《高中數(shù)學(xué) 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用 2_4 最大值與最小值問題優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型課件 新人教B版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 柯西不等式與排序不等式及其應(yīng)用 2_4 最大值與最小值問題優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型課件 新人教B版選修4-5（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.4 最 大 值 與 最 小 值 問 題 ,優(yōu) 化 的 數(shù) 學(xué) 模 型 1.了解最值點、最值問題的概念.2.能靈活應(yīng)用平均值不等式、柯西不等式求一些簡單問題的最值.3.能求解一些較容易的實際應(yīng)用問題的最值. 最 值 問 題設(shè)D為f(x)的定義域,如果存在x0 D,使得f(x)f(x0)(f(x)f(x0),x D,則稱f(x0)為f(x)在D上的最大(小)值,x0稱為f(x)在D上的最大(小)值點.尋求函數(shù)的最大(小)值及最大(小)值問題統(tǒng)稱為最值問題,本節(jié)我們用平均值不等式及柯西不等式解決某些初等函數(shù)的最值問題. 【 做 一 做 】 用一張鋼板制作一個容積為4 m3的無蓋長方體水箱.可用的

2、長方形鋼板有四種不同的規(guī)格(長寬的尺寸如各選項所示,單位:m).若既要夠用,又要所剩最少,則應(yīng)選擇鋼板的規(guī)格是()A.25 B.25.5C.26.1 D.35解 析 :本題是一道立體幾何和基本不等式相結(jié)合的綜合題,此題主要考查考生信息處理能力和應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題的能力,此題的題眼是“既要夠用,又要所剩最少”.設(shè)長方體水箱的長、寬、高分別為x,y,z, 答 案 :C 在 利 用 平 均 值 不 等 式 解 決 某 些 初 等 函 數(shù) 的 最 值 問 題 時 要 注 意 什么 ?剖 析 :要注意三點:函數(shù)式中,各項(必要時,還要考慮常數(shù)項)必須都是正數(shù),若不是正數(shù),則必須變形為正數(shù);函數(shù)式中

3、,含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù),才能利用“定理”求出函數(shù)的最大(小)值.若含變數(shù)的各項之和或積不是常數(shù)(定值)時,則必須進行適當(dāng)?shù)呐錅?使和或積變?yōu)槌?shù)(定值),才能使用“定理”求出函數(shù)的最大(小)值;利用平均值不等式求最值時,必須能取到等號,若取不到等號,則必須經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?使之能取到等號.上述三點可簡記為“一正,二定,三相等”. 題型一 題型二 題型三 題型四利 用 平 均 值 不 等 式 求 最 值【 例 1】 已知x (0,+),求函數(shù)y=x(1-x2)的最大值. 題型一 題型二 題型三 題型四反 思拼湊數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),以便能利用平均值不等式求最值,是必須掌握的一種解題方法,但拼湊要合理

4、,且要符合適用的條件,對于本題,有的學(xué)生可能這樣去拼湊:雖然其中的拼湊過程保證了三個數(shù)的和為定值,但忽略了取等號的條件,顯然x=2-2x=1+x無解,即無法取到等號,也就是說,這樣拼湊是不正確的.這就要求平時多積累一些用拼湊方法的題型及數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),同時注意平均值不等式的使用條件,三個缺一不可. 題型一 題型二 題型四題型三 利 用 柯 西 不 等 式 求 最 值【 例 2】 兩批貨物分別為m噸,n噸,要從甲運往丙,途中要經(jīng)過乙中轉(zhuǎn),從甲到乙是公路運輸,兩批貨物的運價都是每噸a元,從乙到丙是航空運輸,運價都是每噸b元,問總運費最少為多少元?分 析 :由題意知就是利用柯西不等式求(m+n)(a+b)

5、的最小值.反 思應(yīng)用柯西不等式求函數(shù)的最值,關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù),并向著柯西不等式的形式進行轉(zhuǎn)化. 題型一 題型二 題型三 題型四 實 際 應(yīng) 用 問 題【 例 3】 如圖所示,把一塊邊長是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形,再把它的邊沿著虛線翻折成一個無蓋方底的盒子,問切去的正方形邊長是多少時,才能使盒子的容積最大?分 析 :設(shè)切去的小正方形的邊長為x,由題意可知,折成的盒子的底面邊長為a-2x,高為x,這時盒子的容積V=(a-2x) 2x,再利用三個正數(shù) 題型一 題型二 題型三 題型四反 思求實際問題的最值,關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,從而將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題再求最值. 題型一 題型二 題型三 題型四 易 錯 辨 析易 錯 點 :求 最 值 時 因 忽 略 變 量 的 取 值 范 圍 致 錯 .錯 因 分 析 :錯誤的原因是沒有注意函數(shù)的定義域x|x0或x0時,可直接應(yīng)用平均值不等式,而當(dāng)x0,a1)的圖象恒過定點A,若點A在直線 答 案 :8 1 2 3 4 5 答 案 :