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1、5.9 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理正 弦 定 理 、 余 弦 定 理正 弦 定 理 、 余 弦 定 理正 弦 定 理 、 余 弦 定 理正 弦 定 理 、 余 弦 定 理正 弦 定 理 、 余 弦 定 理正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 5.9 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理回 憶 一 下 直 角 三 角 形 的 邊 角 關(guān) 系 ? AB Cc ba222 cba Aca sin Bcb sin Aba tan 90BA兩 等 式 間 有 聯(lián) 系 嗎 ？cBbAa sinsin 1sin C CcBbAa sinsinsin 即 正 弦 定 理 ， 定 理 對 任 意 三 角 形

2、 均 成 立 利 用 向 量 如 何 在 三 角 形 的 邊 長 與 三 角 函 數(shù) 建 立 聯(lián) 系 ？ 5.9 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理向 量 的 數(shù) 量 積 ， 為 向 量 a 與 b 的 夾 角 cos| baba 如 何 構(gòu) 造 向 量 及 等 式 ？ jA CB在 銳 角 中 ， 過 A作 單 位 向 量 j 垂 直 于 ， ACABC則 有 j 與 的 夾 角 為 ， j 與 的 夾 角 為 . 等 式 A90 CBC90 ABCBAC AB怎 樣 建 立 三 角 形 中 邊 和 角 間 的 關(guān) 系 ？ABjCBACj )( )90cos()90cos(90cos AAB

3、jCCBjACj AcCa sinsin 即 CcAa sinsin 同 理 ， 過 C作 單 位 向 量 j 垂 直 于 ， 可 得CB CcBb sinsin 5.9 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理CcBbAa sinsinsin 在 鈍 角 三 角 形 中 ， 怎 樣 將 三 角 形 的 邊 用 向 量 表 示 ？ 怎 樣 引入 單 位 向 量 ？ 怎 樣 取 數(shù) 量 積 ？ jA CB在 鈍 角 中 ， 過 A作 單 位 向 量 j 垂 直 于 ， ACABC則 有 j 與 的 夾 角 為 ， j 與 的 夾 角 為 . 等 式 .90A CBC90 ABCBAC AB同 樣 可

4、證 得 ： CcBbAa sinsinsin 5.9 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理CcBbAa sinsinsin 正 弦 定 理 在 一 個 三 角 形 中 ， 各 邊 和 它 所 對 角 的 正 弦 的 比相 等 ， 即正 弦 定 理 可 以 解 什 么 類 型 的 三 角 形 問 題 ？ 已 知 兩 角 和 任 意 一 邊 ， 可 以 求 出 其 他 兩 邊 和 一 角 ； 已 知 兩邊 和 其 中 一 邊 的 對 角 ， 可 以 求 出 三 角 形 的 其 他 的 邊 和 角 。 5.9 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理例 題 講 解 例 1 在 中 ， 已 知 ， 求 b（

5、保留 兩 個 有 效 數(shù) 字 ） . ABC 30,45,10 CAc解 ： 且CcBb sinsin 105)(180 CAB 1930sin 105sin10sinsin CBcb 5.9 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理例 2 在 中 ， 已 知 ， 求 。ABC 45,24,4 Bba A例 題 講 解解 ： 由 BbAa sinsin 得 21sinsin b BaA 在 中 ABC ba A 為 銳 角 30A 5.9 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理例 題 講 解 例 3 在 中 ， ， 求 的 面 積 S ABC )13(2,60,45 aCBABC BacCab sin2

6、1sin21 Abcsin21 hAB CaABC ahS 21三 角 形 面 積 公 式解 ： 75)(180 CBA 由 正 弦 定 理 得 44 26 )22)(13(2sinsin ABab 326)23(4)13(221sin21 CabS ABC 5.9 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理練 習(xí) ：（ 1） 在 中 ， 一 定 成 立 的 等 式 是 （ ） ABC BbAaA sinsin. BbAaB coscos. AbBaC sinsin. AbBaD coscos. CABC（ 2） 在 中 ， 若 ， 則 是 ( ) A 等 腰 三 角 形 B 等 腰 直 角 三 角 形 C 直 角 三 角 形 D 等 邊 三 有 形2cos2cos2cos CcBbAa ABC D 5.9 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理練 習(xí) ：（ 3） 在 任 一 中 ， 求 證 ： ABC 0)sin(sin)sin(sin)sin(sin BAcACbCBa證 明 ： 由 于 正 弦 定 理 ： 令 CkcBkBAka sin,sin,sin 左 邊 代 入 左 邊 得 ： )sinsinsinsinsinsin BCACAB CBCABAk sinsinsinsinsin(sin 等 式 成 立 =右 邊0