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1、 第 四 節(jié) 導 數(shù) 的 應 用v了 解 Lagrange中 值 定 理 及 其 幾 何 意 義v掌 握 洛 必 達 (L Hospital)法 則 會 用 洛 必 達 法 則 求 未 定 式 極限v理 解 函 數(shù) 極 值 的 概 念 ,掌 握 求 函 數(shù) 的 極 值 (local max or min),用 導 數(shù) 判 斷 函 數(shù) 的 增 減 性 (increasing or decreasing),凹 凸 性 (concave up or concave down),求 函數(shù) 圖 形 的 拐 點 (inflection point)等 方 法 。v能 描 繪 函 數(shù) 的 圖 形 (包 括

2、水 平 、 鉛 直 和 斜 漸 近 線 ),掌 握 函 數(shù) 的 最 大 值 (max)和 最 小 值 (min)的 求 法 及 其 簡 單 應 用 1 )Lagrange 定 理 拉 格 朗 日 ( 中 值 定 理一 、 中 值 定 理 2 , ;a b在 內(nèi) 可 導 ( ) ( ) ( ), , .f b f a b ba fa b a 至 少則 在 區(qū) 間 內(nèi) 使存 在 一 點 1 , ;a b在 上 連 續(xù)( ) :f x設(shè) 滿 足 以 下 兩 個 條 件 a b1 2x xoy )(xfyA BC DNM幾 何 解 釋 : ., ABC AB線 平 行 于 弦在 該 點 處 的 切一

3、點 上 至 少 有在 曲 線 弧分 析 : ).()( bfaf 條 件 中 與 羅 爾 定 理 相 差弦 AB方 程 為 ).()()()( axab afbfafy ,)( ABxf 減 去 弦 線曲 線 ., 兩 端 點 的 函 數(shù) 值 相 等所 得 曲 線 在 ba 二 、 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 0, ) ,.a b xf x f x 如 果 對 區(qū) 間 ( 內(nèi) 所 有 的 值則 在 這 個 區(qū) 間 單 調(diào)函 數(shù) 是 減 少 的內(nèi) , ;4 0) f xa b xf x 如 果 對 區(qū) 間 ( 內(nèi) 所 有 的 值則定 在 這 個 區(qū) 間 內(nèi) 函 數(shù) 是 單 調(diào) 遞 增 的理 xyo

4、( )y f x xyo ( )y f xa bA B0( )f x 0( )f x a bBA 3 2. ( ) 5 .21 3x xf x 例 求 的 單 調(diào) 區(qū) 間 判 斷 單 調(diào) 性 時 的 分 界 點 ：1. 函 數(shù) 的 導 數(shù) =0的 點2. 函 數(shù) 的 導 數(shù) 不 存 在 的 點 , 如 ： y=|x|3.（ 有 限 的 ） 不 連 續(xù) 的 點 , 如 ： y=1/x( )f x( )f x o xya b ( )y f x1x 2x 3x 4x 5x 6x三 、 函 數(shù) 的 極 值 、 最 值 及 凸 凹 性o xy 0 x o xy 0 x 0( ) ,f x x如 果 函

5、數(shù) 在 的 某 一 鄰 域 內(nèi) 連 續(xù) 并 且 1、 極 值定 義 恒 有 0( ) ,f x x如 果 函 數(shù) 在 某 一 鄰 域 內(nèi) 連 續(xù) 并 且 恒 有 ;函 數(shù) 的 極 大 值 與 極 小 值 稱 為 函 數(shù) 的 極 值統(tǒng) .使 函 數(shù) 取 得 極 值 的 稱 為 極 值 點點 0 0( ) ( ) ( )xf x f x x 其 中0( ) ( ) .f x f x則 稱 是 函 數(shù) 的 一 極 小 值個0 0( ) ( ) ( )xf x f x x 其 中0( ) ( ) ;f x f x則 稱 是 函 數(shù) 的 一 極 大 值個 ( ) .函 數(shù) 的 極 值 是 概 念 ,與

6、函 數(shù) 在 一個 區(qū) 間 上 的 最 值 概 念 是 不 同 的函 數(shù) 的 極 大 值 是 函 數(shù) 的 最 大 值 ,函 數(shù) 的 極 小 值 也 是 函 數(shù) 的 最 小值 ,而 且 函 數(shù) 在 一 個 區(qū) 間 上 可 能 有 幾個 極 大 值 和 極 小 值 ,甚 至 于 極 小 值 還有 局 部 整 體不 一 定不 一可 能 某 個大 于注 定極 大 值 . 0 0, ,3 f x x x必 要 條 件設(shè) 函 數(shù) 在 處 可 導 且 在 處理 取 得 極 值定 0 0.f x 則 必 有( ) 0 ( )(stationary point). ; ,.f x f x 的 實 根 稱 為 函

7、數(shù) 的可 導 函 數(shù) 的駐 點 極 值 點 駐 點但 反 過 來 函 數(shù) 的 駐 點 卻必 是 不 一 定:則是 極 值 點注 xyo xyo0 x 0 x 0 004 , 0:f x x f xx x 第 一 充 分 條 件設(shè) 函 數(shù) 在 的 鄰 域 內(nèi) 可 導 且當 點 遞 增 變 動 經(jīng) 過定 點 時理 0 01 , ;f x f x x f x若 由 正 變 負 則 在 點 處 有 極 大 值 0 02 , ;f x f x x f x若 由 負 變 正 則 在 點 處 有 極 小 值 03 , .f x f x x若 符 號 不 變 則 在 點 處 沒 有 極 值 xyo xyo0

8、x 0 x (不 是 極 值 點 情 形 )注 意 :函 數(shù) 的 不 可 導 點 ,也 可 能 是 函 數(shù) 的 極 值 點 。 3. ( ) 1 1 .f x x x 2例 求 的 極 值2 ,.f x 若 連 續(xù) 函 數(shù) 有 若 干 個 極 值 點 則 極 大 值 點 與 極 小 值 點 一 定 交推 替 出 現(xiàn)論 0 0, ,5 0f x f x x x 第 二 充 分 條 件設(shè) 在 處 具 有 二 階定 導 數(shù)理 則 0 01 0, ;f x f x 若 則 為 極 小 值 0 02 0, ;f x f x 若 則 為 極 大 值 0 03 0, .f x f x 若 則 不 能 確 定

9、 是 否 為 函 數(shù) 的 極 值 4 3. ( ) 3 4 5 .f x x x 例 3求 的 極 值 注 意 ： 求 極 值 時 ， 除 駐 點 外 ， 還 須 考 慮 一 階導 數(shù) 不 存 在 的 點 . 23. ( ) 4 -1 .f x x x 例 求 的 極 值4:解 ( ) 0 : 1,f x x 令 得 駐 點 為4 (-1) 4.76f 由 定 理 可 判 定 , 為 極 大 值 , ( ) ，4 (1) 0f x f 再 考 慮 不 存 在 的 點 有 x=1,由 定 理 可 判 定 , 為 極 小 值 . 2 13 3 35 12( ) 1 4 13 3 1xf x x x

10、 x x 23( ) 4 -1f x x x 求 極 值 的 步 驟1.求 出 一 階 導 數(shù) 等 于 零 的 點 (駐 點 )及 不 可 導點 ,由 充 分 條 件 一 進 行 判 斷 ;2.求 二 階 導 函 數(shù) ,由 充 分 條 件 二 進 行 判 斷 ;注 意 :極 值 是 函 數(shù) 局 部 性 形 態(tài) 特 征 , 極 大 值 不 一 定 比 極 小 值 大 , 極 小 值 也 不 一 定 比 極 大 值 小 o xy ba o xy a b min ， .= 所 有 極 值最 值 端 點 值小 max ， ；= 所 有 極 值最 端 點 值大 值2、 函 數(shù) 的 最 值 o xy a

11、b 3 2. ( ) -6 9 5 0,5.f x x x x 求 在 上 的 最 大 值 ,例 最 小 值5 2( ) 3 12 9 3( 1)( 3)( ) 0 : 1 3,: f x x x x xf x x x 令 得 駐 點 為 及解 0 5,(0) 5, (1) 9, (3) 5, (5) 25,x xf f f f 端 點 為 及 ( ) 0,5 25,f x 在 上 的 最 大 值 為 最 小 值 為 5. 3 2( ) -6 9 5 0,5 .f x x x x 在 上 的 最 大 值 和 最 小 值0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50510152

12、025 xy 點 擊 圖 片 任 意 處 播 放 暫 停 公 里5.0 公 里4B A)(ts例 6 敵 人 乘 汽 車 從河 的 北 岸 A處 以 1千米 /分 鐘 的 速 度 向 正北 逃 ， 同 時 我 軍 摩托 車 從 河 的 南 岸 B處向 正 東 追 擊 ,速 度 為 2千 米 /分 鐘 ,河 的 寬 度0.5千 米 問 我 軍 摩托 車 何 時 射 擊 最 好（ 相 距 最 近 射 擊 最好 ） ？ 求 最 值 的 步 驟1.求 出 駐 點 和 不 可 導 點 (有 的 話 );2.比 較 端 點 、 駐 點 、 不 可 導 點 的 函 數(shù) 值 ，哪 個 大 為 最 大 值 ， 哪 個 小 為 最 小 值 。注 意 :區(qū) 間 內(nèi) 只 有 一 個 極 值 時 , 這 個 值 就 是 最 值 ；