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1、E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) E (X Y ) = E (X )E (Y ) .B. 數(shù) 學(xué) 期 望 的 性 質(zhì)E (aX ) = a E (X ) CXEaCXaE ni iini ii 11 )(E (C ) = C 當(dāng) X ,Y 相 互 獨(dú) 立 時(shí) ， 性 質(zhì) 4 的 逆 命 題 不 成 立 ， 即若 E (X Y) = E(X)E(Y)， X ,Y 不 一 定 相 互 獨(dú) 立 .反 例 X Y pij -1 0 1-1 0 1 81 81 8181 81 81 81810 p j8383 82p i 83 8382 注 X Y P -1 0 182 8284

2、;0)()( YEXE ;0)( XYE)()()( YEXEXYE 但 0)0,0( YXP 282)0()0( YPXP 若 X 0， 且 EX 存 在 ， 則 EX 0。推 論 : 若 X Y， 則 EX EY。證 明 ： 設(shè) X 為 連 續(xù) 型 ， 密 度 函 數(shù) 為 f (x), 則由 X 0 得 ： ,0,0)( xxf所 以 .0)()( 0 dxxfxdxxfxEX證 明 ： 由 已 知 Y - X0， 則 E(Y - X) 0。而 E(Y - X) = E(Y)-E(X), 所 以 ， E(X) E(Y)。 92 53310230 )5()()(2)(3 )523( EYEX

3、YEXE YXYXE 性 質(zhì) 2和 3 53)()(2103 YEXE性 質(zhì) 4 例 1.設(shè) X N(10,4)， Y U1,5， 且 X與 Y相 互 獨(dú) 立 ， 求 E(3X 2XY Y 5)。 解 ： 由 已 知 ， 有 E(X) 10, E(Y) 3. 例 2.(二 項(xiàng) 分 布 B(n,p) 設(shè) 單 次 實(shí) 驗(yàn) 成 功 的 概 率是 p， 問 n次 獨(dú) 立 重 復(fù) 試 驗(yàn) 中 ， 期 望 幾 次 成 功 ？解 : 引 入 .)()()( 21 npXEXEXEEX n 次 試 驗(yàn) 不 成 功 。第 次 試 驗(yàn) 成 功 ，第 iiX i ,0,1則 X X1+ X2 + Xn 是 n次 試

4、 驗(yàn) 中 的 成 功 次 數(shù) 。因 此 ，這 里 ， X B(n,p)。 例 3.將 4 個(gè) 可 區(qū) 分 的 球 隨 機(jī) 地 放 入 4個(gè) 盒 子 中 ,每盒 容 納 的 球 數(shù) 無 限 ,求 空 著 的 盒 子 數(shù) 的 數(shù) 學(xué) 期 望 . 解 一 :設(shè) X 為 空 著 的 盒 子 數(shù) , 則 X 的 概 率 分 布 為X P 0 1 2 344!4 44 241314 41444 !2 CCC 44424 4844 )22( C 4414 444 C64814434842414414240)( 4444 XE 解 二 : 再 引 入 X i , i = 1,2,3,4. 其 它 ，盒 空 ，

5、第,0,1 iXi 4321 XXXXX Xi P 1 0443 4431 443)( iXE6481434)( 4 XE 例 4.將 n個(gè) 球 放 入 M個(gè) 盒 子 中 ,設(shè) 每 個(gè) 球 落 入 各個(gè) 盒 子 是 等 可 能 的 ,求 有 球 的 盒 子 數(shù) X的 期 望 。解 : 引 入 隨 機(jī) 變 量 :Mi iiX i ,2,101 個(gè) 盒 子 中 無 球若 第 個(gè) 盒 子 中 有 球若 第則 X=X1+X2+XM , 于 是 E(X) = E(X1)+E(X2)+ +E(XM) . 每 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 X i 都 服 從 兩 點(diǎn) 分 布 ,i =1,2,M. 因 為 每 個(gè) 球

6、落 入 每 個(gè) 盒 子 是 等 可 能 的 均 為 1/M,所 以 ， 對 第 i個(gè) 盒 子 ,沒 有 一 個(gè) 球 落 入 這 個(gè) 盒 子內(nèi) 的 概 率 為 (1-1/M).故 ， n個(gè) 球 都 不 落 入 這 個(gè) 盒 子 內(nèi) 的 概 率 為(1-1/M)n ,即 :.,2,1 .)11(11,)11(0 Mi MXPMXP nini .,2,1,)11(1)( MiMXE ni .)11(1 )()()( )()( 21 21 n MMMM XEXEXE XXXEXE 注 ： 129頁 4.27以 此 題 為 模 型 。 .,2,1,)11(1)( MiMXE ni 例 5.用 某 臺 機(jī)

7、器 生 產(chǎn) 某 種 產(chǎn) 品 ， 已 知 正 品 率 隨著 該 機(jī) 器 所 用 次 數(shù) 的 增 加 而 指 數(shù) 下 降 ， 即P第 k次 生 產(chǎn) 出 的 產(chǎn) 品 是 正 品 = .0,2,1, ke k假 設(shè) 每 次 生 產(chǎn) 100件 產(chǎn) 品 ， 試 求 這 臺 機(jī) 器 前 10次 生 產(chǎn) 中 平 均 生 產(chǎn) 的 正 品 總 數(shù) 。解 ： 設(shè) X是 前 10次 生 產(chǎn) 的 產(chǎn) 品 中 的 正 品 數(shù) ， 并 設(shè) 10 1 1001 .X ,100,2,1,10,2,1 .0 ,1 k i kiki Xik ikX 則否 則， 件 產(chǎn) 品 是 正 品 ；次 生 產(chǎn) 的 第第 所 以 分 布 ，的服

8、 從而 ,100,2,1 .)()10( i eXEepX kkikki 例 5.（ 續(xù) ） e ee eXEXE k kk i k kki 1 )1(100e 100 100)()( 10101101 1001 101 例 6. 某 廠 家 的 自 動 生 產(chǎn) 線 ， 生 產(chǎn) 一 件 正 品 的概 率 為 p (0p1)， 生 產(chǎn) 一 件 次 品 的 概 率 為q=1-p。 生 產(chǎn) 一 件 產(chǎn) 品 的 成 本 為 c元 ， 正 品 的價(jià) 格 為 s元 ， 次 品 不 能 出 售 。 這 樣 ， 廠 家 生 產(chǎn)一 件 正 品 獲 利 s c元 ， 生 產(chǎn) 一 件 次 品 虧 損 c元 （ 假

9、定 每 個(gè) 產(chǎn) 品 的 生 產(chǎn) 過 程 是 相 互 獨(dú) 立 的） 。 若 生 產(chǎn) 了 N件 產(chǎn) 品 ， 問 廠 家 所 獲 利 潤 的期 望 值 是 多 少 ？ 解 ： 設(shè) 第 j個(gè) 產(chǎn) 品 的 利 潤j s-c jY -c, jj 1,2, N ， 第 個(gè) 產(chǎn) 品 是 正 品 ， 第 個(gè) 產(chǎn) 品 是 次 品 。 ， 。 jN 1 2 N EY s c p cq sp c j 12.N ES EY EY EY N sp c由 于 ， ， ， ，因 此 ， .+ 。則 為 N件 產(chǎn) 品 的 總 利 潤 。N 1 2 NY Y YS .+Yj -c s-cP q p由 已 知 前 面 我 們 介

10、紹 了 隨 機(jī) 變 量 的 數(shù) 學(xué) 期 望 ，它 體 現(xiàn) 了 隨 機(jī) 變 量 取 值 的 平 均 ， 是 隨 機(jī) 變量 的 一 個(gè) 重 要 的 數(shù) 字 特 征 . 但 是 在 一 些 場 合 ， 僅 僅 知 道 隨 機(jī) 變 量取 值 的 平 均 是 不 夠 的 . 4.2 隨 機(jī) 變 量 的 方 差 例 如 ,甲 、 乙 兩 門 炮 同 時(shí) 向 一 目 標(biāo) 射 擊 10發(fā)炮 彈 ， 其 落 點(diǎn) 距 目 標(biāo) 的 位 置 如 圖 ：你 認(rèn) 為 哪 門 炮 射 擊 效 果 好 一 些 呢 ?甲 炮 射 擊 結(jié) 果 乙 炮 射 擊 結(jié) 果 乙 炮因 為 乙 炮 的 彈 著 點(diǎn) 較 集 中 在 中 心

11、附 近 ，所 以 乙 炮 的 射 擊 效 果 好 . 中 心 中 心 為 此 需 要 引 進(jìn) 另 一 個(gè) 數(shù) 字 特 征 ,用 它來 度 量 隨 機(jī) 變 量 取 值 在 其 中 心 附 近 的 離散 程 度 .這 個(gè) 數(shù) 字 特 征 就 是 我 們 下 面 要 介 紹 的方 差 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X的 數(shù) 學(xué) 期 望 為 E(X), 若 E(X-E(X)2存 在 , 則 稱 它 為 X 的 方 差 （ 此 時(shí) ，也 稱 X的 方 差 存 在 )， 記 為 Var(X) 或 D(X) , 即定 義 稱 Var(X) 的 算 術(shù) 平 方 根 為 X的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 或 均 方 差 ， 記 為 (X

12、). A. 方 差 的 概 念Var (X)=E(X-E(X)2 )ar( XV 若 X的 取 值 比 較 分 散 ， 則 方 差 較 大 .刻 劃 了 隨 機(jī) 變 量 的 取 值 相 對 于 其 數(shù) 學(xué) 期 望的 離 散 程 度 。若 X的 取 值 比 較 集 中 ， 則 方 差 較 小 ；Var(X)=EX-E(X)2 方 差 注 意 ： 1) Var(X)0， 即 方 差 是 一 個(gè) 非 負(fù) 實(shí) 數(shù) 。2） 當(dāng) X 服 從 某 分 布 時(shí) ， 我 們 也 稱 某 分 布的 方 差 為 Var(X)。3) 方 差 是 刻 劃 隨 機(jī) 變 量 取 值 的 分 散 程 度 的一 個(gè) 特 征 。

13、 方 差 的 計(jì) 算 公 式(1)若 X 為 離 散 型 ， 概 率 分 布 為,2,1,)( kpxXP kk 1 2)()( k kk pXExXVar(2)若 X 為 連 續(xù) 型 ， 概 率 密 度 為 f (x), 則 dxxfXExXVar )()()( 2 則 方 差 的 計(jì) 算 公 式常 用 的 公 式 ： )()()( 22 XEXEXVar 證 明 : )()( )()(2)( )()(2( )()( 22 222 22 2XEXE XEXEXE XEXXEXE XEXEXVar 常 見 隨 機(jī) 變 量 的 方 差 (1) 參 數(shù) 為 p 的 0 1分 布 概 率 分 布 為

14、 ：前 面 已 經(jīng) 計(jì) 算 過 ： E(X)=p， 又 .1)0(,)1( pXPpXP 所 以 .)0(0)1(1)( 222 pXPXPXE .)()( 222 pqppEXXEXVar 概 率 分 布 為 ： 已 計(jì) 算 過 ： E(X)=np， 又 .,1,0,)( nkqpCkXP knkkn 所 以 .)1()1( )!()!2( )!2)(1( )1()1()( 2202 )2(222222 )2(22202 nppnnnpqpCpnn npqpknk nnn npqpCkkEXXXEXE nk knkknnk knk nk knkkn .)()( 22 npqEXXEXVar

15、(2)二 項(xiàng) 分 布 B(n, p) 概 率 分 布 為 ： 已 計(jì) 算 過 ： E(X)=， 又 .,2,1,0,!)( kekkXP k 所 以 . !)!2( !)1( )1()( 2 022 220 2 ekek ekkk EXXXEXE k kk kk k .)()( 22 EXXEXVar (3)泊 松 分 布 P() 概 率 密 度 為 ： 已 計(jì) 算 過 ： E(X)=(a+b)/2， 又 .,0 ,1)( 其 它 bxaabxf 所 以 ba babadxabx dxxfxXE 31)()( 22222 .12)()()( 222 abEXXEXVar (4)區(qū) 間 a,b上

16、 的 均 勻 分 布 Ua,b 概 率 密 度 為 ： 已 計(jì) 算 過 ： E(X)=1/， 又 .0,0 ;0,)( xxexf x 所 以 .222 )(2|)( )()( 200 002 0 222 dxexdxxe dxexex dxexdxxfxXE xx xx x.1)()( 222 EXXEXVar (5) 指 數(shù) 分 布 E() 222 2222 222 2 )(22 2 22 2 2 221 21|)21)( 21 21)()()( dye dyeey dyey dxexEXXEXVar y yy yxy x 概 率 密 度 為 ： 已 計(jì) 算 過 ： E(X) = ， 所

17、以 2 22 )(21)( xexf (6) 正 態(tài) 分 布 N(, 2) 例 7. 設(shè) 0,0 ,0,ln)(,21,21 XXXXgYUX求 E (Y ), D(Y ).解 : dxxfxgYE X )()()( 2121 1)( dxxg 210 1ln dxx2121ln21 212ln21 dxxfxgYE X )()()( 22 210 2 1ln dxx 2ln12ln2121ln121ln21 22 )()()( 22 YEYEYD 22 212ln212ln12ln21 432ln212ln41 2 例 8. 已 知 X 的 密 度 函 數(shù) 為 其 它,0 ,10,)( 2 xBxAxxf其 中 A， B 是 常 數(shù) ， 且 E( X) = 0.5. 求 A， B.(2)設(shè) Y=X2, 求 E(Y), D(Y). 解 : (1) 1)()( 10 2 dxBxAxdxxf 21)()( 10 2 dxBxAxxdxxxf 2134 123 BA BA 6 ,6BA (2) 103)66( )()()( 10 22 22 dxxxx dxxfxXEYE 71)66( )()()( 10 24 442 dxxxx dxxfxXEYE 70037)()()( 22 YEYEYD f (x) = (-6x2+6x)I(0,1)