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1、一 、 數(shù) 學 期 望 的 概 念二 、 數(shù) 學 期 望 的 性 質(zhì)三 、 隨 機 變 量 函 數(shù) 的 數(shù) 學 期 望四 、 小 結(jié)第 一 節(jié) 數(shù) 學 期 望 設(shè) 某 射 擊 手 在 同 樣 的 條件 下 ,瞄 準 靶 子 相 繼 射 擊 90次 ,(命 中 的 環(huán) 數(shù) 是 一 個 隨 機 變 量 ).射 中 次 數(shù) 記 錄 如 下引 例 射 擊 問 題 試 問 :該 射 手 每 次 射 擊 平 均 命 中 靶 多 少 環(huán) ? 543210 15132 2010 3090159013902 90209010 9030命 中 環(huán) 數(shù) k命 中 次 數(shù)頻 率 knnnk一 、 數(shù) 學 期 望 的

2、概 念 解 平 均 射 中 環(huán) 數(shù) 射 擊 次 數(shù)射 中 靶 的 總 環(huán) 數(shù) 90 30520410315213120 90305 902049010390152901319020 .37.3 50k knnk設(shè) 射 手 命 中 的 環(huán) 數(shù) 為 隨 機 變 量 Y . 50k knnk 平 均 射 中 環(huán) 數(shù) 頻 率 50k knnk n 50k kpk隨 機 波 動 穩(wěn) 定 值 “平 均 射 中 環(huán) 數(shù) ” 等 于 射 中 環(huán) 數(shù) 的 可 能 值 與 其 概 率 之 積 的 累 加 1. 離 散 型 隨 機 變 量 的 數(shù) 學 期 望 定 義 .)( ).(, .,2,1, 1 11 k k

3、k k kkk kk kk pxXE XEX pxpx kpxXP X 即記 為的 數(shù) 學 期 望為 隨 機 變 量 則 稱 級 數(shù)絕 對 收 斂若 級 數(shù) 的 分 布 律 為設(shè) 離 散 型 隨 機 變 量 2.連 續(xù) 型 隨 機 變 量 數(shù) 學 期 望 的 定 義.d)()( .)(, d)(, d)( ),( xxfxXE XEX xxfx xxfx xfX 即記 為的 數(shù) 學 期 望變 量 的 值 為 隨 機則 稱 積 分絕 對 收 斂若 積 分 的 概 率 密 度 為設(shè) 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 例 一 ： 將 4 個 可 區(qū) 分 的 球 隨 機 地 放 入 4 個 盒子 中 ， 每

4、 盒 容 納 的 球 數(shù) 無 限 ， 求 空 著 的 盒 子數(shù) 的 數(shù) 學 期 望 . 其 它 ，盒 空 ，第,0,1 iXi解 ： 引 入 X i , i = 1,2,3,4. 4321 XXXXX Xi P 1 0443 4431 443)( iXE6481434)( 4 XE 1. 設(shè) C 是 常 數(shù) , 則 有 .)( CCE 證 明 .1)()( CCCEXE 2. 設(shè) X 是 一 個 隨 機 變 量 ,C 是 常 數(shù) , 則 有).()( XCECXE 證 明 kk k pCxCXE )( ).(XCEkk k pxC二 、 數(shù) 學 期 望 的 性 質(zhì)3. 設(shè) X, Y 是 兩 個

5、 隨 機 變 量 , 則 有 ).()()( YEXEYXE k kkk kk pypx ).()( YEXE 4. 設(shè) X, Y 是 相 互 獨 立 的 隨 機 變 量 , 則 有).()()( YEXEXYE 證 明 kk kk pyxYXE )()(說 明 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 X 的 數(shù) 學 期 望 與 離 散 型 隨機 變 量 數(shù) 學 期 望 的 性 質(zhì) 類 似 . 數(shù) 學 期 望 在 醫(yī) 學 上 的 一 個 應(yīng) 用An application of Expected Value in Medicine 考 慮 用 驗 血 的 方 法 在 人 群 中 普 查 某 種 疾 病 。

6、 集 體 做 法 是 每10個 人 一 組 ， 把 這 10個 人 的 血 液 樣 本 混 合 起 來 進 行 化 驗 。 如 果結(jié) 果 為 陰 性 ， 則 10個 人 只 需 化 驗 1次 ； 若 結(jié) 果 為 陽 性 ， 則 需 對10個 人 在 逐 個 化 驗 ， 總 計 化 驗 11次 。 假 定 人 群 中 這 種 病 的 患 病率 是 10%， 且 每 人 患 病 與 否 是 相 互 獨 立 的 。 試 問 ： 這 種 分 組 化驗 的 方 法 與 通 常 的 逐 一 化 驗 方 法 相 比 ， 是 否 能 減 少 化 驗 次 數(shù) ？分 析 ： 設(shè) 隨 機 抽 取 的 10人 組 所

7、 需 的 化 驗 次 數(shù) 為 X我 們 需 要 計 算 X的 數(shù) 學 期 望 ， 然 后 與 10比 較 化 驗 次 數(shù) X的 可 能 取 值 為 1， 11先 求 出 化 驗 次 數(shù) X的 分 布 律 。(X=1)=“10人 都 是 陰 性 ”（ X=11)=“至 少 1人 陽 性 ”結(jié) 論 ： 分 組 化 驗 法 的 次 數(shù) 少 于 逐 一 化 驗 法 的 次 數(shù)注意求 X期望值的步驟！10 10 1 (1 0.1) 0.9P X 10 11 1 0.9P X 10 10( ) 0.9 1 (1 0.9 ) 11 7.513 10E X 四 、 小 結(jié)1. 數(shù) 學 期 望 是 一 個 實

8、數(shù) , 而 非 變 量 ,它 是 一 種 加 權(quán)平 均 , 與 一 般 的 平 均 值 不 同 ,它 從 本 質(zhì) 上 體 現(xiàn) 了隨 機 變 量 X 取 可 能 值 的 真 正 的 平 均 值 .2. 數(shù) 學 期 望 的 性 質(zhì) ).()()(,4 );()()(3 );()(2 ;)(1oooo YEXEXYEYX YEXEYXE XCECXE CCE 獨 立 第二節(jié) 隨機變量的方差前 面 我 們 介 紹 了 隨 機 變 量 的 數(shù) 學 期 望 ,它 體 現(xiàn) 了 隨 機 變 量 取 值 的 平 均 ,是 隨 機 變 量的 一 個 重 要 的 數(shù) 字 特 征 .但 是 在 一 些 場 合 ， 僅

9、 僅 知 道 隨 機 變 量取 值 的 平 均 是 不 夠 的 . 例 如 ， 甲 、 乙 兩 門 炮 同 時 向 一 目 標 射 擊 10發(fā)炮 彈 ， 其 落 點 距 目 標 的 位 置 如 圖 ：你 認 為 哪 門 炮 射 擊 效 果 好 一 些 呢 ?甲 炮 射 擊 結(jié) 果 乙 炮 射 擊 結(jié) 果 乙 炮因 為 乙 炮 的 彈 著 點 較 集 中 在 中 心 附 近 ，所 以 乙 炮 的 射 擊 效 果 好 . 中 心 中 心 為 此 需 要 引 進 另 一 個 數(shù) 字 特 征 ,用 它 來 度量 隨 機 變 量 取 值 在 其 中 心 附 近 的 離 散 程 度 .這 個 數(shù) 字 特

10、征 就 是 我 們 下 面 要 介 紹 的方 差 A. 方差的概念設(shè) 隨 機 變 量 X的 數(shù) 學 期 望 為 E(X), 若 E(X-E(X)2存 在 , 則 稱 它 為 X 的 方 差 （ 此 時 ， 也 稱 X的 方 差存 在 )， 記 為 Var(X) 或 D(X) , 即定 義 稱 Var(X) 的 算 術(shù) 平 方 根 為 X的 標 準 差 或 均 方 差 ， 記 為 (X). Var (X)=E(X-E(X)2 )ar( XV 若 X的 取 值 比 較 分 散 ， 則 方 差 較 大 .刻 劃 了 隨 機 變 量 的 取 值 相 對 于 其 數(shù) 學 期 望的 離 散 程 度 .若

11、X的 取 值 比 較 集 中 ， 則 方 差 較 小 ；Var(X)=EX-E(X)2 方 差 注意：1) Var(X)0， 即 方 差 是 一 個 非 負 實 數(shù) .2） 當 X 服 從 某 分 布 時 ， 我 們 也 稱 某 分 布的 方 差 為 Var(X).3) 方 差 是 刻 劃 隨 機 變 量 取 值 的 分 散 程 度 的一 個 特 征 . 方差的計算公式(1)若 X 為 離 散 型 ， 概 率 分 布 為,2,1,)( kpxXP kk 1 2)()( k kk pXExXVar(2)若 X 為 連 續(xù) 型 ， 概 率 密 度 為 f (x), 則 dxxfXExXVar )(

12、)()( 2 則 計算方差的公式)()()( 22 XEXEXVar 證 明 : )()( )()(2)( )()(2( )()( 22 222 22 2XEXE XEXEXE XEXXEXE XEXEXVar 即 X*=（ X-） 的 數(shù) 學 期 望 為 0， 方 差 為 1， X*稱 為 X的 標準 化 變 量 . 上 式 稱 為 切 比 雪 夫 （ Chebyshev） 不 等 式 定 理 ： 設(shè) 隨 機 變 量 X具 有 數(shù) 學 期 望 E（ X） =， 方 差 D（ X） =2， 則 對 于 任 意 正 數(shù) ， 不 等 式 P|X-| 2 2 成 立是 概 率 論 中 的 一 個 基 本 不 等 式 . 例6 已 知 某 種 股 票 每 股 價 格 X的 平 均 值為 1元 ， 標 準 差 為 0.1元 ， 求 a， 使 股 價 超過 1+a元 或 低 于 1-a元 的 概 率 小 于 10%。解 ： 由 切 比 雪 夫 不 等 式 201.0)|1(| aaXP 令 1.001.0 2 a1.02 a 32.0 a