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1、 1)了解什么是有限單元法、有限單元法的基本思想。2)學(xué)習(xí)有限單元法的原理，主要結(jié)合彈性力學(xué)問題來介紹有限單元法的基本方法，包括單元分析、整體分析、載荷與約束處理、等參單元等概念。3)初步學(xué)會(huì)使用商用有限元軟件分析簡單工程問題。4)了解有限元軟件的基本結(jié)構(gòu)和有限單元法當(dāng)前的進(jìn)展情況。 l課程評估作業(yè)25%隨堂測驗(yàn)25%專題分析與報(bào)告50%l課程進(jìn)度安排第16周，課堂教學(xué)第710周，學(xué)習(xí)ANSYS與上機(jī)練習(xí)第1215周，課堂教學(xué)第16周，課程總結(jié)/交流 1.王勖成,邵敏編著. 有限單元法基本原理和數(shù)值方法 . 北京 : 清華大學(xué)出版社, 19972.朱伯芳著. 有限單元法原理與應(yīng)用（第2版）.

2、北京: 中國水利水電出版社, 19983. Saeed Moaveni. Finite Element Method Theory and Application with ANSYS. New Jersey: Prentice-Hall, Inc., 1999 4. O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. The finite element method( 5th ed). Oxford ; Boston : Butterworth-Heinemann, 20005.郭和德編. 有限單元法概論，清華大學(xué)，1998 1 有限單元法簡介1.1有限單元法的形成1.2有限單元

3、法的基本思路1.3有限單元法的計(jì)算步驟1.4有限單元法的進(jìn)展與應(yīng)用 1.1有限單元法的形成l兩類典型的工程問題第一類問題，可以歸結(jié)為有限個(gè)已知單元體的組合。例如，材料力學(xué)中的連續(xù)梁、建筑結(jié)構(gòu)框架和桁架結(jié)構(gòu)。 平面桁架結(jié)構(gòu)，由6個(gè)承受軸向力的“桿單元”組成。1889年建成的Effiel塔，由18036個(gè)部件組成 大型編鐘“中華和鐘”的振動(dòng)分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)，由曾攀教授完成。 第二類問題，通?？梢越⑺鼈儜?yīng)遵循的基本方程，即微分方程和相應(yīng)的邊界條件。例如彈性力學(xué)問題，熱傳導(dǎo)問題，電磁場問題等。熱傳導(dǎo)問題的控制方程與換熱邊界條件如下：tTcQzTzyTyxTx TThnT f 300MW汽輪機(jī)低壓轉(zhuǎn)子淬

4、火 兩類問題的對比l第一類問題的研究對象稱為離散系統(tǒng)。離散系統(tǒng)是可解的，但是求解復(fù)雜的離散系統(tǒng)，要依靠計(jì)算機(jī)技術(shù)。l第二類問題的研究對象稱為連續(xù)系統(tǒng)。可以建立描述連續(xù)系統(tǒng)的基本方程和邊界條件，通常只能得到少數(shù)問題的解析解。對于許多實(shí)際的工程問題，需要用近似算法求解。 有限單元法形成的背景在尋找近似解法的過程中，工程師和數(shù)學(xué)家從兩個(gè)不同的路線得到了相同的結(jié)果，即有限單元法（Finite Element Method)。有限單元法的形成可以回顧到二十世紀(jì)50年代，它的形成直接得益于土木結(jié)構(gòu)分析中的矩陣位移法和在飛機(jī)結(jié)構(gòu)分析中所獲得的成果。 l 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程

5、雜志上發(fā)表了一組能量原理和結(jié)構(gòu)分析論文。l 1956年，M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在紐約舉行的航空學(xué)會(huì)年會(huì)上介紹了一種新的計(jì)算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應(yīng)力問題。l 1960年， R.W. Clough在他的名為“The finite element in plane stress analysis”的論文中首次提出了有限元（Finite Element）這一術(shù)語 從固體力學(xué)的角度來看，桁架結(jié)構(gòu)與分割成有限個(gè)分區(qū)后的連續(xù)體在結(jié)構(gòu)上存在相似性。 有限單元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（1）l數(shù)學(xué)家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變

6、分原理和加權(quán)余量法。l在1963年前后，經(jīng)過J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞學(xué)磺）等許多人的工作，認(rèn)識(shí)到有限單元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發(fā)展了用各種不同變分原理導(dǎo)出的有限元計(jì)算公式。 有限單元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（2）l 1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發(fā)現(xiàn)只要能寫成變分形式的所有場問題，都可以用與固體力學(xué)有限單元法的相同步驟求解。l 1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權(quán)余量法特別是Galerkin法，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的有限

7、元過程來求解非結(jié)構(gòu)問題。 我國學(xué)者的貢獻(xiàn)陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法）錢令希（余能原理）錢偉長（廣義變分原理）胡海昌（廣義變分原理）馮康（有限單元法理論）20世紀(jì)60年代初期，馮康等人在大型水壩應(yīng)力計(jì)算的基礎(chǔ)上，獨(dú)立于西方創(chuàng)造了有限元方法并最早奠定其理論基礎(chǔ)。-數(shù)學(xué)辭海第四卷 1.2 有限單元法的基本思路l將連續(xù)系統(tǒng)分割成有限個(gè)分區(qū)或單元l用標(biāo)準(zhǔn)方法對每個(gè)單元提出一個(gè)近似解l將所有單元按標(biāo)準(zhǔn)方法組合成一個(gè)與原有系統(tǒng)近似的系統(tǒng)。 自重作用下等截面直桿的解受自重作用的等截面直桿如圖所示，桿的長度為L，截面積為A，彈性模量為E，單位長度的重量為q，桿的內(nèi)力為N。試求：桿的位移分布，桿的應(yīng)變和應(yīng)力。 )()(

8、 xLqxN EA dxxLqEAdxxNxdL )()()( x xLxEAqEAdxxNxu 0 2 )2()()( )( xLEAqdxdux )( xLAqE xx 自重作用下等截面直桿的材料力學(xué)解答 自重作用下等截面直桿的有限單元法解答1）離散化如圖所示，將直桿劃分成n個(gè)有限段，有限段之間通過一個(gè)鉸接點(diǎn)連接。稱兩段之間的連接點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，稱每個(gè)有限段為單元。第i個(gè)單元的長度為L i，包含第i，i+1個(gè)結(jié)點(diǎn)。 2）用單元節(jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)部位移第i個(gè)單元中的位移用所包含的結(jié)點(diǎn)位移來表示。)()( 1 ii iii xxL uuuxu 第i結(jié)點(diǎn)的位移 iuix第i結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo) i iii L

9、uudxdu 1第i個(gè)單元的應(yīng)變i iiii L uuEE )( 1 i iiii L uuEAAN )( 1 應(yīng)力內(nèi)力 3）把外載荷集中到節(jié)點(diǎn)上把第i單元和第i+1單元重量的一半，集中到第i+1結(jié)點(diǎn)上 4）建立結(jié)點(diǎn)的力平衡方程2 )( 11 iiii LLqNN對于第i+1結(jié)點(diǎn)，由力的平衡方程可得： 1 i ii LL令221 )11(2)1( iiiiiii LEAquuu )(2)()( 11 121 iii iii ii LLqL uuEAL uuEA 根據(jù)約束條件，01 u對于第n+1個(gè)結(jié)點(diǎn)，第n個(gè)單元的內(nèi)力與第n+1個(gè)結(jié)點(diǎn)上的外載荷平衡，2nn qLN EAqLuu nnn 2 2

10、1 建立所有結(jié)點(diǎn)的力平衡方程，再加上約束條件可以得到由n+1個(gè)方程構(gòu)成的方程組，可解出n+1個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移。 1.3 有限單元法的計(jì)算步驟有限單元法的計(jì)算步驟歸納為以下三個(gè)基本步驟：l網(wǎng)格劃分（離散化）l單元分析l整體分析 1.3.1網(wǎng)格劃分對彈性體進(jìn)行必要的簡化，再將彈性體劃分為有限個(gè)單元組成的離散體。單元之間通過單元節(jié)點(diǎn)相連接。由單元、結(jié)點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)連線構(gòu)成的集合稱為網(wǎng)格。 1.3.1網(wǎng)格劃分通常把三維實(shí)體劃分成四面體（Tetrahedron）或六面體（Hexahedron）單元的網(wǎng)格四面體4結(jié)點(diǎn)單元六面體8結(jié)點(diǎn)單元 1.3.1網(wǎng)格劃分三維實(shí)體的四面體單元?jiǎng)澐秩S實(shí)體的六面體單元?jiǎng)澐?1.3.1

11、網(wǎng)格劃分通常把平面問題劃分成三角形（triangular)或四邊形(quadrilateral)單元的網(wǎng)格三角形3節(jié)點(diǎn)單元 四邊形4節(jié)點(diǎn)單元 1.3.1網(wǎng)格劃分平面問題的三角形單元?jiǎng)澐制矫鎲栴}的四邊形單元?jiǎng)澐?1.3.2單元分析彈性力學(xué)問題的單元分析，就是建立各個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系式。由于將單元的節(jié)點(diǎn)位移作為基本變量，單元分析首先要為單元內(nèi)部的位移確定一個(gè)近似表達(dá)式，然后計(jì)算單元的應(yīng)變、應(yīng)力，再建立單元中節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。 1.3.2單元分析單元有三個(gè)結(jié)點(diǎn)I、J、M，每個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)位移u、v和兩個(gè)結(jié)點(diǎn)力U、V。 1.3.2單元分析單元的所有結(jié)點(diǎn)位移、結(jié)點(diǎn)力，可以表示為結(jié)點(diǎn)

12、位移、結(jié)點(diǎn)力向量（vector） mmjjiie vuvuvu mmjjiie VUVUVUF單元的結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系用張量（tensor）來表示 eee KF 1.3.3整體分析對由各個(gè)單元組成的整體進(jìn)行分析，建立節(jié)點(diǎn)外載荷與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，以解出結(jié)點(diǎn)位移，這個(gè)過程為整體分析。在邊界結(jié)點(diǎn)i上受到集中力作用。結(jié)點(diǎn)i是三個(gè)單元的結(jié)合點(diǎn)，因此要把這三個(gè)單元在同一結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)力匯集在一起建立平衡方程。 1.3.3整體分析i結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力： e eiiii UUUU )()3()2()1( e eiiii VVVV )()3()2()1(i結(jié)點(diǎn)的平衡方程： iye eie ixei PV PU

13、)( )( 1.4有限單元法的進(jìn)展與應(yīng)用1.4.1 主要研究領(lǐng)域與有限元軟件從二十世紀(jì)60年代中期以來，進(jìn)行了大量的理論研究，不但拓展了有限單元法的應(yīng)用領(lǐng)域，還開發(fā)了許多通用或?qū)Ｓ玫挠邢拊治鲕浖?主要的研究領(lǐng)域有：計(jì)算方法：大型線性方程組的解法，非線性問題的解法，動(dòng)力問題計(jì)算方法。高精度單元多物理場耦合與復(fù)雜材料模型 目前使用較多的通用有限元軟件如下表所列軟件名稱簡介MSC/Nastran著名結(jié)構(gòu)分析程序，最初由NASA研制，由MSC維護(hù)開發(fā)MSC/Dytran動(dòng)力學(xué)分析程序MSC/Marc非線性分析軟件ANSYS通用結(jié)構(gòu)分析軟件ADINA非線性分析軟件 ABAQUS非線性分析軟件 一些專

14、用的有限元軟件如下表所列軟件名稱簡介Deform金屬體積成形分析Autoform金屬板料成形分析DYNAFORM金屬板料成形分析SysWeld焊接與熱處理分析 MSC中國http:/ ANSYS中國http：/ ADINAhttp:/ DEFORMhttp:/ AUTOFORMhttp:/ 1.4.2應(yīng)用實(shí)例有限單元法已經(jīng)成功地應(yīng)用在以下一些領(lǐng)域：l固體力學(xué)包括強(qiáng)度、穩(wěn)定性、震動(dòng)和瞬態(tài)問題的分析；l傳熱學(xué)l電磁場l流體力學(xué) 轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析（劉道勇，東風(fēng)汽車工程研究院動(dòng)，用MSC/Nastran完成） 金屬體積成形過程的分析（用Deform軟件完成）型材擠壓成形模擬 T形鍛件的成形模擬 焊接殘余應(yīng)力分析（用Sysweld完成）焊接過程的溫度分布與軸向殘余應(yīng)力 結(jié)構(gòu)與焊縫布置 復(fù)雜形狀工件的組織轉(zhuǎn)變預(yù)測（用NSHT3D完成）淬火3.06 min 時(shí)的溫度、組織分布