0, ( , ) ( , )

23、0 :( , ) 0 ( , )( , ) ( , ) 0,( ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0X Y C x y F x y C X Yx XtL F x y M x yy YtM x y C M M L F x yt F x y X F x y Y t F x yxy 與 證 ： 設 是 的 中 心 ， 則 過 以 為方 向 的 直 線 : 交 于 兩 點 、， 點 為 弦 的 中 點 ， 將 代 入得 。12 0 00 0 0 0( , ) 0( , ) ( , ) 0 ( , )2 0FC F F x yx y x y x y 點 是： 的理 中 心定 。 二 、 二 次

24、 曲 線 的 中 心 17 推 論 1 21 20 0 0 00 0 0 00 0( , ) ( ) 0( , ) ( )X F YF X YF Fx y x yx y x y 故 ， 因 、 不 同 時 為 零 ， 有， 。 反 之 也 成 立 。，1 0 1 1 2 0 1 22 0 2 2 ( )x x Xt x x x X t tx x Xt 因 為 1 2 1 2( () 0, ) 0,X t t Y t t X Y 同 理 又 、 不 同 時 為 零( , ) 0 ( , ) 02 ,F x y F x y x y 原 點 為 的 中 心 不 含推 論 ： 的 一 次 項 。11

25、131212 22 23 ( , ) 000a x a y a F x ya x a y a 二 次 曲 線 的 中 心 的 坐 標 由 下 列 方 程 組確 定 ：推 論 1： 。0 x 1 2 0 1 22 2x x Xx t t ( )1 2 0 (1)t t ， 11 0 0 2 0 02 )( ) ( ) (2)( ,2 ,XF YFX Yx y x yt t 另 外 ， 18 二 次 曲 線 按 中 心 的 分 類1311 12 12 22 2311 12 13 12 22 230 0 ( , ) 0aa aa a aa x a y a Fa x a y a x y 當 時 ， 方

26、 程 組 有 無 數(shù) 多 解 ， 即 有 無 數(shù) 個 中 心 。或 上 的 點 都 是 曲 線1311 1212 22 23aa aa a a 無 當 時 方 程 組 無 解 即 沒 有 中 心 ， 叫 心 二 次 曲 線 ；線 心的 中 二 次心 ， 這 條曲 線 ；直 線 叫 中 心 直 線 。 有 一 條 中 心 直 線 的 二 次 曲 線 叫我 們 把 無 心 和 線 心 二 次 曲 線 非 中 心 二叫 次 曲 線 。2 22 2I 0 2I 0 0.y xy 中 心 二 次 曲 線 無 心 二 次 曲 線 ， 如二 次 曲 線 非 中 心 二 次 曲 線 線 心 二 次 曲可 線

27、， 如見 ： 2 0I 當 時 方 程 組 有 唯 一 解 ， 即 有 一 個 中 心 ， 叫 中 心 二 次 曲 線 ； 19 例2 2 23 2 3 6 10 8 0 x xy y x y 證 明 二 次 曲 線 有 唯 一 中心 ， 并 求 出 中 例 4： 心 坐 標 。 23 3 0 3 1 7 03 5 0 1 31 2 1 3, , ,2 3 2 2x y Ix y x y 解 方 程 , 因 為 ， 所 以 二 次 曲線 有 唯 一 中 心 ， 方 程 組 的 解 為 故 中證 明 ： 心 坐 標 為 （ ） 。 2 2 2+2 6 2 0 x xy y x y 考 察 二例

28、5： 次 曲 線 的 中 心 。2 1 1 31 1 01 1 1 1 1I 因 為 ， 又 ， 所 以 二 次 曲 線解 ： 為 無 心 曲 線 。2 6 +5 0 x x 例 6： 考 察 二 次 曲 線 的 中 心 。2 1 0 31 0 0 =0 0 0 0 01 5 0, 1= 5 03 0I x x x xx 因 ， 又 ， 故 二 次 曲 線 為 線 心 曲 線 。 實 際上 方 程 可 寫 成 （ （） ） 由 兩 直 線 0， 組 成 ， 其 中 心軌 跡 和 這 兩 解 ： 直 線 等 距 。 20 三 、 漸 近 線 1 2000 0 0 0 0 00 0 0 00 0

29、0 0 : ( , ) 0,( ) 0 ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( ) 0 ( , ) 0( , ) 0( , ) ( , ) 0( , ), 0, XL XY XF YFL x x t X Y Yy y tF C x y x y x yx y F F x yF x yC x y F x y LF x yx y x y ： ， 漸近 線 因 為 漸 近 線 的 方 向 滿 足又 因 的 中 心 符 合 當 不 在 二 次 曲 線 上 ， 即 時與 二 次 曲 線 沒 有 交 點 ；當 在 二 次 曲 線 上 即 時 ， 漸 近 線 的 全 部都 在 曲 線證 ： 。0上

30、。 2 3 二 次 曲 線 與 它 的 漸 近 線 或 沒 有 交 點 ， 或整 條 直 線 在 這 條 二 次、 定 理 ： 曲 線 上 。1 5 過 二 次 曲 線 的 中 心 ， 且 以 漸 近 方 向 為 方 向的 直 線 叫 它 的 漸 近 線 。 顯 然 ， 橢 圓 型 有 兩 條 虛 漸 近 線 ； 雙曲 型 有 兩 條 實 漸 近 線 ； 拋 物 型 無 漸 近 線 或 有 一 條 實、 定 義 ： 漸 近 線 。 21 例 195 1 2 3 6P 作 業(yè) ： 、 、 、 2 22 2. + 0 x ya b 求 的例 7 漸 近 線 。22 2 2 2 21 2211/ 0

31、 0,0 1/ ( , ) (1/ ) 0( , ) (1/ ) 0: : ,aI b a bF x y a xF x y b yx at x atX Y a bi y bit y bit 因 故 曲 線 是 中 心 曲 線 ， 且 有 一 對 共軛 的 虛 漸 近 方 向 ， 由 中 心 條 件 得 中 心 在 原 點 （ 0,0） ，其 漸 近 方 向 為 因 此 漸 近 方 程 ,解 ： 為 。 所 給 的 二 次 曲 線 的 圖 形 是 一 個 點 （ 0,0） ，稱 為 點 橢 圓 ， 在 復 平 面 上 ， 它 的 漸 近 線 是 一對 相 交 于 原 點 的 共 軛 虛 直 線

32、。 22 5.3 二 次 曲 線 的 切 線2課 時二 次 曲 線 切 線 的 求 法 ；1.二 次 曲 線 切 線 的 定 義 ； 2.二 次 曲 線 切 線 的 求 法 。 1.理 解 二 次 曲 線 切 線 的 定 義 ； 2.掌 握 二 次 曲 線 切 線 的 求 法 ； 教 學 時 數(shù) ：教 學 重 點 ：教 學 難 3.熟 悉 二 次 曲 線 的 奇點 ：教 學 目 標 ： 點 和 正 常 點 。 返 回 23 復 習 , :1 0X Y X Y ： 滿 足 條 件 的 方 向 叫 做 二 次 曲線 的 漸 近 方 向 ， 否 則 叫 做 非 漸定 義 近 方 向 。1 二 次 曲

33、 線 的 漸 近 方 向 總 存 在 且 最 多定 理 ： 有 兩 個 。( ) 0,X Y 當 時 ， 非 漸 近 方 向 的 直 線 與 二 次 曲線 總 有 兩 個 交 點 ， 我 們 把 這 兩 點 的 連 線 叫 二 次 曲定 義 2： 線 的 弦 。C C若 是 二 次 曲 線 通 過 它 的 所 有定 義 弦 的 中 點 ， 則 叫 二 次 曲 線3： 的 中 心 。 1 20 0 0 0 0 0( , ) ( , ) 0 ( ,2 ) 0 ( , ) 0.C F F Fx y x y x y x y 是 的 中 心 且定 理 ： 結 束4 過 二 次 曲 線 的 中 心 ， 且

34、 以 漸 近 方 向 為 方 向 的 直線 叫 它 的 漸 近 線 。 顯 然 ， 橢 圓 型 有 兩 條 虛 漸 近 線 ； 雙 曲 型有 兩 條 實 漸 近 線 ； 拋 物 型 無 漸 近 線 或 有 一 條 實定 義 ： 漸 近 線 。 24 一 、 定 義二 、 切 線 的 求 法 0 0 0 00 0 0( , ) ( , )=0M x y F x y x x XtM M y y Yt 設 點 是 二 次 曲 線 上 的 點 ，求 過 的 曲 線 的 切 線 。 而 過 的 直 線 為21 0 0 2 0 0 0 00 0 0 1 0 0 2 0 0( )4 , 0( , ) ( ,

35、 ) 4 , ( , )=0( ) 0 ( ) ( ) 0XX YYF x y X F x y Y X Y F x yM F x y F x y F x y （ ） 成 為 的 切 線 的 條 件 是 ： 當 時 ， ，在 上 ， ， ， ， 若 直 線 和 二 次 曲 線 相 交 于 重 合 的 兩 點 ， 則 這 條 直線 叫 做 二 次 曲 線 的 切 線 ， 交 點 叫 切 點 。 若 直 線 全 部 在 曲 線 上 ，也 稱 它 為 二 次 曲 線 的 切 線 ， 直 線 上 的 每 一 點 都定 義 ： 是 切 點 。 25 切 線 的 求 法 0 02 0 0 1 0 01 0

36、0 2 0 0 2 0 00 0 1 0 00 1 0 0 0 2 0 02 0 001 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , )( , ) ( , ) 0( ) ( ) ( , )( , ) ( , )F F FFF Fx x y yF x y F x yx y x y X Y x y tM y y x y tx x F x y y y F x y x yx xx y x y 如 果 、 不 全 為 零 ， 由 式 得 :， 故 過 的 切 線 是 ： 或， 即 :( ) 0 01 0 0 2 0 0( ), 0 ( , ) 0( , ) ( , )

37、 0X X YY F x yF x y F x y 可 見 當 時 ， 是 的 切 線 ， 除 了外 ， 還 有 成 立 。 1 0 0 2 0 0 0 0 02( , ) ( , ) 0: ( , )0F Fx y x yX Y M x yy 如 果 時 ： 式 成 為 恒 等 式 ，切 線 方 向 不 確 定 ， 這 時 過 的 任 何 直 線 都可 視 為 二 次 曲 線 的 切 線 。 如 在 (0,0)點 的 切 線 。 26 三 、 奇 點 和 正 常 點1 0 0 2 0 00 0 ( , ) ( , ) 0( , ) F Fx y x yx y 奇 點 和 正 常 點 二 次

38、曲 線 上 滿 足的 點 叫 二 次 曲 線 的 奇 點 ， 二 次 曲 線 的 非 奇 點 叫： 正 常 點 。( , )=0( , )=0 ( , )=0M F x y MM F x y M MF x y 式 若 是 的 正 常 點 則 過 的 切 線 為 ；若 為 奇 點 則 過 的 切 線 不 定 ， 即 過 的 每 一 條 直線 都 是定 理 ： 的 切 線 。 2 22 00 x yx 二 次 曲 線 上 一 般 都 是 正 常 點 ， 個 別 情 況 才 有 奇 點 。例 如 ： 可 以 驗 證 原 點 （ 0,0） 是 二 次 曲 線 的 奇 點 ；上 的 點 都 是 它 的

39、奇 點 。 27 推 論1 0 0 2 0 0 0 1 0 00 2 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 11 0 12 0 13 12 0 22 0 23 13 0 23 0 33( , ) ( , ) ( , )( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0( ) ( ) ( ) 0 xF x y yF x y x F x yy F x y xF x y yF x y F x yx a x a y a y a x a y a a x a y a 將 式 改 寫 成 ：， 即 ，明 故： ：證 。11 0 12 0 0 22 0 13 0 23 0 33( ) ( ) ( )

40、 0a x x a x y xy a y y a x x a y y a 即 ： 。0 011 0 12 0 0 22 0 13 0 23 0 33( , ) ( , ) 0( ) ( ) ( ) 0M x y F x y Ma x x a x y xy a y y a x x a y y a 若 是 的 正 常 點 推 論 ： ， 則 過 的 切 線 方 程為 ： 。2 20 0 0 0 0 00 0 0( , ) 0( , ) 0 2 2 2( , ) 0 ( , )F x yF x y x xy y x yx x x y xy y y x x y yF x y M x y 比 較 二 次

41、 曲 線 和 它 的 切 線 方 程 可 以 發(fā) 現(xiàn) ：把 中 的 、 、 、 、改 寫 成 ： 、 、 、 、后 就 是 在 點 特 點 ： 處 的 切 線 。 28 2 2 2 4 3 0 (2 11 , )x xy y x y A 求 在 的例 ： 切 方 程 。點 線2 2 1 0 (0,2)x xy y M 求 二 次 曲 ， 的例 切2： 方 程 。線 過點 線0 0 1 0 0 0 0 0 20 (1.2. ( , ) ( , ) 0) ( )M x x F x y y y F x yM 直 線 和 二 次 曲 線 有 重 合 的 兩 點切 線 的 定 義 直 線 的 全 部 在

42、 二 次 曲 線 上過 的 切 線 的 求 法 ：正 常 點 ： 切 線 為 ；奇 點 ： 過 的 任 何 直 線 都 是 二 次 曲 線小 結 ： 的 切 線 。 例 題 200 1 3.P 作 、業(yè) ： 29 5.4 二 次 曲 線 的 直 徑2課 時二 次 曲 線 切 線 的 直 徑 ；1.二 次 曲 線 切 線 的 直 徑 ； 2.二 次 曲 線 切 線 的 共 軛 方 向 。 1.理 解 二 次 曲 線 的 共 軛 方 向 ； 2.掌 握 二 次 曲 線 的 直 徑教 學 時 數(shù) ：教 學 重 點 ：教 學 難 ； 3.熟 悉 二 次 曲 線點 ：教 學 的 共目 標 ： 軛 直 徑

43、 。 返 回 30 復 習: 若 直 線 和 二 次 曲 線 相 交 于 重 合 的 兩 點 ， 則 這 條 直線 叫 二 次 曲 線 的 切 線 ， 交 點 叫 切 點 。 若 直 線 全 部 在 曲 線 上 ，也 稱 它 為 二 次 曲 線 的 切 線 ， 直 線 上 的 每 一 點定 義 都 是 切 點 。1 0 0 2 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0( , ) F x y F x yx y 二 次 曲 線 上 滿 足 的 點叫 二 次 曲 線 的 奇 點 ， 二 次 曲 線 的 非 奇 點 叫 做奇 點 和 正 常 點 ： 它 的 正 常 點 。( , ) ( , )M F

44、 x y M MM M F x y 若 是 的 正 常 點 ， 則 過 的 切 線 為 ； 若 為 奇點 ， 則 過 的 切 線 不 定 ， 把 過 的 每 一 條 直 線定 都 視 為理 ： 的 切 線 。0 011 0 12 0 0 22 0 13 0 23 0 33( , ) ( , )( ) ( ) ( ) 0M x y F x y Ma x x a x y xy a y y a x x a y y a 若 是 的 正 常 點 推 論 ， 則 過 的 切 線 方 程 為 ： 。 結 束 31 一 、 二 次 曲 線 的 直 徑 2 0 000 0 01 0 0 2 0 0 0 01 2

45、 0 0 1 2) ( , ) ( ,: 0 ( , ): ( , )( , ) 0 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0(1) ( , ) + =X XYF X t F X FX X Y Y x yx x tX Y x y y y tx y Y x y x y Y t F x yt t x y t t 設 是 二 次 曲 線 的 一 個 非 漸 近 方 向 ， 即 ， 而是 平 行 于 的 弦 的 中 心 ， 則 過 點 的 弦 為 ， 與 二 次 曲線 兩 交 點 由的 兩 根 與 確 定 。 又 因 為 為 弦 的 中 點 ， 所 以： 0，從 而 有證 1 0 0 2 0 01

46、211 12 12 22 13 230 0 ( , ) ( , ) 0 :( , ) ( , ) 0 (2)( ) ( ) 0 (3)( , ) F F XF FX Y X Yx y Y x y X Yx y Y x ya X a Y x a a y a ax y ， 可 見 平 行 于 方 向 的 弦 的 中 點的 坐 標 滿 足 方 程整 理 化 簡 得 ：1： 二 次 曲 線 的 一 族 平 行 弦 的 中 點 的 軌 跡定 理 是 一 條 直 線 。 32 11 1212 22 11 12 22 11 1212 22 0 0 0 0 2 20 ( ) 2 ( )( ) ( , )( ,

47、 ) :,0 : X Y a X a Ya X a Y X a X a XY a Y a X a Y Xa X a Y Y Xx y x y X YY 反 之 ， 若 點 滿 足 (2)式 ， 則 (1)中 將 有 絕 對 值 相 等 而符 合 相 反 的 兩 根 ， 點 就 是 具 有 方 向 的 弦 的 中 點 ，因 此 方 程 (2)為 一 族 平 行 于 某 一 非 漸 近 方 向 的 弦 中 點 軌 跡方 程 。 方 程 (2)的 一 次 項 系 數(shù) 不 全 為 零 ， 因 為 當時 ， 有， 這 與 Y是 非 漸 近 方 向 的 假 設 矛 盾 ， 所 以(2)是 一 個 二 元

48、一 次 方 程 ， 是 一 條 直 線 。 二 次 曲 線 的 直 徑.1 二 次 曲 線 平 行 弦 的 中 點 軌 跡 叫 做 這 個 二 次 曲 線 的 直 徑 ， 它 所 對 應 的 平 行 弦 ， 叫 做 共 軛 于 這 條 直 徑 的 共軛 弦 ， 而 直 徑 也 叫 做 共 軛 于 平 行 弦 方定 義 向 的 直 徑 。 33 1 21 11 12 132 12 22 23( , ) ( , ) 0 (4)( , ) = (5)( , ) = (6) kF x y kF x yF x y a x a y aF x y a x a y a 若 二 次 曲 線 的 一 族 平 行

49、弦 的 斜 率 為 ， 則 共 軛 于 這 族平 行 弦 的 直 徑 方 程 是 ： 推 論 ： 若 00 則 ： 若 (5)(6)表 示 兩 條 不 同 直 線 時 ， (4)上 式 就 構 成 一 直 線 束 。推 論 1311 1212 22 23 (4)=aa aa a a 若 (5)(6)表 示 同 一 直 線 ， 這 時 ， 為 一 條 直 線 ；1311 12 11 1212 22 12 22 23 (4)aa a a aa a a a a 當 時 (4)為 中 心 直 線 束 ； 當 為 平 行 直 線 束 ； 34 證 明 續(xù) 11 12 131311 1211 12 13

50、12 22 2311 12 13 1311 1212 22 23 00 0 (4) 0(4) a x a y aaa aa a a a a a a a aaa aa a a 若 (5)(6)中 有 一 個 為 矛 盾 方 程 ， 比 如中 ， ， 這 時 成 立 ， 仍 為 一 平行 直 線 束 ； 若 (5)(6)有 一 個 為 恒 等 式 ， 如 ， 這時 成 立 ， 只 表 示 一 條 直 線 。11 1212 22 1311 1212 22 23a aa a aa aa a a 于 故 即 二 次 曲 中 心 曲 ， 它 的 全 部 直 一中 心 直 束 ， 該 直 束 的 中 心 即

51、 二 次 曲 中 心 ；即 二 次 曲 心 曲 , 其 全 部 直 于 一 平 行 直 束 。徑屬徑屬當 時 線為 線個 線 線 線 當時 線為無 線 個 線 35 定 理 22 中 心 二 次 曲 線 的 直 徑 通 過 曲 線 的 中 心 ， 無 心二 次 曲 線 的 直 徑 平 行 于 曲 線 的 漸 近 方 向 ， 線 心 二 次 曲 線 的 直 徑 只 有 一 條 ， 就 是 曲 線 的 中定 理 ： 心 直 線 。11 12 13 12 2223 12 11 22 121311 1212 22 23 : : : 0(0) X Ya x a y a a x a ya a a a aa

52、a aa a a 其 方 向 二 次 曲 的 近 方 向 ；， 即 二 次 曲 心 曲 ， 這 二 次 曲只 有 一 直 ， 它 的 方 程 是 ： 或， 即 心 二 次 曲 的 中 心 直 。 因 此 有 ：為 線 漸 當線為線 線時 時 線條 徑線 線 線 36 二 、 共 軛 方 向 和 共 軛 直 徑12 22 11 12 : ( ):( ) := X Ya X a Y a X a Y X YX Y 我 把 二 次 曲定 ： 的 與 非 近 方 向 共 直 的 方 向叫 做 非 近 方 向 的 共 方 向 。們 線 漸 軛漸 軛義2 2 12 22 11 122 211 12 22 1

53、2 12 22 112 2 2 2 2 2 212 22 11 12 11 22 12 11 12 222 ,( , ) ( ) , ( ) 0( , ) ( ) 2 ( )() ( ) ( )( 2 )0, 0X YX X XX X XX X XYI X Y a a Y t Y a a Y t tX Y a a a Y t a a a Y aa Y t a a a Y t a a a a a a Y tt t 所 以 有 。 其 中 ，因 此 有 ： ， 因 為 為 非 漸 近 方 向 ， 所 以 另 外 ，因 2 2, ( )( )0 0 00 X YX YI I 此 當 即 二 次 曲

54、線 為 中 心 曲 線 時 ， ； 當 。即 二 次 曲 線 為 非 中 心 曲 線 時 ， 。 這 就 是 說 ： 中 心 二 次 曲 線 的 非 漸 近 方 向 的 共 軛 方 向 仍 然 是非 漸 近 方 向 ， 而 在 非 中 心 二 次 曲 線 的 情 形 是 漸 近 方 向 。 37 11 12 22 : : ( ) 0:X YX XX XY X Y YYX YX XY a a aY Y X Y : 由 以 上 可 知 ， 二 次 曲 線 的 非 漸 近 方 向 和 它 的 共 軛 方 向的 關 系 ： ， 可 知 兩 方 向 是對 稱 的 。 故 對 中 心 曲 線 來 說 ，

55、非 漸 近 方 向 的 共 軛 方 向 為 非漸 近 方 向 ， 而 的 共 軛 方 向 為 。 2 2( , ) 2 2 2 3 0: F x y x xy y x yX Y 求 的 共例 3： 軛 于 非 漸近 方 向 的 直 徑 。206 3 6P 作 業(yè) ： 共 軛 直 徑 2 22 2 1x ya b 求例 1： 或 曲 的 直 。橢圓 雙 線 徑3 中 心 曲 線 一 對 相 互 共 軛 方 向 的 直 徑 叫 一 對 共定 義 ： 軛 直 徑 。2 2y px例 2： 求 物 的 直 。拋 線 徑 38 5.5 二 次 曲 線 的 主 直 徑 和 主 方 向2課 時二 次 曲 線

56、 的 主 方 向 和 主 直 徑 ；1.二 次 曲 線 的 主 方 向 和 主 直 徑 ； 2.二 次 曲 線 切 線 的 特 征 根 。 1.理 解 二 次 曲 線 的 特 征 根 ； 2.掌 握 二 次 曲 線 的 主 方教 學 時 數(shù) ：教 學 重 點 ：教 學 難 點 向 ； 3.熟 悉 二 次 曲 線：教 學 目 標 ： 的 主 直 徑 。 返 回 39 復 習:1 二 次 曲 線 的 一 族 平 行 弦 的 中 點 軌 跡定 理 是 一 條 直 線 。1. 二 次 曲 線 的 平 行 弦 中 點 軌 跡 叫 做 這 個 二 次 曲 線的 直 徑 ， 它 所 對 應 的 平 行 弦

57、， 叫 做 共 軛 于 這 條 直 徑 的 共 軛弦 ； 而 直 徑 也 叫 做 共 軛 于 平 行 弦 方定 義 向 的 直 徑 。2 中 心 二 次 曲 線 的 直 徑 通 過 曲 線 的 中 心 ， 無 心 二次 曲 線 的 直 徑 平 行 于 曲 線 的 漸 近 方 向 ， 線 心 二 次 曲 線 的 直 徑 只 有 一 條 ， 就 是 曲 線定 理 ： 中 心 直 線 。12 22 11 12 :):( ) :X X YY a X a Y a X a Y X Y =-: 我 把 二 次 曲 的 與 非 近 方 向 共 的 直 方向 叫 做 非 近 方 向 的 共 方 向 。定 ： 們

58、 線 漸 軛 徑漸 軛義23 中 心 曲 線 一 對 相 互 共 軛 方 向 的 直 徑 叫 一 對 共定 義 ： 軛 直 徑 。結 束 40 一 、 定 義二 、 主 直 徑 與 主 方 向 的 求 法 2 211 12 22 13 23 33 ( , ) 2 2 2 0F x y a x a xy a y a x a y a 設 二 次 曲 線 12 12 22 11 1211 12 12 22: (1 ( , )( , ) 0 : ):( ):0 : ( ):( )XFX X X X YX X x yYF x y Y Y a a Y a aX YXX YY X Y a a Y a a Y

59、 .若 為 中 心 曲 線 ， 則 與 的 非 漸 近 方 向 共 軛 的 直 徑 為， 設 直 徑 方 向 為 ， 則由 主 方 向 的 定 義 ， 成 為 主 方 向 的 條 件 是 它 垂 直 于 它 的 共 軛 方 向 ， 在直 角 坐 標 系 下 ， 由 垂 直 的 充 要 條 成 為 中 心 二 次 曲 線 的 主 方 向 的 條 件 是 ：件 得 代 人 上 式 得 ： 。 二 次 曲 線 的 垂 直 于 其 共 軛 弦 的 直 徑 叫 二 次 曲 線的 主 直 徑 ， 主 直 徑 的 方 向 與 垂 直 于 主 直 徑 的 方 向 都 叫 二 次曲 線 的 主 方 向 。 顯

60、然 ， 主 直 徑 是 二 次 曲 線 的 對 稱 軸 ， 故 也叫 二 次 曲 線 的 軸 ， 軸 與 曲 線 的 交 點 叫 曲 線 的義 ： 頂 點 。定 41 11 1212 2211 1212 22 211 12 1 212 22: (1)=( ) 0( ) 0 0 (2) 0 (3)X XXXX a a YX Y a a Y Ya a Y Xa a Ya aX Y I Ia a Y 故 成 為 中 心 二 次 曲 線 主 方 向 的 條 件 是改 寫 成 ， 它 是 關 于 、 的 齊 次 線 性 方 程 組 ， 而、 不 全 為 0， 所 以 ， 即因 此 對 中 心 二 次 曲

61、 線 ， 求 出 代 人 方 程 得 主 方 向 。 1 1 12 11 22 122 2 11 12 12 221 1 12 11 22 122 2 11 12 12 222 : : :( ): : : : :( ): : :X YX X Y a a a aX Y a a a aa a a aY a a a a . 若 二 次 曲 線 為 非 中 心 二 次 曲 線 ， 則 它 的 任 何 直 徑 的 方 向總 是 它 的 唯 一 的 漸 近 方 向 ， 而 垂 直 于它 的 方 向 顯 然 為 ， 所 以 非 中 心 二 次 曲 線的 主 方 向 為 漸 近 主 方 向 ， 非 漸 近 主

62、 方向 。 主 方 向 42 主 直 徑 22 1 2 1 11 2200 05 1 :5 1 5 2XX YY II I a aX Y 若 把 推 廣 到 非 中 心 二 次 曲 線 ， 即 式 中 的可 取 零 ， 當 時 方 程 的 兩 根 是 ，把 它 代 人 式 所 得 的 主 方 向 ， 正 是 非 中 心 二 次 曲 線 的 漸近 主 方 向 與 非 漸 近 主 方 向 。 因 此 ， 一 個 方 向 成 為 二 次曲 線 的 主 方 向 的 條 件 是 成 立 ， 這 里 的 是 方 程 的 根 。 2 1 2 0 ( , ) 01 I I F x y 方 程 叫 做 二 次

63、曲 的 特 征方 程 ， 它 的 根 叫 做 二 次 曲 的 特 征 根 。 二 次 曲 的 特征 方 程 求 出 特 征 根 ， 代 人 5 ， 得 到 相 的 主 方 向 ， 若主 方 向 非 近 方 向 ， 就 能 得 到 共 于 它 的 主 直 。線線 從 線應為 漸 則 軛 徑 43 三 、 特 征 根 0 0 由 二 次 曲 特 征 根 確 定 的 主 方 向 ， 二次 曲 的 非 近 主 方 向 ；定 理 3: 二 次 曲 的 近 主 方 向 。線 當 時為線 漸 當 時為 線 漸二 次 曲 線 的 特 征 根 不 能定 理 2: 全 為 零 。2 21 2 11 22212 4

64、 ( )4 0 I I a aa 因 為 特 征 方 程 的 判 別 式， 故 二 次 曲 線 的 特 征證 ： 根 都 是 實 數(shù) 。 1 2211 22 11 22 12 11 12 223 00 0 0I Ia a a a a a a a 若 二 次 曲 的 特 征 根 全 零 , 由 5 得 ,證 :即 與 ， 而 與 二次 曲 的 定 矛 盾 ， 故 它 的 根 不 能 全 零 。 線 為 則從 這線 義 為二 次 曲 線 的 特 征 根 都定 理 1: 是 實 數(shù) 。 44 定 理 42 2 2 211 12 22 11 12 12 22( , ) 2 ( ): ) (X Y a

65、X a XY a Y a X a Y X a X a Y Y X Y 證 2 2( ) 0 ( , ) 0 :0 ( , ) 0 : XXX Y X Y Y X YY X Y 。 又 、 不 全 為 零 ， 故 當 時 ， ， 是 二 次 曲 線的 非 漸 近 主 方 向 ； 當 時 ， ， 是 二 次 曲 線 的 漸 近 主 方 向 。中 心 二 次 曲 線 至 少 有 兩 條 主 直 徑 ， 非 中 心 的 只 有 一 條定 理 4: 主 直 徑 。 21 211 2 4 .2I I I ，證 ： 由 特 征 根 方 程 解 得 特 征 根 ：2 2 21 2 11 22 12 11 23

66、 1211 224 ( ) 4 0 , 0( 0) 5 1I I a a a a a aa a ,則 ,這 時 的 中 心 曲 線為 圓 ,它 的 特 征 根 為 一 對 二 重 根 : 把 它 代 人 ,則 得:X Y到 兩 個 恒 等 式 ,它 被 任 何 方 向 所 滿 足 ,故 任 何 實 方 向 都 是 圓 的 非 漸 近主 方 向 ,從 而 通 過 圓 心 的 任 何 直 線 不 僅 都 是 直 徑 ,而 且 都 是 圓 的 主 直 徑 。2 0I p二 次 曲 中 心 曲 ， 若 特 征 方 程 的 判 式 ：1. 當 線為 線時 別 45 1 2 2 2 2 21 2 11 22 121 21 12 1 11 1 22 12 1 1 12 1 111 22 12 12 2 11 2 22 12: : = 4 ( ) 4 05 1: : , : : : :X Y X YX Y I I a a aa a a a a aa a a a a a 若 特 征 方 程 的 判 別 式 ， 則 特 征根 為 兩 個 不 等 的 非 零 實 根 ， ， 將 它 們 代 人 得 相 應