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2022-2023學(xué)年廣西南寧市高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷【含答案】

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1、第I卷(選擇題) 一、單選題(本大題共8小題,共40分。在每小題列出的選項中,選出符合題目的一項) 1. 已知i為虛數(shù)單位,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)11?i的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于(????) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面向量a=(1,2),b=(?2,y),若a//b,則a+b=(????) A. (?1,?2) B. (?1,6) C. (?1,3) D. (?1,1) 3. 若函數(shù)f(x)=x2+1,x≤0log3(x+3),x>0,則f(f(?2))=(????) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知集合A=

2、{x|y= x+3},B={x|x?3x?1<0},則A∪B=(????) A. (?3,+∞) B. [?3,+∞) C. (?3,3) D. [?3,3) 5. 已知角α的終邊經(jīng)過點(?1, 3),則tan(α+π2)+sin(2α?3π)=(????) A. 32 B. ?34 C. ? 36 D. 5 36 6. 如圖所示,△ABC的直觀圖是邊長為2的等邊△A'B'C',則在原圖中,BC邊上的高為(????) A. 2 6 B. 6 C. 2 3 D. 3 7. 若sinα=2sinβ,sin(α+β)?tan(α?β)=1,則tanαtanβ=(????)

3、 A. 2 B. 32 C. 1 D. 12 8. 在平行四邊形ABCD中,BE=12EC,DF=2FC,設(shè)AE=a,AF=b,則AC=(????) A. 67a+37b B. 37a+67b C. 34a+13b D. 13a+34b 二、多選題(本大題共4小題,共20分。在每小題有多項符合題目要求) 9. 已知x,y∈R,i為虛數(shù)單位,且(x+1)i?y=?1+2i,復(fù)數(shù)z=(1?i)x+y,則以下結(jié)論正確的是(????) A. z的虛部為?2i B. z的模為2 C. z的共軛復(fù)數(shù)為2i D. z對應(yīng)的點在第四象限 10. 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,

4、b,c,下列說法中正確的是(????) A. “△ABC為銳角三角形”是“sinA>cosB”的充分不必要條件 B. 若sin2A=sin2B,則△ABC為等腰三角形 C. 命題“若A>B,則sinA>sinB”是真命題 D. 若a=8,c=10,B=π3,則符合條件的△ABC有兩個 11. 下列說法正確的是(????) A. 若a?b=a?c,且a≠0,則b≠c B. 若z1,z2為復(fù)數(shù),則|z1?z2|=|z1|?|z2| C. 設(shè)a,b是非零向量,若|a+b|=|a?b|,則a?b=0 D. 設(shè)z1,z2為復(fù)數(shù),若|z1+z2|=|z1?z2|,則z1z2=0 12

5、. 向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一,它既是代數(shù)研究對象,也是幾何研究對象,是溝通代數(shù)與幾何的橋梁.若向量a,b滿足|a|=|b|=2,|a+b|=2 3,則(????) A. a?b=?2 B. a與b的夾角為π3 C. |a?b|>|a+b| D. a?b在b上的投影向量為?12b 第II卷(非選擇題) 三、填空題(本大題共4小題,共20分) 13. 已知命題p:?x0∈R,x02+2x0+a≤0,命題q:?x>0,x+1x>a,若p假q真,則實數(shù)a的取值范圍為______ . 14. 1?tan?75°1+tan?75°=??????????. 15. 若圓x2

6、+y2?2ax?2by=0(a>0,b>0)被直線x+y=1平分,則1a+2b的最小值為______ . 16. 如圖,在△ABC中,已知BD=12DC,P為AD上一點,且滿足CP=mCA+49CB,若△ABC的面積為 3,∠ACB=π3,則|CP|的最小值為______ . 四、解答題(本大題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟) 17. (本小題12分) 設(shè)向量a、b滿足|a|=|b|=1,且|3a?2b|= 7. (1)求a與b夾角的大小; (2)求a+b與b夾角的大??; (3)求|3a+b||3a?b|的值. 18. (本小題12分)

7、在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)bsinC= 3sinC+3cosC,A=π3. (Ⅰ)求c; (Ⅱ)若BC,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于P,AM=3,以P為圓心,r(0

8、形ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若f(A)= 3,a=3,B=π6,求△ABC的面積. 21. (本小題12分) 已知向量a=( 3,k),b=(0,?1),c=(1, 3). (Ⅰ)若a⊥c,求k的值; (Ⅱ)當(dāng)k=1時,a?λb與c共線,求λ的值; (Ⅲ)若|m|= 3|b|,且m與c的夾角為150°,求 |m+2c|. 22. (本小題12分) 已知e1,e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量,AB=2e1+e2,BE=?e1+λe2,EC=?2e1+e2,且A,E,C三點共線. (1)求實數(shù)λ的值; (2)若e1=(3,1),e2=(?1,?2),求

9、BC的坐標(biāo); (3)已知D(?12,3),在(2)的條件下,若A,B,C,D四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形,求點A的坐標(biāo). 答案和解析 1.【答案】D? 【解析】∵11?i=1+i(1?i)(1+i)=12+12i, ∴復(fù)數(shù)11?i的共軛復(fù)數(shù)為12?12i, ∴復(fù)數(shù)11?i的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(12,?12)位于第四象限. 故選:D. 2.【答案】A? 【解析】a=(1,2),b=(?2,y),a//b, 則y=?2×2=?4, a=(1,2),b=(?2,?4), 故a+b=(?1,?2). 故選:A. 3.【答案】C? 【解析】根據(jù)題意,函數(shù)f(x)=x2+

10、1,x≤0log3(x+3),x>0,則f(?2)=4+1=5, 則f(f(?2))=log28=3. 故選:C. 4.【答案】B? 【解析】A={x|x≥?3},B={x|1

11、.【答案】A? 【解析】在直觀圖中, 因為邊長為2的等邊△A'B'C',所以B'C'上的高?= 3, ∴O'A'=?sin45°= 6, ∴在原圖中,BC上的高AO=2 6. 故選:A. 7.【答案】A? 【解析】 因為cos(α+β)=cosαcosβ?sinαsinβcos(α?β)=cosαcosβ+sinαsinβ, 所以sinαsinβ=12[cos(α?β)?cos(α+β)], 所以sin(α+β)sin(α?β)=12(cos2β?cos2α), 又sin(α+β)?tan(α?β)=1, 所以sin(α+β)?sin(α?β)cos(α?β)=1

12、,即sin(α+β)sin(α?β)=cos(α?β), 所以12(cos2β?cos2α)=cos(α?β), 所以12(1?2sin2β?1+2sin2α)=cos(α?β),即sin2α?sin2β=cos(α?β), 又sinα=2sinβ, 所以4sin2β?sin2β=cosαcosβ+sinαsinβ, 所以4sin2β?sin2β=cosαcosβ+2sin2β, 所以sin2β=cosαcosβ, 所以12sinαsinβ=cosαcosβ,即sinαsinβ=2cosαcosβ, 又易知cosαcosβ≠0, 所以sinαsinβcosαcosβ=2,即t

13、anαtanβ=2. 故選A. ?? 8.【答案】B? 【解析】如圖: 因為四邊形ABCD為平行四邊形, 所以AC=AB+AD,BC=AD,DC=AB, 因為BE=12EC,DF=2FC, 所以BE=13BC,DF=23DC, 所以AE=AB+BE=AB+13BC=AB+13AD, AF=AD+DF=AD+23DC=AD+23AB, 因為AE=a,AF=b, 所以AB+13AD=aAD+23AB=b,解得AB=97a?37bAD=97b?67a, 所以AC=AB+AD=97a?37b+97b?67a=37a+67b, 故選:B. ?? 9.【答案】BC?

14、【解析】(x+1)i?y=?1+2i, 則x+1=2,?y=?1,解得x=1,y=1, 故z=(1?i)2=?2i, z的虛部為?2,z的模為2,故A錯誤,B正確; z?=2i,故C正確;z對應(yīng)的點(0,?2)位于虛軸負半軸上,故D錯誤. 故選:BC. 10.【答案】AC? 【解析】若△ABC為銳角三角形,則A∈(0,π2),B∈(0,π2),且A+B>π2,即A>π2?B,又A∈(0,π2),π2?B∈(0,π2),則sinA>sin(π2?B)=cosB;反之,若B為鈍角,滿足sinA>cosB,不能推出△ABC為銳角三角形,故A正確; 由sin2A=sin2B,得2A

15、=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2,所以△ABC為等腰三角形或直角三角形,故B錯誤; 若A>B,則a>b,由正弦定理得asinA=bsinB,即sinA>sinB成立,故C正確; 根據(jù)余弦定理得b2=a2+c.2?2accosB,即b2=82+102?2×8×10×12=84,所以b=2 21,符合條件的△ABC只有一個,故D錯誤. 故選AC. ?? 11.【答案】BC? 【解析】若a?b=a?c,且a≠0,則a?(b?c)=0,即a⊥(b?c)或b=c,故A錯誤; 設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,(a,b,c,d∈R), |z1|= a2+b2,|z2|= c2

16、+d2, 則|z1z2|=|ac?bd+(ad+bc)i|= a2c2+b2d2+a2d2+b2c2= (a2+b2)(c2+d2), |z1z2|= (a2+b2)(c2+d2),故B正確; 因為a、b為非零向量,|a+b|=|a?b|,兩邊同時平方可得,(a+b)2=(a?b)2, 即a2+b2+2a?b=a2+b2?2a?b, 所以a?b=0,故C項正確; 當(dāng)z1=i,z2=1時,滿足|z1+z2|=|z1?z2|,但不滿足z1?z2=0,故D項錯誤. 故選:BC. 12.【答案】BD? 【解析】∵|a|=|b|=2,|a+b|=2 3, 所以12=|a+b|2=a2

17、+2a?b+b2=4+2a?b+4, 解得a?b=2,A錯誤; 設(shè)a,b的夾角為α,則cosα=a?b|a||b|=22×2=12, 由于α∈[0,π], ∴a與b的夾角為π3,故B正確; |a?b|= (a?b)2= a2?2a?b+b2= 4?2a?b+4=2<|a+b|=2 3,故錯誤; a?b在b上的投影向量為b?(a?b)|b|?b|b|=a?b?b22?b|b|=?b|b|=?12b,故D正確. 故選:BD. 13.【答案】(1,2)? 【解析】命題p:由題意可得Δ=4?4a≥0,解得a≤1; 命題q:由題意只需a<(x+1x)min,又當(dāng)x>0時,x+1x≥2

18、,當(dāng)且僅當(dāng)x=1是取等號,所以a<2, 因為p假q真,則a>1a<2,所以1

19、)=3+ba+2ab≥3+2 2, 當(dāng)且僅當(dāng)ba=2ab時,a= 2?1,b=2? 2時取等號, 故1a+2b的最小值為3+2 2. 故答案為:3+2 2. 16.【答案】43? 【解析】設(shè)AP=λAD,則CP=CA+λAD=CA+λ(CD?CA)=(1?λ)CA+23λCB. 又CP=mCA+49CB,則1?λ=m49=23λ,解得m=13, 所以CP=13CA+49CB,令|CA|=x,|CB|=y, 則S△ABC=12|CA|×|CB|×sin∠ACB= 34xy= 3, 所以xy=4,且x>0,y>0. 所以|CP|2=19x2+1681y2+427xy=19x2+

20、1681y2+1627≥2 19x2×1681y2+1627=169, 當(dāng)且僅當(dāng)19x2=1681y2,即3x=4y,即3|CA|=4|CB|時等號成立, 所以|CP|的最小值為43. 故答案為:43. 17.【答案】(1)|a|=|b|=1,且|3a?2b|= 7, 即有(3a?2b)2=7, 即9a2?12a?b+4b2=7, 9?12×1×cos+4=7, 即有cos=12, 由0≤≤π, 可得a與b夾角為π3; (2)由(a+b)?b=a?b+b2=12+1=32, |a+b|= a2+b2+2a?b= 1+1+1= 3, 則co

21、s=(a+b)?b|a+b|?|b|=32 3= 32, 由于0≤≤π, 即有a+b與b夾角為π6; (3)|3a+b|2=9a2+6a?b+b2=9+6×12+1=13, 即有|3a+b|= 13, |3a?b|2=9a2?6a?b+b2=9?6×12+1=7, 即有|3a?b|= 7, 故|3a+b||3a?b|= 13 7= 917.? 18.【答案】(Ⅰ)由正弦定理及bsinC= 3sinC+3cosC,A=π3得csinB= 3sinC+3cosC, ∴csin(C+A)=2 3(12sinC+ 32cosC), ∴csin(C+π3)

22、=2 3sin(C+π3), ∵C∈(0,2π3),∴C+π3∈(π3,π),∴sin(C+π3)≠0, ∴c=2 3. (Ⅱ)以A為坐標(biāo)原點,AC所在直線為x軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系, 則A(0,0),B( 3,3),設(shè)C(t,0),∴M(t+ 32,32),∵|AM|=3,∴t=2 3,∴C(2 3,0), 又∵P為三角形的重心,∴P( 3,1), ∴圓P:(x? 3)2+(y?1)2=r2(0

23、sinθ), ∴TA+TB+3TC=(2 3?5rcosθ,?2?5rsinθ), ∴|TA+TB+3TC|2=(2 3?5rcosθ)2+(?2?5rsinθ)2=16+25r2+40rsin(θ?π3)≤25r2+40r+16≤25×12+40×1+16=81, ∴|TA+TB+3TC|max=9. ? 19.【答案】(1)z=a?i1+i=(a?i)(1?i)(1+i)(1?i)=a?12?a+12i, 因為z為純虛數(shù),所以a?12=0,且?a+12≠0,則a=1. (2)由(1)知,z=a?12+a+12i,則點(a?12,a+12)位于第二象限, 所以a?1<0a+1

24、>0,得?1

25、π4或5π12, 當(dāng)A=π4時,C=π?π4?π6=7π12,不符合題意; 當(dāng)A=5π12時,C=π?5π12?π6=5π12,符合題意, 所以a=3,B=π6,A=5π12,C=5π12, 此時△ABC為等腰三角形,所以c=a=3, 所以SΔABC=12acsinB=12×3×3×sin?π6=12×3×3×12=94, 即△ABC的面積為94.? 21.【答案】(Ⅰ)∵a⊥c,∴a?c=0,∴ 3+ 3k=0,解得k=?1; (Ⅱ)∵k=1,∴a=( 3,1),又b=(0,?1),∴a?λb=( 3,1?λ). ∵a?λb與c共線,∴ 3× 3?(1+λ)=0,解得λ=2

26、; (Ⅲ)∵|b|= 0+(?1)2=1,∴|m|= 3. 又m與c的夾角為150°,|c|= 1+( 3)2=2. ∴m?c=|m|?|c|cos150°= 3×2×cos150°=?3, |m+2c|= m2+4m?c+4c2= ( 3)2+4×(?3)+4×22= 7.? 22.【答案】(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(?e1+λe2)=e1+(1+λ)e2, 因為A,E,C三點共線,所以存在實數(shù)k,使得AE=kEC, 即e1+(1+λ)e2=k(?2e1+e2),得(1+2k)e1=(k?1?λ)e2. 因為e1,e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量,所以1+2k=0k?1?λ=0 解得k=?12,λ=?32; (2)BC=BE+EC=?e1?32e2?2e1+e2=?3e1?12e2=?3×(3,1)?12×(?1,?2)=(?9,?3)+(12,1)=(?172,?2), (3)設(shè)A(x,y), 由題意可得AD=BC=(?172,?2), ∴?12?x=?172,3?y=?2, ∴x=8,y=5. ∴A(8,5).?

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