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1、人教版數(shù)學必修五第一章 解三角形 重難點解析第一章 課文目錄11正弦定理和余弦定理 12應用舉例 13實習作業(yè) 【重點】1、正弦定理、余弦定理的探索和證明及其基本應用。2、在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；3、三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用；實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解決。4、結合實際測量工具，解決生活中的測量高度問題。5、能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關系。6、推導三角形的面積公式并解決簡單的相關題目。【難點】1、已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。2、勾股定理在

2、余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用，正、余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用。3、根據(jù)題意建立數(shù)學模型，畫出示意圖，能觀察較復雜的圖形，從中找到解決問題的關鍵條件。4、靈活運用正弦定理和余弦定理解關于角度的問題。5、利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題?！疽c內容】一、正弦定理：在任一個三角形中，各邊和它所對角的正弦比相等，即= =2R（R為ABC外接圓半徑）1直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即c=， c= ， c= =2斜三角形中 證明一：（等積法）在任意斜ABC當中SABC= 兩邊同除以即得：=證明二：（外接圓法）如圖所示，同理 =2R，2R證明三：（向量法）過A

3、作單位向量垂直于由+= 兩邊同乘以單位向量 得 (+)=則+=|cos90+|cos(90-C)=|cos(90-A) =同理，若過C作垂直于得： = =正弦定理的應用正弦定理可以用來解兩種類型的三角問題：1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角。（見圖示）已知a, b和A, 用正弦定理求B時的各種情況:若A為銳角時:若A為直角或鈍角時:2、余弦定理余弦定理用語言可以這樣敘述，三角形一邊的平方等于另兩邊的平方和再減去這兩邊與夾角余弦的乘積的2倍即： 若用三邊表示角，余弦定理可以寫為余弦定理可解以下兩種類型的三角形：（1）已知三角形的三條邊長

4、，可求出三個內角；（2）已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊注意：在（0，）范圍內余弦值和角的一一對應性若cosA0則A為銳角；若cosA=0，則A為直角；若cosA0，則A為鈍角3、余弦定理與勾股定理的關系、余弦定理與銳角三角函數(shù)的關系在ABC中，c2=a2+b2-2abcosC若C=90，則cosC=0，于是c2=a2+b2-2ab0=a2+b2說明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣這與RtABC中，C=90的銳角三角函數(shù)一致，即直角三角形中的銳角三角函數(shù)是余弦定理的特例4、三角形的有關定理：內角和定理：A+B+C=180，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=

5、-cosC,cos=sin, sin=cos面積公式：S=absinC=bcsinA=casinBS= pr = (其中p=, r為內切圓半徑)射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA5、求解三角形應用題的一般步驟：（1）、分析題意，弄清已知和所求；（2）、根據(jù)提意，畫出示意圖；（3）、將實際問題轉化為數(shù)學問題，寫出已知所求；（4）、正確運用正、余弦定理?！镜湫屠}】例1 已知在解：由得 由得例2 在解：例3 解：，例4 已知ABC，B為B的平分線，求證：ABBCAC分析：前面大家所接觸的解三角形問題是在一個三角形內研

6、究問題，而B的平分線BD將ABC分成了兩個三角形：ABD與CBD，故要證結論成立，可證明它的等價形式：ABADBCDC，從而把問題轉化到兩個三角形內，而在三角形內邊的比等于所對角的正弦值的比，故可利用正弦定理將所證繼續(xù)轉化為，再根據(jù)相等角正弦值相等，互補角正弦值也相等即可證明結論.證明：在ABD內，利用正弦定理得：在BCD內，利用正弦定理得：BD是B的平分線.ABDDBC sinABDsinDBC.ADBBDC180sinADBsin（180BDC）sinBDC評述：此題可以啟發(fā)學生利用正弦定理將邊的關系轉化為角的關系，并且注意互補角的正弦值相等這一特殊關系式的應用.例5在ABC中，已知a=,

7、b=,B=45，求A,C及邊c解：由正弦定理得：sinA=,因為B=4590且ba,所以有兩解A=60或A=120(1)當A=60時,C=180-(A+B)=75， c=,(2)當A=120時,C=180-(A+B)=15 ，c=思維點撥：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形問題，用正弦定理解，但需注意解的情況的討論例6ABC中，若，判斷ABC的形狀。解一：由正弦定理：2A = 2B 或 2A = 180 - 2B 即：A= B 或 A + B = 90ABC為等腰或直角三角形解二： 由題設：化簡：b2(a2 + c2 - b2) = a2(b2 + c2 - a2) (a2 -b2)(a2 +

8、b2 - c2)=0a = b或 a2 + b2 = c2 ABC為等腰或直角三角形思維點撥：判斷三角形的形狀從角或邊入手例7在ABC中，已知，成等差數(shù)列，b=1, 求證：1a+c2.解：由正弦定理:,得a+c=(sinA+sinC)= (sinA+sinC)= sinA+sin(120A)=2sin(A+30)，因為0A120，所以30A+30150,故12sin(A+30)2.法二B=60,b=1，a2+c2-b2=2accos60, a2+c2-1=ac, a2+c2-ac=1,(a+c) 2+3(a-c) 2=4, (a+c) 2=4-3(a-c) 2.0a-c1 03(a-c)21,

9、 1c2（銳角三角形），a2b2c2（鈍角三角形）或sin(AB)0，sinAsinB，sinC1或cosC0等一些等式，進而判定其形狀，但在選擇轉化為邊或是角的關系上，要進行探索【范例2】中，內角.的對邊分別為.，已知.成等比數(shù)列，且（1）求的值；（2）若，求的值解析（1）由得，由得，（2）由得：，因，所以：，即：由余弦定理得于是： 故【點晴】 以三角形為載體，以三角變換為核心，結合正弦定理和余弦定理綜合考查邏輯分析和計算推理能力是高考命題的一個重要方向，因此要特別關注三角函數(shù)在解斜三角形中的靈活應用.【文】在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，.(1)求角A的度數(shù)；(2)若a=，

10、b+c=3，求b和c的值.解析 【點睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中應用比較廣泛.【范例3】已知ABC的周長為6，成等比數(shù)列，求（1）ABC的面積S的最大值；（2）的取值范圍解析 設依次為a，b，c，則a+b+c=6，b=ac 在ABC中得,故有又從而（），即（） 【點睛】 三角與向量結合是高考命題的一個亮點.問題當中的字母比較多，這就需要我們采用消元的思想，想辦法化多為少，消去一些中介的元素，保留適當?shù)闹髯冊髯冊墙獯饐栴}的基本元素，有效的控制和利用對調整解題思路是十分有益處的 【變式】在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c, ABC的外接圓半徑R=，且滿足.(1) 求角B和邊

11、b的大??；(2) 求ABC的面積的最大值。解析 (1) 由整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosBsin(B+C)= 2sinAcosB sinA=2sinAcosB cosB= B= b=2RsinB b=3(2)= 當A=時, 的最大值是【點睛】三角函數(shù)的最值問題在三角形中的應用【范例4】某觀測站C在城A的南20西的方向上，由A城出發(fā)有一條公路，走向是南40東，在C處測得距C為31千米的公路上B處有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到達D處，此時C、D間距離為21千米，問還需走多少千米到達A城？解析 據(jù)題意得圖02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千

12、米，CAB=60設ACD = ，CDB = 在CDB中，由余弦定理得：，在ACD中得所以還得走15千米到達A城【點晴】 運用解三角形的知識解決實際問題時，關鍵是把題設條件轉化為三角形中的已知元素，然后解三角形求之【變式】已知半圓O的直徑AB=2，P為AB延長線上一點，OP=2，Q為半圓上任意一點，以PQ為一邊作等邊三角形PQR（P、Q、R為順時針排列），問點Q在什么位置時，四邊形OPRQ面積最大，并求這個最大面積.解析 設面積，而POQ面積S2=，四邊形OPRQ面積.【點睛】三角函數(shù)在實際問題中的應用問題.自我提升1在直角三角形中，兩銳角為A和B，則sinAsinB( B )（A）.有最大值和

13、最小值 （B）.有最大值但無最小值（C）.既無最大值也無最小值 （D）.有最大值1但無最小值2已知非零向量與滿足且則為（ D ）（A）等邊三角形（B）直角三角形（C）等腰非等邊三角形（D）三邊均不相等的三角形3ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，則C的大小是 （ A ）（A） （B） （C）或 （D）或4.一個直角三角形三內角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內角為( A )(A)arccos (B)arcsin (C)arccos (D)arcsin 5. 已知a+1，a+2，a+3是鈍角三角形的三邊，則a的取值范圍是 . （0，2）6已知定義在R上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調

14、遞增,若的內角A滿足,則A的取值范圍是 _7數(shù)列a n中，首項a12，前n項和為Sn，且.（1）判斷數(shù)列a n是否為等比數(shù)列，并證明你的結論？（2）若對每個正整數(shù)n，以a n，a n+1，a n+2為邊長都能構成三角形，求t的取值范圍。解析 (1)略（2）【文】在中，.的對邊分別為.。（1） 若a,b,c 成等比數(shù)列，求f(B)=sinB+cosB的值域。（2） 若a,b,c 成等差數(shù)列，且A-C=，求cosB的值。解析 (1) , 當且僅當時取等號, f(B)=sinB+cosB= 的值域為(2) sinA+sinC=2sinB C= sin()+sin()=2sinB展開,化簡,得 , ,

15、 cosB=8在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點，使沿線段DE折疊三角形時，頂點A正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使AD最小，求ADAB的值.解析 按題意，設折疊后A點落在邊BC上改稱P點，顯然A、P兩點關于折線DE對稱，又設BAP=，DPA=，BDP=2，再設AB=a，AD=x，DP=x.在ABC中，APB=180ABPBAP=120，由正弦定理知：.BP=在PBD中，, 060，6060+2180，當60+2=90，即=15時，sin(60+2)=1，此時x取得最小值a，即AD最小，ADDB=23.【文】在中，分別為角的對邊，且滿足（）求角大??；（）若，當取最小值時，判斷

16、的形狀解析（）， ， （）由余弦定理，得， 所以的最小值為，當且僅當時取等號此時為正三角形解三角形 檢測題班級 姓名 學號 成績 一、選擇題:1在ABC中，下列式子不正確的是 A B C D2在ABC中，則的值為 A B C D23在ABC中，若，則ABC是 A等邊三角形 B直角三角形 C銳角三角形 D鈍角三角形4 ，則三角形的形狀為 A直角三角形 B等腰三角形或直角三角形 C正三角形 D等腰直角三角形5在ABC中，則B等于 A B或 C D或 6在ABC中，已知，則此三角形的最大內角是 A1200 B1500 C600 D9007在ABC中，“A=B”是“”的 A充分必要條件 B充分不必要條

17、件 C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件8銳角ABC中，B=2A，則的取值范圍是 A B C D二、填空題：9在ABC中，若，則AC= ；10在ABC中，則BAC= ；11一艘船上午9：30在A處，測得燈塔S在它的北偏東300，處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東750，且與它相距海里，此船的航速是 ；12在銳角三角形ABC中，已知，則BAC= ， .三、 解答題：13已知三角形ABC的外接圓半徑為1，且角A、B、C成等差數(shù)列，若角A，B，C所對的邊長分別為，求的取值范圍.14在ABC中，求的值和三角形的面積.15ABC的三個內角為A、B、C，求當A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。16在ABC中，角A，B，C的對邊分別是，且. 求的值； 若，求.參考答案一、選擇題：1 C2 C3 B4 A5 A6 B7 B8 D二、填空題：9. 3 10. 30 11.32海里/小時 12.60 2三、解答題：13 14. 三角形的面積為15解：A、B、C為ABC的三內角 令A是ABC的內角 x可以取到，由拋物線的圖像及性質可知當時，為其最大值。 此時16.（1）A，B，C是ABC的內角 （2）A 是ABC的內角 又 是ABC的一邊