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1、第 七 章 總 體 參 數(shù) 估 計Population Parameter Estimation 第 一 節(jié) 總 體 均 值 與 方 差 的 點 估 計 （ Point estimation of the population mean and variance）一 、 點 估 計 和 區(qū) 間 估 計 (point estimation and interval estimation) 1.點 估 計 點 估 計 ： 當 總 體 參 數(shù) 不 清 楚 時 ， 用 一 個特 定 值 （ 一 般 用 樣 本 統(tǒng) 計 量 ） 對 其 進 行估 計 ， 稱 為 點 估 計 。2 區(qū) 間 估 計 區(qū) 間

2、估 計 ： 是 指 用 數(shù) 軸 上 的 一 段 距 離 表示 未 知 參 數(shù) 可 能 落 入 的 范 圍 。 概 括 地 說 ： 經(jīng) 常 需 要 對 總 體 進 行 估 計 的 兩 個 數(shù) 字 特征 是 ： 總 體 的 均 值 和 方 差 。 如 果 將 總 體的 均 值 和 方 差 視 為 數(shù) 軸 上 的 兩 個 點 ， 這種 估 計 稱 為 點 估 計 。 如 果 要 求 估 計 總 體的 均 值 或 方 差 將 落 在 某 一 段 數(shù) 值 區(qū) 間 ，這 種 估 計 稱 為 區(qū) 間 估 計 。 二 、 用 樣 本 平 均 數(shù) 、 方 差 和 標 準 差 估計 總 體 平 均 數(shù) 、 方 差

3、 和 標 準 差 1. 用 樣 本 平 均 數(shù) 估 計 總 體 平 均 數(shù) 樣 本 平 均 數(shù) 是 總 體 均 值 的 良 好 估 計 。 。公 式 ： X 2. 用 樣 本 方 差 估 計 總 體 方 差 同 理 ， 用 樣 本 標 準 差 估 計 總 體 標 準 差2221 1 )( n XXiSn 1 )( 21 n XXiSn 3. 一 個 好 的 樣 本 統(tǒng) 計 量 估 計 總 體 參 數(shù) 的 要 求n 無 偏 性 是 指 如 果 用 多 個 樣 本 的 統(tǒng) 計 量 作 為 總 體 參 數(shù) 的估 計 值 時 ， 有 的 偏 大 ， 有 的 偏 小 ， 而 偏 差 的 平均 數(shù) 為 0

4、， 這 時 ， 這 個 統(tǒng) 計 量 就 是 無 偏 估 計 量 。 n 一 致 性 是 指 當 樣 本 容 量 無 限 增 大 時 ， 估 計 值 應(yīng) 能 越 來越 接 近 它 所 估 計 的 總 體 參 數(shù) 。 即 : 當 N時 , X, S 2n-12。 n 有 效 性 是 指 當 總 體 參 數(shù) 的 無 偏 估 計 不 止 一 個統(tǒng) 計 量 時 ， 無 偏 估 計 變 異 性 小 者 有 效 性高 ， 變 異 大 者 有 效 性 低 。n 充 分 性 是 指 一 個 容 量 為 n的 樣 本 統(tǒng) 計 量 ， 是否 充 分 地 反 映 了 全 部 n個 數(shù) 據(jù) 所 反 映 總 體的 信 息

5、 ， 這 就 是 充 分 性 。 4 舉 例 （ 1） 一 項 關(guān) 于 贊 同 提 高 汽 油 稅 的 調(diào) 查 用 計 算 機 隨 機 從 一 個 投 贊 同 票 的 人 數(shù) 為 60%的總 體 中 抽 出 10個 樣 本 ， 每 個 樣 本 容 量 為 500個觀 測 值 ， 算 出 每 個 樣 本 中 贊 同 提 高 汽 油 稅 的 人的 百 分 比 ， 其 結(jié) 果 如 下 ： 58.0 57.8 61.0 59.4 55.8 63.2 59.0 60.6 57.4 58.6 （ 2） 二 戰(zhàn) 中 德 國 人 制 造 了 多 少 輛 坦 克 ？問 題 ： 在 第 二 次 世 界 大 戰(zhàn) 進

6、 行 過 程 中 ， 盟 軍繳 獲 了 一 些 德 軍 的 坦 克 ， 并 記 錄 了 他 們的 生 產(chǎn) 編 號 。 怎 樣 用 這 些 號 碼 來 估 計 德軍 坦 克 的 總 數(shù) 呢 ？ 解 決 問 題 的 思 路 ：n 設(shè) 定 總 體 參 數(shù) 和 樣 本 統(tǒng) 計 量 在 這 個 問 題 中 ， 總 體 參 數(shù) 是 未 知 的 生 產(chǎn)出 的 坦 克 總 數(shù) N， 而 樣 本 則 是 繳 獲 的 坦克 編 號 。n 對 坦 克 總 數(shù) 的 估 計 首 先 我 們 能 夠 肯 定 ： 制 造 出 來 的 坦 克 總數(shù) 肯 定 大 于 等 于 記 錄 中 的 最 大 編 號 。 解 決 方 法

7、： 2種 點 估 計 方 法 ：（ 1） 求 出 被 繳 獲 的 坦 克 編 號 的 平 均 值 ， 并把 它 作 為 全 部 編 號 的 中 點 。 然 后 將 樣 本均 值 乘 以 2就 是 總 數(shù) 的 一 個 估 計 值 。 估 計 坦 克 總 數(shù) N的 公 式 ： N=全 部 編 號 的 均 值 2 n 前 提 條 件 ： 是 先 要 假 設(shè) 繳 獲 的 坦 克 代 表了 所 有 坦 克 的 一 個 隨 機 樣 本 n 缺 點 ： 不 能 保 證 均 值 的 2倍 一 定 大 于 記 錄中 的 最 大 編 號 ， 故 常 常 低 估 真 值 。 （ 2） 估 計 N的 另 一 個 點

8、估 計 公 式n 用 觀 測 到 的 最 大 編 號 乘 以 因 子 1 1/n，其 中 n是 被 繳 獲 的 坦 克 個 數(shù) 。公 式 ： N=（ 1 1/n） 最 大 編 號 n 此 種 方 法 的 前 提 是 我 們 認 為 實 際 數(shù) 略 大于 最 大 編 號 。 例 如 ， 繳 獲 了 10輛 坦 克 ， 其 中 最 大 編 號 是50， 那 么 坦 克 總 數(shù) 的 估 計 值 是 ： N=（ 1 1/n） 50=55 第 二 節(jié) 總 體 平 均 值 的 區(qū) 間 估 計（ Interval estimation of the population mean）一 、 基 本 概 念總

9、體 均 值 的 區(qū) 間 估 計 ， 置 信 度 ， 置 信 區(qū) 間 ：n 日 常 用 語 表 達 ： 就 是 估 計 總 體 均 值 可 能 在 什 么 范 圍 之 內(nèi) 。n 精 確 的 數(shù) 學 語 言 表 達 ： 總 體 均 值 的 區(qū) 間 估 計 就 是 確 定 總 體 均 值 將 以特 定 概 率 落 入 其 間 的 數(shù) 值 界 限 。 這 個 特 定 概 率 稱 為 置 信 度 （ 或 稱 顯 著 性 水平 ） ， 用 表 示 ， 這 個 數(shù) 值 界 限 稱 為 置 信 界 限 ，置 信 界 限 上 下 限 之 間 的 區(qū) 間 ， 稱 為 置 信 區(qū) 間 。 二 、 總 體 方 差 2

10、已 知 ， 對 總 體 平 均 數(shù) 的 估 計1 計 算 公 式 如 果 一 個 隨 機 變 量 Z服 從 標 準 正 態(tài) 分 布(=0， 2=1的 正 態(tài) 分 布 ), 那 么 P-1.96Z1.96=0.95 P-2.58Z2.58=0.99 對 總 體 參 數(shù) 進 行 區(qū) 間 估 計 的 方 法 ： 如 果 一 個 隨 機 變 量 X服 從 均 值 為 ， 標準 差 為 的 正 態(tài) 分 布 ， 那 么 通 過 變 量 替換 : 令 ： Z=（ X-） /（ /n） 又 因 為 ： SEx=/n 所 以 ： Z=（ X-） /SEx 將 Z=（ X-） /SEx表 達 式 代 入 下 式

11、： P-1.96Z1.96=0.95得 ： P-1.96Z1.96 = P-1.96（ X-） /SEx1.96整 理 得 出 求 解 總 體 平 均 值 估 計 的 公 式 ： PX-1.96SExX+1.96SEx=0.95 2 解 釋 在 置 信 區(qū) 間 X-1.96SEx， X+1.96SEx內(nèi) ，正 確 估 計 總 體 均 值 所 在 區(qū) 間 的 概 率 為0.95。 但 是 ， 做 這 種 區(qū) 間 估 計 不 可 能 保證 完 全 無 誤 ， 估 計 錯 誤 的 概 率 大 約 為0.05。 3 求 解 步 驟（ 1） 計 算 樣 本 平 均 數(shù) 和 標 準 差（ 2） 計 算 標

12、 準 誤 a 總 體 方 差 已 知 （ 查 正 態(tài) 分 布 表 ） b 總 體 方 差 未 知 （ 查 t分 布 表 ）（ 3） 確 定 置 信 區(qū) 間 （ 或 顯 著 性 水 平 ）（ 4） 根 據(jù) 樣 本 平 均 數(shù) 的 分 布 ， 確 定 查 何 種 統(tǒng) 計 表（ 5） 確 定 并 計 算 置 信 區(qū) 間（ 6） 解 釋 總 體 均 數(shù) 的 置 信 區(qū) 間 。 4 課 堂 練 習例 ， 某 弱 智 兒 童 學 校 的 學 生 智 力 水 平 低 于 正 常 兒童 ， 假 設(shè) 該 校 學 生 的 智 商 分 數(shù) 遵 從 正 態(tài) 分 布 ，抽 查 10名 學 生 的 智 力 水 平 ， 測

13、 得 智 商 如 下 : 85 70 90 81 72 75 80 82 76 79（ 1） 試 估 計 該 校 學 生 智 商 分 數(shù) 的 平 均 值（ 2） 如 果 知 道 該 校 學 生 智 商 分 數(shù) 的 方 差 為 25，試 找 出 該 校 學 生 平 均 智 商 的 置 信 區(qū) 間 。 二 、 總 體 方 差 2未 知 時 ， 對 總 體 平 均 數(shù) 的 估 計1 求 標 準 誤計 算 標 準 誤 的 公 式 為 ： 樣 本 n30則仍 用 正 態(tài) 分 布 。 1 nSSEX 2 利 用 t分 布 估 計 總 體 平 均 值 的置 信 區(qū) 間 的 解 題 步 驟 條 件 為 ： 總

14、 體 為 正 態(tài) 分 布 ， X N(,2)， 當 總體 方 差 2未 知 時 ， 求 總 體 平 均 值 的 置 信 區(qū) 間步 驟 ：（ 1） 由 樣 本 容 量 為 n的 隨 機 變 量 X的 值 X1， X2，X3， Xn求 出 X， S， 自 由 度 df=n-1；（ 2） 求 出 SEx=S/n-1；（ 3） 確 定 顯 著 性 水 平 ， 查 t值 分 布 表 ， 找 出 臨界 值 ； （ 4） 由 于 P t =0.95， 將 公 式 t=（ X-)/SEx代 入 上 式 ， 得 ： P （ X-)/SEx =0.95 整 理 得 ： PX-SEx X+SEx=0.95 分 別

15、求 出 ： X-Sn-1/ n和 X+ Sn-1/ n（ 5） 求 出 總 體 平 均 值 的 置 信 區(qū) 間 ： X-SEx ， X+SEx 3 課 堂 練 習例 1： 對 某 校 學 生 的 智 商 水 平 進 行 抽 樣 測 查 ，共 測 量 了 20名 學 生 ， 所 得 智 商 分 數(shù) 如 下 ：90， 92， 94， 95， 97， 98， 99， 101，101， 102， 103， 104， 105， 105， 106，110， 115， 120， 88， 85。 問 該 校 學 生 平 均 智 商 分 數(shù) 在 什 么 范 圍 內(nèi) ? 給 出 平 均 數(shù) 和 標 準 差 ： X

16、=Xi/n=100.5 S2n-1 =(Xi-X) 2/(n-1)=76 第 三 節(jié) 2分 布 與 總 體 方 差 的 區(qū) 間 估 計一 、 利 用 2分 布 估 計 總 體 方 差 2的 置 信 區(qū) 間 （ 1） 樣 本 方 差 已 知 已 知 ： 2=（ n-1） S2n-1/2， 置 信 度 為 0.05 在 橫 軸 上 設(shè) 2個 臨 界 點 1和 2， 使 ： P1 2 2=0.95， 將 上 式 代 入 ， 得 ： P1 (n-1)S2n-1 /2 2=0.95 2邊 同 除 (n-1) S 2n-1得 ： 1/(n-1) S2n-1 1/2 2/(n-1) S2n-1 得 總 體

17、方 差 2的 置 信 區(qū) 間 ： (n-1)S2/2 2 (n-1)S2/1 寫 成 ： (n-1)S2/2， (n-1)S2/1 其 中 ： 1為 2/2， 2為 21-/2 (n-1)S2/2/2， (n-1)S2/21-/2 （ 2） 樣 本 方 差 未 知因 為 ： （ n-1） S2=（ Xi-X） 2 若 樣 本 方 差 S2未 知 ， 則 用 下 式 估 計 總 體 方差 2的 置 信 區(qū) 間 ： （ Xi-X） 2/2 2 （ Xi-X） 2/1 則 總 體 方 差 2的 置 信 區(qū) 間 ： （ Xi-X） 2/2， （ Xi-X） 2/1 其 中 ： 1= 2 1-/2 ，

18、2= 2/2 二 、 課 堂 練 習 例 ： 根 據(jù) 30名 被 試 的 視 反 應(yīng) 時 的 實 驗 結(jié) 果 ，計 算 出 視 反 應(yīng) 時 的 方 差 為 900毫 秒 ， 試 估計 當 置 信 度 為 0.05時 ， 總 體 方 差 的 置 信區(qū) 間 。 第 四 節(jié) F分 布 與 二 總 體 方 差 之 比 的 區(qū) 間 估 計一 、 利 用 F分 布 估 計 二 總 體 方 差 之 比 的 置 信 區(qū) 間 公 式 由 F分 布 知 ： F=S2n1-1/S2n2-1， 服 從 F分 布 ， 且df1=n1-1， df2=n2-1。 又 知 樣 本 方 差 S2是 總 體 方 差 的 無 偏

19、估 計 ， 其 之 比S2n1-1/S2n2-1是 圍 繞 總 體 方 差 之 比 12/22上 下 波動 ， 故 二 總 體 方 差 12=22 二 個 樣 本 的 總 體 方 差 相 等 的 區(qū) 間 估 計 則 用 下 式 ： 1 2/22=1 而 不 用 12-22=0 由 于 F分 布 不 是 對 稱 分 布 ， 若 F分 布 右 側(cè) 一端 的 概 率 為 ： F=S2n1-1/S2n2-1， 則 另 一 側(cè) 的 概 率 可 用 ： F=1/F= S2n2-1/S2n1-1 1 1222 2 12 12/22212 12 12/ 21211 nnnn SSFSSF 2 12=22 2

20、12 12/2 12 12/ 2121 11 nnnn SSFSSF 二 、 課 堂 練 習例 ： 8名 男 女 生 在 某 項 心 理 實 驗 中 所 得 測 量結(jié) 果 的 方 差 分 別 為 1.12和 4.98。 問 男 女 生測 量 值 的 總 體 方 差 是 否 相 等 。 樣 本 統(tǒng) 計 量 估 計 總 體 參 數(shù) 小 結(jié) ：1.點 估 計用 樣 本 平 均 數(shù) 、 方 差 和 標 準 差 估 計 總 體 平 均 數(shù) 、 方 差 和標 準 差公 式 ： X 2221 1 )( n XXiSn 1 )( 21 n XXiSn 2. 區(qū) 間 估 計（ 1） 樣 本 平 均 數(shù) 對 總

21、體 平 均 數(shù) 的 區(qū) 間 估 計A。 總 體 方 差 2已 知 ， 對 總 體 平 均 數(shù) 的 估 計 標 準 誤 ： SEx=/n Z值 ： Z=（ X-） /SEx 求 解 總 體 平 均 值 估 計 的 公 式 ： PX-1.96SExX+1.96SEx=0.95 B。 總 體 方 差 2未 知 時 ， 對 總 體 平 均 數(shù) 的 估 計求 標 準 誤 公 式 ：求 總 體 平 均 值 的 置 信 區(qū) 間 ： X-SEx ， X+SEx其 中 ， 查 t分 布 表 得 出 臨 界 值 1 nSSE X （ 2） 利 用 2分 布 估 計 總 體 方 差 2的 置 信 區(qū) 間A。 樣 本

22、 方 差 已 知 得 總 體 方 差 2的 置 信 區(qū) 間 ： (n-1)S2/2 2 (n-1)S2/1 寫 成 ： (n-1)S2/2， (n-1)S2/1 其 中 ： 1為 2/2， 2為 21-/2 B。 樣 本 方 差 未 知總 體 方 差 2的 置 信 區(qū) 間 ： （ Xi-X） 2/2， （ Xi-X） 2/1 其 中 ： 1= 21-/2 ， 2= 2/2 （ 3） 利 用 F分 布 估 計 二 總 體 方 差 之 比 的 置 信 區(qū) 間A。 1222B。 12=22 2 12 12/22212 12 12/ 21211 nnnn SSFSSF 2 12 12/2 12 12/ 2121 11 nnnn SSFSSF 小 學 生 說 ： 我 的 意 思 是 這 個值 是 11， 但 誤 差 在 2之 間 。 Gudmund R. Iversen說 ：