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2022-2023學(xué)年安徽省合肥市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期5月期中聯(lián)考考試 數(shù)學(xué)【含答案】

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2022-2023學(xué)年安徽省合肥市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期5月期中聯(lián)考考試 數(shù)學(xué)【含答案】_第1頁(yè)
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1、2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期集中練習(xí)2 高一數(shù)學(xué) 時(shí)間:120分鐘滿分:150分 一、選擇題(每小題5分,共8小題40分) 1. 設(shè),是兩個(gè)不共線的平面向量,已知,,若,則( ) A. 2 B. -2 C. 6 D. -6 【答案】D 【解析】 【分析】根據(jù)可知,再根據(jù),代入求解即可. 【詳解】因?yàn)?,故,故,因?yàn)?,是兩個(gè)不共線的平面向量,故,解得. 故選:D 【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行求參數(shù)的問(wèn)題,若,則,屬于基礎(chǔ)題. 2. 若復(fù)數(shù)滿足 (為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【

2、答案】C 【解析】 【分析】先求,再用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算,從而得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限. 【詳解】,所以,故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,位于第三象限. 故選:C 3. 如圖,在中,,是上的一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平面內(nèi)三點(diǎn)共線的充要條件為:存在實(shí)數(shù),使,且.求得,從而可得結(jié)果. 【詳解】由,可得, 所以, 又三點(diǎn)共線,由三點(diǎn)共線定理,可得:, , 故選C. 【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量共線定理的應(yīng)用,意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題. 4. 一平面四邊形

3、OABC的直觀圖O′A′B′C′如圖所示,其中O′C′⊥x′軸,A′B′⊥x′軸,B′C′∥y′軸,則四邊形OABC的面積為( ?。? A. B. 3 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】結(jié)合圖形可得,則可得四邊形面積,后可得四邊形OABC的面積. 【詳解】設(shè)軸與交點(diǎn)為D,因O′C′⊥x′軸,A′B′⊥x′軸,則,又B′C′∥y′軸,則四邊形為平行四邊形,故.又,結(jié)合A′B′⊥x′軸,則,故. 則四邊形面積為,因四邊形面積是四邊形OABC的面積的倍,則四邊形OABC的面積為. 故選:B 5. 設(shè),是兩條不同的直線,,是兩個(gè)不同的平面,有下列四個(gè)命題: ①,

4、,則; ②若,,則; ③若,,,則; ④若,,,則. 其中正確命題的序號(hào)是() A. ③④ B. ①② C. ①④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】舉例說(shuō)明判斷AD;利用面面平行的性質(zhì)判斷B;利用線面垂直的性質(zhì)推理判斷C作答. 【詳解】對(duì)于①,因?yàn)?,?dāng)時(shí),滿足,此時(shí),①錯(cuò)誤; 對(duì)于②,因?yàn)?,,則,②正確; 對(duì)于③,因?yàn)?,,則,又,因此,③正確; 對(duì)于④,當(dāng),時(shí),有,,若,滿足,顯然不成立,④錯(cuò)誤, 所以正確命題的序號(hào)是②③. 故選:D 6. 在中,角的對(duì)邊分別為,.則的最大值為 A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根

5、據(jù)題干得到B=,原式,根據(jù)角A的范圍得到最值即可. 【詳解】角的對(duì)邊分別為,,變形為: 根據(jù)余弦定理,故角B= 因?yàn)? 故最大值為:1. 故答案為A. 【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù),屬于簡(jiǎn)單題. 對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式:(1);(2),同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外,在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí),還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值,以便在解題中直接應(yīng)用. 7. 三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直,且長(zhǎng)度分別為3、4、5,則三棱錐P-ABC外接球的體積是 A. B. C. D. 【答案】C

6、 【解析】 【詳解】由PA、PB、PC兩兩互相垂直為一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為.所以三棱錐P-ABC外接球的半徑為.所以體積為. 故選:C 8. 如圖,為平行四邊形所在平面外一點(diǎn),為的中點(diǎn),為上一點(diǎn),當(dāng)∥平面時(shí),( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 連接交于,連接,因?yàn)椤纹矫?平面,平面平面,可得∥,結(jié)合已知條件,即可求得答案. 【詳解】連接交于,連接, ∥平面,平面 平面平面, ∥, 故:① 又∥,為的中點(diǎn), ② 由①②可得: 故選:D. 【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)線面平行求線段比例,解題關(guān)鍵是掌握線面平行

7、判定定理,考查了分析能力和空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題. 二、多選題(每小題5分,共4小題20分) 9. 已知向量,,則() A. B. 向量在向量上的投影向量為 C. 與的夾角余弦值為 D. 若,則 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)的正誤;設(shè)向量在向量上的投影向量為,根據(jù)題意得出,求出的值,可判斷B選項(xiàng)的正誤;利用平面向量夾角余弦的坐標(biāo)表示可判斷C選項(xiàng)的正誤;利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷D選項(xiàng)的正誤. 【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),,,所以,與不共線,A選項(xiàng)錯(cuò)誤; 對(duì)于B選項(xiàng),設(shè)向量在向量上的投影向量為, 則,即,解得, 故向量在向量上的

8、投影向量為,B選項(xiàng)正確; 對(duì)于C選項(xiàng),,,C選項(xiàng)正確; 對(duì)于D選項(xiàng),若,則,所以,,D選項(xiàng)正確. 故選:BCD. 10. 設(shè)復(fù)數(shù),則下列說(shuō)法正確的是() A. 實(shí)部為2 B. 虛部為 C. 模為 D. 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)整理得,依次驗(yàn)證A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng),可知B錯(cuò)誤. 【詳解】, 知復(fù)數(shù)的虛部為,實(shí)部為2,所以選項(xiàng)A正確,選項(xiàng)B錯(cuò)誤; 對(duì)于選項(xiàng)C,,所以選項(xiàng)C正確; 對(duì)于選項(xiàng)D,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第四象限,所以選項(xiàng)D正確. 故選:ACD. 11. 如圖是正方體的平面展開(kāi)圖,則關(guān)于這個(gè)正方體的說(shuō)法正確的是

9、 A. 與平行 B. 與是異面直線 C. 與成角 D. 與是異面直線 【答案】CD 【解析】 【分析】 把平面展開(kāi)圖還原成幾何體,再由棱柱的結(jié)構(gòu)特征及異面直線定義?異面直線所成角逐一核對(duì)四個(gè)命題得答案. 【詳解】把平面展開(kāi)圖還原成幾何體,如圖: .由正方體的性質(zhì)可知,與異面且垂直,故錯(cuò)誤; .與平行,故錯(cuò)誤; .連接,則,為與所成角,連接,可知為正三角形,則,故正確; .由異面直線的定義可知,與是異面直線,故正確. 故選:. 【點(diǎn)睛】本題考查由正方體的展開(kāi)圖還原立體圖,直線與直線的位置關(guān)系,直線與直線所成角的判斷,屬于基礎(chǔ)題 12. 如圖,透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器

10、內(nèi)灌進(jìn)一些水,固定容器一邊于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下面幾個(gè)結(jié)論,其中正確的命題有( ) A. 沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形 B. 水面所在四邊形的面積為定值 C. 隨著容器傾斜度的不同,始終與水面所在平面平行 D. 當(dāng)容器傾斜如圖(3)所示時(shí),為定值 【答案】AD 【解析】 【分析】想象容器傾斜過(guò)程中,水面形狀(注意始終在桌面上),可得結(jié)論. 【詳解】由于始終在桌面上,因此傾斜過(guò)程中,沒(méi)有水的部分,是以左右兩側(cè)的面為底面的棱柱,A正確; 圖(2)中水面面積比(1)中水面面積大,B錯(cuò); 圖(3)中與水面就不平行,C錯(cuò); 圖(3)中,水體積不變,因此

11、面積不變,從而為定值,D正確. 故選:AD. 【點(diǎn)睛】本題考查空間線面的位置關(guān)系,考查棱柱的概念,考查學(xué)生的空間想象能力,屬于中檔題. 三、填空題(每小題5分,共4小題20分) 13. 已知,與的夾角是90°,,,與垂直,則的值為_(kāi)_____. 【答案】 【解析】 【分析】由與垂直,可得,然后將代入化簡(jiǎn)可得結(jié)果. 【詳解】因?yàn)?,與夾角為90°,則, 因?yàn)榕c垂直,所以,又,, 所以, 解得. 故答案為: 14. 已知,則的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解. 【詳解】設(shè),則有,即, 則在復(fù)平面中的點(diǎn)在以為圓心

12、,為半徑的圓周上, , ,表示與點(diǎn)的距離, 如圖所示: 由圖可知,, 即的最大值為7. 故答案為:7 15. 如圖,一立在水平地面上圓錐形物體的母線長(zhǎng)為,一只小蟲(chóng)從圓錐的底面圓上的點(diǎn)出發(fā),繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)處.若該小蟲(chóng)爬行的最短路程為,則圓錐底面圓的半徑等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】 把圓錐側(cè)面沿過(guò)點(diǎn)的母線展開(kāi),畫(huà)出側(cè)面展開(kāi)圖,根據(jù)題中條件,即可求出結(jié)果. 【詳解】把圓錐側(cè)面沿過(guò)點(diǎn)的母線展開(kāi)成如圖所示的扇形, 由題意,, 則,所以 , 設(shè)底面圓的半徑為,則,所以. 故答案為:. 16. 如圖,直角梯形中, ,,

13、,若將直角梯形繞邊旋轉(zhuǎn)一周,則所得幾何體的表面積為 __________. 【答案】; 【解析】 【詳解】幾何體為一個(gè)圓錐與圓柱的組合體,表面積為 點(diǎn)睛:空間幾何體表面積的求法 (1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問(wèn)題,關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量. (2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和;組合體的表面積注意銜接部分的處理. (3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用. 四、解答題(第17題10分,第18題12分,第19題12分,第20題12分,第21題12分,第22題12分,共6小題70分) 17. 設(shè)向量,滿足,. 求的值; 求與夾

14、角的正弦值. 【答案】(1);(2) 【解析】 【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)即可得出;利用向量的夾角公式和數(shù)量積的性質(zhì)即可得出. 【詳解】向量,滿足,. ,. 因此, . 設(shè)與夾角為, . . ,. 與夾角的正弦值為. 【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算及其性質(zhì)、向量的夾角公式,屬于基礎(chǔ)題. 18. 復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位. (1)求及; (2)若,求實(shí)數(shù),的值. 【答案】(1), (2) 【解析】 【分析】(1)首先根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解出復(fù)數(shù),進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解; (2)首先將代入等式,然后根據(jù)等式關(guān)系構(gòu)造方程組,解方程組即可得到實(shí)數(shù),的值. 【

15、小問(wèn)1詳解】 ∵, ∴. 【小問(wèn)2詳解】 由(1)可知, 由,得:, 即,∴,解得 19. 如圖,在棱長(zhǎng)為正方體中,截去三棱錐,求 (1)截去的三棱錐的表面積; (2)剩余的幾何體的體積. 【答案】(1);(2) 【解析】 【分析】 (1)三棱錐中是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,、、都是直角邊為的等腰直角三角形,計(jì)算四個(gè)三角形面積之和即可求解. (2)正方體的體積減去三棱錐的體積即得剩余的幾何體的體積. 【詳解】(1)由正方體的特點(diǎn)可知三棱錐中,是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,、、都是直角邊為的等腰直角三角形, 所以截去的三棱錐的表面積 (2)正方體的體積為, 三棱

16、錐的體積為, 所以剩余的幾何體的體積為. 20. 在中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為,且 (1)求角C的大??; (2)若的面積,求的值. 【答案】(1);(2) 【解析】 【分析】 【詳解】試題分析:由,得 , 即2sinCcosA=2sin(A+C)-sinA, 整理可得,2sinAcosC- sinA=0, 即sinA(2cosC-)=0, 又A,C∈(0,π),∴sinA>0,cosC=, ∴ (2)由題意得,, ∴ . 由余弦定理可得 , ∴ 由正弦定理得, ∴ 考點(diǎn):本題考查正弦定理,余弦定理,兩角和與差的三角函數(shù) 點(diǎn)評(píng):解決本題的關(guān)鍵是

17、靈活應(yīng)用正、余弦定理 21. 在正方體中,S是的中點(diǎn),E,F(xiàn),G分別是BC,DC,SC的中點(diǎn),求證: (1)平面; (2)平面平面. 【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2)證明見(jiàn)解析 【解析】 【分析】(1)連AC,BD交于點(diǎn)O,連SB,D1O,證明,利用線面平行的判定定理證明即可; (2)證明都平行于平面,然后利用面面平行的判定定理證明即可. 【小問(wèn)1詳解】 證明:連AC,BD交于點(diǎn)O,連SB,D1O, G,E分別是SC,BC的中點(diǎn),, 又,則四邊形為平行四邊形, ,, 平面,平面, 平面; 【小問(wèn)2詳解】 由題連接OF,A1F, OF是的中位線,, 四點(diǎn)

18、共面, 由(1)可知,,平面,平面, 則平面 又,平面,平面, 則平面,又, 平面,平面, 平面平面. 22. 已知向量,設(shè). (1)求函數(shù)的解析式及單調(diào)增區(qū)間; (2)在中,分別為內(nèi)角的對(duì)邊,且,求的面積. 【答案】(1);(2) 【解析】 【分析】(1)利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得,整體代入求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可; (2)由,可得,結(jié)合范圍,可得的值,由余弦定理可解得的值,利用三角形面積公式即可得解. 【詳解】解:(1) 由,可得, 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,. (2)因?yàn)?,所以? 又,則,所以,解得, 由余弦定理可得,可得, 解得,所以.

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