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1、數(shù) 學(xué) 建 模 與 數(shù) 學(xué) 實(shí) 驗(yàn)后勤工程學(xué)院數(shù)學(xué)教研室 微 分 方 程 實(shí) 驗(yàn) 目 的實(shí) 驗(yàn) 內(nèi) 容 2、 學(xué) 會 用 Matlab求 微 分 方 程 的 數(shù) 值 解 .1、 學(xué) 會 用 Matlab求 簡 單 微 分 方 程 的 解 析 解 .1、 求 簡 單 微 分 方 程 的 解 析 解 .4、 實(shí) 驗(yàn) 作 業(yè) .2、 求 微 分 方 程 的 數(shù) 值 解 .3、 數(shù) 學(xué) 建 模 實(shí) 例 求 微 分 方 程 的 數(shù) 值 解（ 一 ） 常 微 分 方 程 數(shù) 值 解 的 定 義（ 二 ） 建 立 數(shù) 值 解 法 的 一 些 途 徑（ 三 ） 用 Matlab軟 件 求 常 微 分 方 程

2、的 數(shù) 值 解返 回 1、 目 標(biāo) 跟 蹤 問 題 一 ： 導(dǎo) 彈 追 蹤 問 題 2、 目 標(biāo) 跟 蹤 問 題 二 ： 慢 跑 者 與 狗3、 地 中 海 鯊 魚 問 題 返 回?cái)?shù) 學(xué) 建 模 實(shí) 例 微 分 方 程 的 解 析 解 求 微 分 方 程 （ 組 ） 的 解 析 解 命 令 :dsolve(方 程 1, 方 程 2,方 程 n, 初 始 條 件 , 自 變 量 ) 記 號 : 在 表 達(dá) 微 分 方 程 時 ， 用 字 母 D 表 示 求 微 分 ， D2、 D3 等 表 示 求 高 階 微 分 .任 何 D 后 所 跟 的 字 母 為 因 變 量 ， 自 變 量 可 以 指

3、定 或 由 系 統(tǒng) 規(guī) 則 選 定 為 確 省 . 例 如 ， 微 分 方 程 02 2 dx yd 應(yīng) 表 達(dá) 為 ： D2y=0. 例 1 求 21 udt du 的 通 解 . 解 輸 入 命 令 ： dsolve(Du=1+u2,t) To Matlab（ ff1） 結(jié) 果 ： u = tg(t-c) 例 2 求 微 分 方 程 的 特 解 . 15)0(,0)0( 029422 yy ydxdydxyd 解 輸 入 命 令 : y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)結(jié) 果 為 : y =3e-2xsin（ 5x） To Matlab（

4、ff2） 例 3 求 微 分 方 程 組 的 通 解 . zyxdtdz zyxdtdy zyxdtdx 244 354 332解 輸 入 命 令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 將 x化 簡 y=simple(y) z=simple(z)結(jié) 果 為 ： x = (c 1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)

5、e2t To Matlab（ ff3） 返 回 微 分 方 程 的 數(shù) 值 解（ 一 ） 常 微 分 方 程 數(shù) 值 解 的 定 義 在 生 產(chǎn) 和 科 研 中 所 處 理 的 微 分 方 程 往 往 很 復(fù) 雜 且 大 多得 不 出 一 般 解 。 而 在 實(shí) 際 上 對 初 值 問 題 ， 一 般 是 要 求 得到 解 在 若 干 個 點(diǎn) 上 滿 足 規(guī) 定 精 確 度 的 近 似 值 ， 或 者 得 到一 個 滿 足 精 確 度 要 求 的 便 于 計(jì) 算 的 表 達(dá) 式 。因 此 ， 研 究 常 微 分 方 程 的 數(shù) 值 解 法 是 十 分 必 要 的 。 。的 相 應(yīng) 近 似 值

6、求 出 準(zhǔn) 確 值，值 處 ， 即 對的 若 干 離 散 的 開 始其 數(shù) 值 解 是 指 由 初 始 點(diǎn)，：對 常 微 分 方 程 nn nyyxyxy xxxxx y ,y )(,),( ),y(x x )y(x y)f(x,y 212 1210 000 返 回 （ 二 ） 建 立 數(shù) 值 解 法 的 一 些 途 徑 001i )y(x y)f(x,y ,1,2,1,0 , x ynihxi 解 微 分 方 程 ：可 用 以 下 離 散 化 方 法 求設(shè) 1、 用 差 商 代 替 導(dǎo) 數(shù) 若 步 長 h較 小 ， 則 有 h xyhxyxy )()()( 故 有 公 式 ： 1-n,0,1

7、,2,i )( ),(00 1 xyy yxhfyy iiii此 即 歐 拉 法 。 2、 使 用 數(shù) 值 積 分對 方 程 y=f(x,y), 兩 邊 由 xi到 xi+1積 分 ， 并 利 用 梯 形 公 式 ， 有 ：)(,()(,(2)(,()()( 1111 1 iiiiiixxii xyxfxyxfxxdttytfxyxy ii實(shí) 際 應(yīng) 用 時 ， 與 歐 拉 公 式 結(jié) 合 使 用 ： ,2,1,0 ),(),(2 ),( )( 11)1( 1)0( 1 kyxfyxfhyy yxhfyy kiiiiiki iiii 的 計(jì) 算 。然 后 繼 續(xù) 下 一 步 ，取時 ，當(dāng) 滿

8、足，對 于 已 給 的 精 確 度 ）（ y y 2i 111i)( 1)1( 1 kikiki yyy 此 即 改 進(jìn) 的 歐 拉 法 。故 有 公 式 ： )( ),(),(200 111 xyy yxfyxfhyy iiiiii 3、 使 用 泰 勒 公 式 以 此 方 法 為 基 礎(chǔ) ， 有 龍 格 -庫 塔 法 、 線 性 多 步 法 等 方法 。4、 數(shù) 值 公 式 的 精 度 當(dāng) 一 個 數(shù) 值 公 式 的 截 斷 誤 差 可 表 示 為 O（ hk+1） 時（ k為 正 整 數(shù) ， h為 步 長 ） ， 稱 它 是 一 個 k階 公 式 。k越 大 ， 則 數(shù) 值 公 式 的

9、精 度 越 高 。歐 拉 法 是 一 階 公 式 ， 改 進(jìn) 的 歐 拉 法 是 二 階 公 式 。龍 格 -庫 塔 法 有 二 階 公 式 和 四 階 公 式 。線 性 多 步 法 有 四 階 阿 達(dá) 姆 斯 外 插 公 式 和 內(nèi) 插 公 式 。返 回 （ 三 ） 用 Matlab軟 件 求 常 微 分 方 程 的 數(shù) 值 解t， x=solver（ f,ts,x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s 由 待 解方 程 寫成 的 m-文 件 名 ts=t0， tf，t0、 tf為 自變 量 的 初值 和 終 值 函 數(shù) 的初 值ode23： 組 合

10、 的 2/3階 龍 格 -庫 塔 -芬 爾 格 算 法ode45： 運(yùn) 用 組 合 的 4/5階 龍 格 -庫 塔 -芬 爾 格 算 法自 變量 值 函 數(shù)值 用 于 設(shè) 定 誤 差 限 (缺 省 時 設(shè) 定 相 對 誤 差 10 -3, 絕 對 誤 差 10-6),命 令 為 ： options=odeset（ reltol,rt,abstol,at） , rt， at： 分 別 為 設(shè) 定 的 相 對 誤 差 和 絕 對 誤 差 . 1、 在 解 n個 未 知 函 數(shù) 的 方 程 組 時 ， x0和 x均 為 n維 向 量 ，m-文 件 中 的 待 解 方 程 組 應(yīng) 以 x的 分 量 形

11、 式 寫 成 . 2、 使 用Matlab軟 件 求 數(shù) 值 解 時 ， 高 階 微 分 方 程 必 須等 價 地 變 換 成 一 階 微 分 方 程 組.注 意 : 例 4 0)0(;2)0( 0)1(1000 222 xx xdtdxxdtxd解: 令 y1=x，y2=y1 則 微 分 方 程 變 為 一 階 微 分 方 程 組 ： 0)0(,2)0( )1(1000 21 12212 21 yy yyyy yy1、 建 立m-文 件vdp1000.m如 下 ： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(

12、1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2、 取 t 0=0， tf=3000， 輸 入 命 令 ： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-)3、 結(jié) 果 如 圖 0 500 1000 1500 2000 2500 3000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52 To Matlab（ ff4） 例 5 解 微 分 方 程 組 . 1)0(,1)0(,0)0( 51.0 321 213 312 321 yyy yyy yyy yyy解 1、 建 立m-文 件rigid.m如 下 ： function dy=rigid(t,y)

13、dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、 取 t 0=0， tf=12， 輸 入 命 令 ： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3、 結(jié) 果 如 圖 To Matlab（ ff5）0 2 4 6 8 10 12-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 圖 中 ， y1的 圖 形 為 實(shí) 線 ， y2的 圖 形 為 “ *”線 ， y3的 圖 形 為 “

14、+”線 .返 回 導(dǎo) 彈 追 蹤 問 題 設(shè) 位 于 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 的 甲 艦 向 位 于 x軸 上 點(diǎn) A(1, 0)處 的 乙 艦發(fā) 射 導(dǎo) 彈 ， 導(dǎo) 彈 頭 始 終 對 準(zhǔn) 乙 艦 .如 果 乙 艦 以 最 大 的 速 度v0(是 常 數(shù) )沿 平 行 于 y軸 的 直 線 行 駛 ， 導(dǎo) 彈 的 速 度 是 5v0， 求導(dǎo) 彈 運(yùn) 行 的 曲 線 方 程 .又 乙 艦 行 駛 多 遠(yuǎn) 時 ， 導(dǎo) 彈 將 它 擊 中 ？解 法 一 （ 解 析 法 ） 假 設(shè) 導(dǎo) 彈 在 t 時 刻 的 位 置 為 P(x(t), y(t)， 乙 艦 位 于 ),1( 0tvQ . 由 于 導(dǎo) 彈 頭

15、 始 終 對 準(zhǔn) 乙 艦 ， 故 此 時 直 線 PQ 就 是 導(dǎo) 彈 的 軌 跡 曲 線 弧 OP 在 點(diǎn) P 處 的 切 線 ， 即 有 xytvy 1 0 即 yyxtv )1(0 (1) 又 根 據(jù) 題 意 ， 弧 OP 的 長 度 為 AQ 的 5 倍 ， 即 tvdxyx 00 2 51 (2) 由 (1),(2)消 去 t整 理 得 模 型 : (3) 151)1( 2yyx 初 值 條 件 為 : 0)0( y 0)0( y 解 即 為 導(dǎo) 彈 的 運(yùn) 行 軌 跡 : 245)1(125)1(85 5 654 xxy 當(dāng) 1x 時 245y ， 即 當(dāng) 乙 艦 航 行 到 點(diǎn)

16、)245 ,1( 處 時 被 導(dǎo) 彈 擊 中 . 被 擊 中 時 間 為 : 00 245vvyt . 若 v0=1, 則 在 t=0.21 處 被 擊 中 .To Matlab(chase1)軌 跡 圖 見 程 序 chase1 解 法 二 (數(shù) 值 解 )1.建 立m-文 件eq1.m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x); 2. 取x 0=0，xf=0.9999， 建 立 主 程 序ff6.m如 下 ： x0=0，xf=0.9999 x,y=ode15s(eq1,x0 x

17、f,0 0); plot(x,y(:,1),b.) hold on y=0:0.01:2; plot(1,y,b*) 結(jié) 論 : 導(dǎo) 彈 大 致 在 （1，0.2） 處 擊 中 乙 艦 To Matlab(ff6)2151)1( yyx )1/(151 212 21 xyy yy 令 y1=y,y2=y1， 將 方 程 （ 3） 化 為 一 階 微 分 方 程 組 。 解 法 三 (建 立 參 數(shù) 方 程 求 數(shù) 值 解 ) 設(shè) 時 刻 t乙 艦 的 坐 標(biāo) 為 (X(t)， Y(t)， 導(dǎo) 彈 的 坐 標(biāo) 為 (x(t)， y(t). 1 設(shè) 導(dǎo) 彈 速 度 恒 為 w， 則 222 )()

18、( wdtdydtdx （ 1） 2. 由 于 彈 頭 始 終 對 準(zhǔn) 乙 艦 ， 故 導(dǎo) 彈 的 速 度 平 行 于 乙 艦 與 導(dǎo) 彈 頭 位 置 的 差 向 量 ， 即 ： yY xXdtdydtdx ， 0 （ 2） 消 去 得 ： )()()( )()()( 22 22 yYyYxX wdtdy xXyYxX wdtdx （ 3）3 因 乙 艦 以 速 度 v0沿 直 線 x=1運(yùn) 動 ， 設(shè) v0=1， 則 w=5， X=1， Y=t 因 此 導(dǎo) 彈 運(yùn) 動 軌 跡 的 參 數(shù) 方 程 為 ： 0)0(,0)0( )()()1( 5 )1()()1( 5 22 22yx ytytx

19、dtdy xytxdtdx4. 解 導(dǎo) 彈 運(yùn) 動 軌 跡 的 參 數(shù) 方 程建 立 m-文 件 eq2.m如 下 ： function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); 取t 0=0，tf=2， 建 立 主 程 序chase2.m如 下 ： t,y=ode45(eq2,0 2,0 0); Y=0:0.01:2; plot(1,Y,-)， hold on plot(y(:,1),y(:,2),*)To Matlab(

20、chase2) 5. 結(jié) 果 見 圖 1導(dǎo) 彈 大 致 在 （1，0.2） 處 擊 中 乙 艦 ， 與 前 面 的 結(jié) 論 一 致.圖 1 圖 2 返 回 在chase2.m中 ， 按 二 分 法 逐 步 修 改tf， 即 分 別 取tf=1，0.5,0.25,直 到tf=0.21時 ， 得 圖2.結(jié) 論 ： 時 刻 t=0.21時 ， 導(dǎo) 彈 在 （ 1， 0.21） 處 擊 中 乙 艦 。To Matlab(chase2) 慢 跑 者 與 狗 一 個 慢 跑 者 在 平 面 上 沿 橢 圓 以 恒 定 的 速 率 v=1跑 步 ,設(shè) 橢圓 方 程 為 : x=10+20cost, y=20

21、+5sint. 突 然 有 一 只 狗 攻 擊 他 . 這 只 狗從 原 點(diǎn) 出 發(fā) ,以 恒 定 速 率 w跑 向 慢 跑 者 ,狗 的 運(yùn) 動 方 向 始 終 指 向 慢 跑 者 .分 別 求 出 w=20,w=5時 狗 的 運(yùn) 動 軌 跡 .1. 模 型 建 立設(shè) 時 刻 t慢 跑 者 的 坐 標(biāo) 為 (X(t)， Y(t)， 狗 的 坐 標(biāo) 為 (x(t)， y(t). 則 X=10+20cost, Y=20+15sint, 狗 從 (0,0)出 發(fā) ,與 導(dǎo) 彈 追 蹤 問 題 類 似 ， 建 立 狗的 運(yùn) 動 軌 跡 的 參 數(shù) 方 程 : 0)0( ,0)0( )sin1520(

22、)sin1520()cos2010( )cos2010()sin1520()cos2010( 22 22yx ytytxt wdtdy xtytxt wdtdx 2. 模 型 求 解(1) w=20時 ,建 立 m-文 件 eq3.m如 下 : function dy=eq3(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)

23、-y(2)2);取t0=0，tf=10， 建 立 主 程 序chase3.m如 下 ： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq3,t0 tf,0 0); T=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*) 在chase3.m， 不 斷 修 改 tf的 值 ,分 別 取 tf=5, 2.5, 3.5,至 3.15時 ,狗 剛 好 追 上 慢 跑 者 . To Matlab(chase3) 建 立 m-文 件 eq4.m如 下 : function dy=eq4(t

24、,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)- y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);取t0=0，tf=10， 建 立 主 程 序chase4.m如 下 ： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq4,t0 tf,0 0); T=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) h

25、old on plot(y(:,1),y(:,2),*) 在chase3.m， 不 斷 修 改 tf的 值 ,分 別 取 tf=20, 40, 80,可 以 看 出 ,狗 永 遠(yuǎn) 追 不 上 慢 跑 者 . To Matlab(chase4) (2) w=5時 返 回 地 中 海 鯊 魚 問 題 意 大 利 生 物 學(xué) 家 Ancona曾 致 力 于 魚 類 種 群 相 互 制 約 關(guān)系 的 研 究 ， 他 從 第 一 次 世 界 大 戰(zhàn) 期 間 ,地 中 海 各 港 口 捕 獲 的幾 種 魚 類 捕 獲 量 百 分 比 的 資 料 中 ， 發(fā) 現(xiàn) 鯊 魚 等 的 比 例 有 明顯 增 加 （

26、 見 下 表 ） ， 而 供 其 捕 食 的 食 用 魚 的 百 分 比 卻 明 顯下 降 .顯 然 戰(zhàn) 爭 使 捕 魚 量 下 降 ， 食 用 魚 增 加 ， 鯊 魚 等 也 隨 之增 加 ， 但 為 何 鯊 魚 的 比 例 大 幅 增 加 呢 ？ 他 無 法 解 釋 這 個 現(xiàn) 象 ， 于 是 求 助 于 著 名 的 意 大 利 數(shù) 學(xué)家 V.Volterra， 希 望 建 立 一 個 食 餌 捕 食 系 統(tǒng) 的 數(shù) 學(xué) 模 型 ，定 量 地 回 答 這 個 問 題 . 年 代 1914 1915 1916 1917 1918 百 分 比 11.9 21.4 22.1 21.2 36.4

27、年 代 1919 1920 1921 1922 1923 百 分 比 27.3 16.0 15.9 14.8 19.7 1 符 號 說 明 ：)(1 tx 食 餌 在 t 時 刻 的 數(shù) 量 ； )(2 tx 捕 食 者 在 t 時 刻 的 數(shù) 量 ；1r 食 餌 獨(dú) 立 生 存 時 的 增 長 率 ； 2r 捕 食 者 獨(dú) 自 存 在 時 的 死 亡 率 ；1 捕 食 者 掠 取 食 餌 的 能 力 ； 2 食 餌 對 捕 食 者 的 供 養(yǎng) 能 力 . e捕 獲 能 力 系 數(shù) 2 基 本 假 設(shè) ： （ 1） 食 餌 由 于 捕 食 者 的 存 在 使 增 長 率 降 低 ， 假 設(shè) 降

28、 低 的 程 度 與 捕 食 者 數(shù) 量 成 正 比 ； （ 2） 捕 食 者 由 于 食 餌 為 它 提 供 食 物 的 作 用 使 其 死 亡 率 降 低 或 使 之 增 長 ， 假 定 增 長 的 程 度 與 食 餌 數(shù) 量 成 正 比 。 3 模 型 建 立 與 求 解 模 型 （ 一 ） 不 考 慮 人 工 捕 獲)( 21111 xrxdtdx )( 12222 xrxdtdx 該 模 型 反 映 了 在 沒 有 人 工 捕 獲 的 自 然 環(huán) 境 中 食 餌 與 捕 食 者 之 間 的 制 約關(guān) 系 ， 沒 有 考 慮 食 餌 和 捕 食 者 自 身 的 阻 滯 作 用 ， 是

29、Volterra提 出 的 最 簡 單 的模 型 . 針 對 一 組 具 體 的 數(shù) 據(jù) 用 Matlab 軟 件 進(jìn) 行 計(jì) 算 . 設(shè) 食 餌 和 捕 食 者 的 初 始 數(shù) 量 分 別 為 101 )0( xx ， 202 )0( xx 對 于 數(shù) 據(jù) 2,25,02.0,5.0,1.0,1 20102211 xxrr ，t 的 終 值 經(jīng) 試 驗(yàn) 后 確 定 為 15， 即 模 型 為 ： 2)0(,25)0( )02.05.0( )1.01( 21 122 211 xx xxx xxx首 先 ， 建 立 m-文 件shier.m如 下 ： function dx=shier(t,x)

30、 dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2); dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);其 次 ， 建 立 主 程 序 shark.m如 下 ： t,x=ode45(shier,0 15,25 2); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*) plot(x(:,1),x(:,2) To Matlab(shark) 相 圖 ),( 21 xx 為 ： 0 5 10 150 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 20 40 60 80 1000 5 10 15 20 25 30 數(shù) 值 解 如 下 圖 ： )(

31、1 tx 為 實(shí) 線 ， )(2 tx 為 “ *” 線 . 求 解 結(jié) 果 ： 左 圖 反 映 了 x 1（ t） 與 x2（ t） 的 關(guān) 系 。 可 以 猜 測 ： x1（ t） 與 x2（ t） 都 是 周 期 函 數(shù) 。 模 型 （ 二 ） 考 慮 人 工 捕 獲 設(shè) 表 示 捕 獲 能 力 的 系 數(shù) 為 e， 相 當(dāng) 于 食 餌 的 自 然 增 長 率由 r1 降 為 r1-e， 捕 食 者 的 死 亡 率 由 r2 增 為 r2+e )( )( 12222 21111 xerxdtdx xerxdtdx 20,250,02.0,5.0,1.0,1 212211 ）（）（仍 取

32、xxrr 設(shè) 戰(zhàn) 前 捕 獲 能 力 系 數(shù) e=0.3, 戰(zhàn) 爭 中 降 為 e=0.1, 則 戰(zhàn) 前 與 戰(zhàn) 爭 中 的 模 型 分 別 為 : 2)0(,25)0( )02.08.0( )1.07.0( 21 122 211 xx xxdtdx xxdtdx 2)0(,25)0( )02.06.0( )1.09.0( 21 122 211 xx xxdtdx xxdtdx 模 型 求 解 :1、 分 別 用 m-文 件 shier1.m和 shier2.m定 義 上 述 兩 個 方 程2、 建 立 主 程 序 shark1.m, 求 解 兩 個 方 程 ， 并 畫 出 兩 種 情 況 下

33、鯊 魚 數(shù) 在 魚 類 總 數(shù) 中 所 占 比 例 x2(t)/x1(t)+x2(t)To Matlab(shark1) 0 5 10 150 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 實(shí) 線 為 戰(zhàn) 前 的 鯊魚 比 例 ， “ *”線 為戰(zhàn) 爭 中 的 鯊 魚 比 例結(jié) 論 ： 戰(zhàn) 爭 中 鯊 魚 的 比 例 比 戰(zhàn) 前 高 ！ 返 回 實(shí) 驗(yàn) 作 業(yè) 1. 一 個 小 孩 借 助 長 度 為 a的 硬 棒 ， 拉 或 推 某 玩 具 .此 小 孩 沿 某 曲線 行 走 ， 計(jì) 算 并 畫 出 玩 具 的 軌 跡 . 2. 討 論 資 金 積 累 、 國 民 收 入 、 與 人 口 增 長 的 關(guān) 系 .（ 1） 若 國 民 平 均 收 入 x與 按 人 口 平 均 資 金 積 累 y成 正 比 ， 說 明僅 當(dāng) 總 資 金 積 累 的 相 對 增 長 率 k大 于 人 口 的 相 對 增 長 率 r時 ， 國民 平 均 收 入 才 是 增 長 的 .（ 2） 作 出 k(x)和 r(x)的 示 意 圖 ， 分 析 人 口 激 增 會 引 起 什 么 后 果 . 返 回