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1、 公 式 求 和對 于 等 差 數 列 和 等 比 數 列 的 前 n項和 可 直 接 用 求 和 公 式 求 數 列 的 前 項 和 .n例 1 1 1 11 ,2 ,3 ,2 4 8解 ： 設 數 列 的 通 項 為 ,na則 12 n na n 1 1 1 1(1 2 3 ) ( )2 4 8 2nn 1 2 31 1 1 1(1 ) (2 ) (3 ) ( )2 4 8 2n n nS a a a a n ( 1) 112 2nn n 2 2 12 2nn n 拆 項 重 組 利 用 轉 化 的 思 想 ,將 數 列拆 分 、 重 組 轉 化 為 等 差 或 等比 數 列 求 和 .

2、求 數 列 1 1 1, , , ,1 2 2 3 ( 1)n n 的 前 項 和 .n例 2 1 1 1( 1) 1 nb n n n n 則解 ： 設 數 列 的 通 項 為 ，nb 1 21 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )1 2 2 3 1n nS b b b n n 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 1n n n 1nn 裂 項 相 消對 于 通 項 型 如 的 數 列 ,在 求 和 時 將 每 項 分 裂 成 兩 項 之 差 的形 式 ,一 般 除 首 末 兩 項 或 附 近 幾 項 外 ,其 余各 項 先 后 抵 消 ,可 較 易 求 出 前 n項 和 . 11n

3、 n na b b (其 中 為 等 差 數 列 ） nb 2( )1nn 變式訓練：（ 1） 求 和 : n+ 321 1321 12111 1 2 1 12( )( 1) ( 1) 12na n n n n n n 1 1 1 1 1 1 12(1 )2 2 3 3 4 11 22(1 )1 1nS n nnn n 1(2 2)n n 2 2 11,(1 2),(1 2 2), ,(1 2 2 2 )n 的 和 。 （ 2） 求 2 1nna 2 31(2 2 2 2 )2(2 1)2 2 nn nnS nnn 分 析 數 列 的 通 項 2nna n 的 前 n項 和 ,可 用是 等 比

4、 數 列 , 如 果 是 等 差 數 列 ,那 么 求 數 列 na nb n na b錯 位 相 減 法 .例 3 求 和 : 2 32 2 2 3 2 2nnS n 例 3 求 和 : 2 32 2 2 3 2 2nnS n 解 ： 2 32 2 2 3 2 2nnS n 2 3 1(2 2 2 2 ) 2n nnS n 2 3 4 12 2 2 2 3 2 ( 1) 2 2n nnS n n 1( 1) 2 2nn 兩 式 相 減 得 1131 2 2( )9 求 2 3 1010 2 2 2 3 2 10 2S 變 式 訓 練 ： 2 3 1010 2 2 2 3 2 10 2S 2

5、3 4 11102 2 2 2 3 2 10 2S 2 3 10 11103 2 2 2 2 10 2S 11 11 112 2 2 31 210 23 3 1110 31 2 29S 方法總結拆項重組裂項相消錯位相減公式求和 對 于 等 差數 列 和 等 比 數列 的 前 n項 和 可直 接 用 求 和 公式 .方法總結公式求和拆項重組裂項相消錯位相減 利 用 轉 化的 思 想 ,將 數 列拆 分 、 重 組 轉化 為 等 差 或 等比 數 列 求 和 .拆項重組裂項相消方法總結公式求和錯位相減 方法總結公式求和拆項重組裂項相消錯位相減對 于 通 項 型 如 的 數 列 ,在 求 和 時 將

6、 每 項分 裂 成 兩 項 之 差 的 形 式 ,一 般 除 首 末 兩 項 或 附 近幾 項 外 ,其 余 各 項 先 后 抵消 ,可 較 易 求 出 前 n項 和 . 11 nnn bba(其 中 為 等 差 數 列 ） nb 是 等 比 數 列 ,的 前 n項 和 ,可 用 錯 位相 減 法 . 如 果 是 等 差 數 列 ,那 么 求 數 列 na nb nn ba 方法總結公式求和拆項重組裂項相消錯位相減 ( )2 1nn鞏固練習：1 1 1, , ,1 3 3 5 5 7 求 的 前 n項 和 1 1 1 1 1 1 1( )2 1 3 3 5 2 1 2 11 1(1 )2 2

7、1 2 1nS n nnn n 10(10 )9( )1n n 9,99,999, 求 數 列 n的 前 項 和 10 1nna 10(1 10 ) 10(10 1)1 10 9n nnS n n 思 考 題 ：求 數 列2 2 2 21 1 1 1, , , ,1 2 2 4 3 6 4 8 的 前 n項 和3 2 3 4 2( 1)( 2)n nS n n 2 1 1 1 1 1( )2 ( 2) 2 2na n n n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1(1 )2 3 2 4 3 5 21 1 1 1 3 2 3(1 )2 2 1 2 4 2( 1)( 2)nS n nnn n n n