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1、 1 一 致 收 斂 性 三 、 函 數(shù) 項 級 數(shù) 的 一 致 收 斂 判 別 法 對 于 一 般 項 是 函 數(shù) 的 無 窮 級 數(shù) ， 其 收 斂 性要 比 數(shù) 項 級 數(shù) 復(fù) 雜 得 多 ， 特 別 是 有 關(guān) 一 致 收斂 的 內(nèi) 容 就 更 為 豐 富 ， 它 在 理 論 和 應(yīng) 用 上 有著 重 要 的 地 位 .一 、 函 數(shù) 列 及 其 一 致 收 斂 性 二 、 函 數(shù) 項 級 數(shù) 及 其 一 致 收 斂 性 一 、 函 數(shù) 列 及 其 一 致 收 斂 性 設(shè) 1 2, , , , (1) nf f f是 一 列 定 義 在 同 一 數(shù) 集 E 上 的 函 數(shù) ,稱 為 定

2、 義 在 E 上 的 函 數(shù) 列 . (1) 也 可 記 為 , 1,2, .n nf f n或以 0 x E 代 入 (1), 可 得 數(shù) 列 1 0 2 0 0( ), ( ), , ( ), . (2) nf x f x f x 0 x 0 x如 果 數(shù) 列 (2)收 斂 , 則 稱 函 數(shù) 列 (1)在 點 收 斂 , 稱 為 函 數(shù) 列 (1)的 收 斂 點 . 如 果 數(shù) 列 (2)發(fā) 散 , 則 稱 函 數(shù) 列 (1)在 點 0 x 發(fā) 散 . 當 函 數(shù) 列 (1)在 數(shù) 集 上 每 一 D E點 都 收 斂 時 , 就 稱 (1)在 數(shù) 集 D 上 收 斂 . 這 時 D 上

3、 每 x ( )nf x一 點 都 有 數(shù) 列 的 一 個 極 限 值 與 之 相 對 應(yīng) , 根 據(jù) 這 個 對 應(yīng) 法 則 所 確 定 的 D 上 的 函 數(shù) , 稱 為 函 數(shù) 列 (1)的 極 限 函 數(shù) . 若 將 此 極 限 函 數(shù) 記 作 f, 則 有l(wèi)im ( ) ( ),nn f x f x x D 或 ( ) ( ) ( ), .nf x f x n x D N x D函 數(shù) 列 極 限 的 定 義 : 對 每 一 固 定 的 , 任 , 總 存 在 正 數(shù) N(注 意 : 一 般 說 來 N值 與給 正 數(shù) 和 , x)表 示 三 者 之 間 的 值 都 有 關(guān) , 所

4、以 有 時 也 用 N(x 的 依 賴 關(guān) 系 ), 使 當 n N 時 , 總 有 | ( ) ( )| .nf x f x 使 函 數(shù) 列 nf 收 斂 的 全 體 收 斂 點 集 合 , 稱 為 函 數(shù) 列 nf 的 收 斂 域 . 例 1 ( ) , 1,2, ,nnf x x n 設(shè) 為 定 義 在 (- )上 的 函 數(shù) 列 , 證 明 它 的 收 斂 域 是 ( 1,1 , 且 有 極 限 函 數(shù) 0, | | 1,( ) 1, 1.xf x x 證 0( 1), 0 | | 1 ,x 任 給 不 妨 設(shè) 當 時 由 于 | ( ) ( )| | |,nnf x f x x ln

5、( , ) , ( , )ln| |N x n N xx 只 要 取 當 時 ,就 有| ( ) ( )| | | | | .n Nnf x f x x x 0 1 , ,x x n 當 和 時 則 對 任 何 正 整 數(shù) 都 有| (0) (0)| 0nf f ， | (1) (1)| 0 .nf f 式 所 表 示 的 函 數(shù) . | | 1 | | ( ),nx x n當 時 , 有 1 ,x當 時又 1,1, 1,1 , 對 應(yīng) 的 數(shù) 列 為 顯 然 是 發(fā) 散 的 . 所 以 nx ( 1,1函 數(shù) 列 在 區(qū) 間 外 都 是 發(fā) 散 的 . 故 所 討 論的 函 數(shù) 列 的 收

6、斂 域 是 ( 1,1.這 就 證 明 了 在 ( , 1 上 收 斂 , 且 極 限 就 是 (3) nf 1 例 2 sin( , ) ( ) ,n nxf x n 定 義 在 上 的 函 數(shù) 列1,2, .n sin 1,nxn n 10, ,n N 故 對 任 給 的 只 要 就 有 sin 0 .nxn ,x由 于 對 任 何 實 數(shù) 都 有 所 以 函 數(shù) 列 sin ( , ),nx n 的 收 斂 域 為 極 限( ) 0.f x 函 數(shù) 為注 對 于 函 數(shù) 列 , 僅 停 留 在 討 論 在 哪 些 點 上 收 斂 是 遠 遠 不 夠 的 ， 重 要 的 是 要 研 究 極

7、 限 函 數(shù) 與 函 數(shù) 列 所 具 有 的 解 析 性 質(zhì) 的 關(guān) 系 . 例 如 , 能 否 由 函 數(shù) 列 每 項 的 連 續(xù) 性 、 可 導(dǎo) 性 來 判 斷 出 極 限 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 和 可 導(dǎo) 性 ; 或 極 限 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 或 積 分 , 是 否 分 別 是 函 數(shù) 列 每 項 導(dǎo) 數(shù) 或 積 分 的 極 限 . 對 這 些 更 深 刻 問 題 的 討 論 , 必 須 對 它 在 D上 的 收 斂 性 提 出 更 高 的 要 求 才 行 . 設(shè) 函 數(shù) 列 nf f與 函 數(shù) 定 義 在 同 一 D定 義 1 數(shù) 集上 ， , ,N若 對 任 給 的 正 數(shù) 總

8、存 在 某 一 正 整 數(shù) 使 當 n N ,x D對 一 切 都 有時 ， | ( ) ( )|nf x f x ， nf D f則 稱 函 數(shù) 列 在 上 一 致 收 斂 于 ,記 作( ) ( )( ), .nf x f x n x D 由 定 義 看 到 , 一 致 收 斂 就 是 對 D 上 任 何 一 點 , 函 數(shù) 列 趨 于 極 限 函 數(shù) 的 速 度 是 “ 一 致 ” 的 . 這 種 一 致 性 體 現(xiàn) ( ).N 顯 然 , 若 函 數(shù) 列 nf 在 D 上 一 致 收 斂 , 則 必 在 D 上每 一 點 都 收 斂 . 反 之 , 在 D 上 每 一 點 都 收 斂

9、的 函 數(shù) 列 , 它 在 D 上 不 一 定 一 致 收 斂 . 為 : 與 相 對 應(yīng) 的 N 僅 與 有 關(guān) , 而 與 x 在 D 上 的 取 值 無 關(guān) , 因 而 把 這 個 對 所 有 x 都 適 用 的 N 寫 作 例 2 中 的 函 數(shù) 列 sinnxn 是 一 致 收 斂 的 , 因 為 對 任 意 , x正 數(shù) 不 論 (- ,+ ) 給 定 的 取 上 什 么 值 , 都 有 N 1 ,n N當 時 恒 有 sinnxn , , 所 以 函 數(shù) 列 sin ( ) 0nx f xn 在 (- ,+ )上 一 致 收 斂 于 .在 D 上 不 一 致 收 斂 于 f 的

10、正 面 陳 述 是 : nf函 數(shù) 列存 在 某 正 數(shù) 0, 對 任 何 正 數(shù) N, 都 有 某 一 點 0 x D 和0 0 x n與 的 取 值 與 N 有 關(guān) ), ( 注 意 : 0n N某 一 正 整 數(shù)使 得 0 0 0 0( ) ( ) .nf x f x (0,1) 0.nx 在 上 不 可 能 一 致 收 斂 于由 例 1 中 知 道 , 下 面 來 證 明 這 個 結(jié) 論 . 事 實 上 , 若 取 0 1, 2,2 N 對 任 何 正 整 數(shù) 取 正 整10 0 11 (0, 1),Nn N x N 數(shù) 及 就 有 00 1 10 1 .2nx N nf f函 數(shù) 列

11、 一 致 收 斂 于 的 幾 何 意 義 :如 圖 所 示 ,號 大 于 N 的 所 有 曲 線( )y f x 都 落 在 曲 線與 ( )y f x 所 夾 的 帶狀 區(qū) 域 之 內(nèi) .( ) ( ),ny f x n N 0 0,N , 對 于 序 Oy x( )y f x ( )ny f xba ( )y f x ( )y f x 圖 13-1 (0,1)nx函 數(shù) 列 在 區(qū) 間 上,不 一 致 收 斂 從 幾 何 意 義 上 看 , 就 是 存 在 某 個 預(yù) 先 給 定 的 (0, 存 在 正 數(shù) N, 使 得 當 n N 時 , 對 一 切 ,x D 都 有 | ( ) ( )

12、| . (5)2nf x f x ,n m N于 是 當 ,由 (5)得| ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( ) ( )|n m n mf x f x f x f x f x f x .2 2 充 分 性 若 條 件 (4) 成 立 , 由 數(shù) 列 收 斂 的 柯 西 準 則 , ( ),f x在 D上 任 一 點 都 收 斂 , 記 其 極 限 函 數(shù) 為 nf . (4) , , ,x D n m n N現(xiàn) 固 定 式 中 的 讓 于 是 當 時x D對 一 切 都 有 | ( ) ( )| .nf x f x 由 定 義 1知 , 根 據(jù) 一 致 收 斂 定 義 可 推 出

13、 下 述 定 理 :定 理 13.2（ 余 項 準 則 ） nf D函 數(shù) 列 在 區(qū) 間 上 一 致 收 斂 于 f 的 充 分 必 要 條 件 是 : limsup| ( ) ( )| 0. (6)nn x D f x f x , 當 , 存 在 不 依 賴 于 x N任 給 的 正 數(shù) 的 正 整 數(shù)( ) ( ) ( ), .nf x f x n x D 證 必 要 性 ( ) ( ) ( ), .nf x f x n x D若 則 對 由 上 確 界 的 定 義 , 對 所 有 n N , 也 有sup| ( ) ( )| .nx D f x f x 這 就 得 到 了 (6)式 .

14、充 分 性 由 假 設(shè) , 對 任 給 0, 存 在 正 整 數(shù) N, 使 得 n N當 時 ,有 sup| ( ) ( )| . (7)nx D f x f x ,x D因 為 對 一 切 總 有有 | ( ) ( )| , .nf x f x x D n N 時 , | ( ) ( )| sup| ( ) ( )|.n nx Df x f x f x f x .f一 致 收 斂 于注 柯 西 準 則 的 特 點 是 不 需 要 知 道 極 限 函 數(shù) 是 什 么 , 只 是 根 據(jù) 函 數(shù) 列 本 身 的 特 性 來 判 斷 函 數(shù) 列 是 否 一 致 收 斂 , 而 使 用 余 項 準

15、則 需 要 知 道 極 限 函 數(shù) , 但 使 用 較 為 方 便 . 如 例 2, 由 于 ( , ) sin 1lim sup 0 lim 0,n nx nxn n sin( , ) , 0 ( ).nx nn所 以 在 上故 由 (7) 式 得 ( ) ( ) ,n nf x f x f D 于 是 在 上 例 3 定 義 在 0,1上 的 函 數(shù) 列2 2 12 , 0 ,21 1( ) 2 2 , , 1,2, , (8)210, 1,n n x x nf x n n x x nn nxn (0) 0,nf由 于 (0)f故 lim (0) 0.nn f 0 1 ,x當 時 1,n

16、x只 要 就 有 ( ) 0,nf x (0,1故 在 上 有 ( ) lim ( ) 0.nnf x f x 1,2,3n其 中 的 圖像 如 圖 13-3 所 示 . (8) 0,1于 是 在 上 的 極 限 函 數(shù) ( ) 0.f x 為 又 由 于0,1 1sup ( ) ( ) ( ),2n nx f x f x f n nn 所 以 函 數(shù) 列 (8) 在 0,1上 不 一 致 收 斂 .13 3圖 ( )f x 11f2f3f 121316 14213 xyO 例 4 討 論 函 數(shù) 例 2 22 ( ) e , 0,1n xnf x n x x 的 一 致 收 斂 性 . 解

17、為 了 使 用 余 項 準 則 , 首 先 求 出 函 數(shù) 列 的 極 限 函 數(shù) . 易 見 2 22( ) lim ( ) lim e 0, 0,1,n xnn nf x f x n x x 于 是 2 22| ( ) (0)| e .n xnf x f n x 2 22 e n xn x 0,1容 易 驗 證 在 上 只 有 惟 一 的 極 大 值 點 0 12x n , 因 此 為 最 大 值 點 . 于 是 12sup| ( ) ( )| e2n nf x f x 根 據(jù) 余 項 準 則 知 該 函 數(shù) 列 在 0,1上 不 一 致 收 斂 .注 2 22 ( ) e n xnf x

18、 n x 不 一 致 收 斂 是 因 為 函 數(shù) 列 余 的 增 大 一 致 趨 于 零 0 x n項 的 數(shù) 值 在 附 近 不 能 隨(見 圖 13-4), 因 此 對 任 何 不 含 原 點 的 區(qū) 間 ,1(0a a2 22 ( ) e n xnf x n x 在 該 區(qū) 間 上 一 致 收 斂 于 零 . 1), 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 圖 13 4 二 、 函 數(shù) 項 級 數(shù) 及 其 一 致 收 斂 性 ( )nu x E設(shè) 是 定

19、 義 在 數(shù) 集 上 的 一 個 函 數(shù) 列 ,表 達 式1 2( ) ( ) ( ) , (9)nu x u x u x x E 稱 為 定 義 在 E上 的 函 數(shù) 項 級 數(shù) , 1 ( )nn u x簡 記 為 或( ).nu x 稱 1( ) ( ), , 1,2, (10)nn kkS x u x x E n 為 函 數(shù) 項 級 數(shù) (9)的 部 分 和 函 數(shù) 列 . 0 ,x E若 數(shù) 項 級 數(shù)1 0 2 0 0( ) ( ) ( ) (11)nu x u x u x 0 01( ) ( )nn kkS x u x n收 斂 , 即 部 分 和 當 時 極 限 0 x 0 x

20、存 在 , 則 稱 級 數(shù) (9)在 點 收 斂 , 稱 為 級 數(shù) (9)的 收 斂 點 . 若 級 數(shù) (11)發(fā) 散 , 則 稱 級 數(shù) (9)在 點 0 x 發(fā) 散 . 若 級 數(shù) (9)在 E 的 某 個 子 集 D 上 每 點 都 收 斂 , 則 稱 級 數(shù) (9)在 D 上 收 斂 . 若 D 為 級 數(shù) (9)全 體 收 斂 點 的 集 合 , 這 時 就 稱 D為 級 數(shù) (9)的 收 斂 域 . 級 數(shù) (9)在 D上 每 一 點 x 與 其 所 對 應(yīng) 的 數(shù) 項 級 數(shù) (11)的 和 ( )S x 構(gòu) 成 一 個 定 義 在 D 上 的 函 數(shù) , 稱 為 級 數(shù) (

21、9)的 和 函 數(shù) , 并 記 作 1 2( ) ( ) ( ) ( ), ,nu x u x u x S x x D 即 lim ( ) ( ), .nn S x S x x D 也 就 是 說 , 函 數(shù) 項 級 數(shù) (9)的 收 斂 性 就 是 指 它 的 部 分 和 函 數(shù) 列 (10)的 收 斂 性 . 例 5 ( , ) 定 義 在 上 的 函 數(shù) 項 級 數(shù) (幾 何 級 數(shù) )21 , (12)nx x x 1( ) . | | 11 nn xS x xx 的 部 分 和 函 數(shù) 為 當 時 ,1( ) lim ( ) .1nnS x S x x 1(12) ( 1,1) (

22、) ;1S x x 所 以 幾 何 級 數(shù) 在 收 斂 于| | 1 , .x 當 時 幾 何 級 數(shù) 是 發(fā) 散 的 定 義 2 ( ) ( )n nS x u x設(shè) 是 函 數(shù) 項 級 數(shù) 的 部 分 和. ( ) ( ),nS x D S x函 數(shù) 列 若 在 數(shù) 集 上 一 致 收 斂 于 則 稱( ) ( ),nu x D S x函 數(shù) 項 級 數(shù) 在 上 一 致 收 斂 于 函 數(shù)( ) .nu x D或 稱 在 上 一 致 收 斂由 于 函 數(shù) 項 級 數(shù) 的 一 致 收 斂 性 是 由 它 的 部 分 和 函 數(shù) 列 來 確 定 , 所 以 得 到 的 有 關(guān) 函 數(shù) 項 級

23、數(shù) 的 定 理 . 定 理 13.3 ( 一 致 收 斂 的 柯 西 準 則 ) 函 數(shù) 項 級 數(shù) ( )nu x 在 數(shù) 集 D 上 一 致 收 斂 的 充 要 條 件 為 : 對 任 , 存 在 正 整 數(shù) N ,n N 時給 的 正 數(shù) ， 使 當 對 一 切 x D ,p一 切 正 整 數(shù) 都 有和 | ( ) ( )| ,n p nS x S x 或 1 2| ( ) ( ) ( )| .n n n pu x u x u x 此 定 理 中 當 p=1 時 , 得 到 函 數(shù) 項 級 數(shù) 一 致 收 斂 的 一 個 必 要 條 件 . 推 論 (函 數(shù) 項 級 數(shù) 一 致 收 斂

24、的 必 要 條 件 ) 函 數(shù) 項 級 數(shù) ( )nu x D在 數(shù) 集 上 一 致 收 斂 的 必 要 條 件 是 函 數(shù) ( )nu x D列 在 上 一 致 收 斂 于 零 . ( ) ( ),nu x D S x設(shè) 函 數(shù) 項 級 數(shù) 在 上 的 和 函 數(shù) 為 稱( ) ( ) ( )n nR x S x S x ( ) .nu x為 函 數(shù) 項 級 數(shù) 的 余 項定 理 13.4 (余 項 法 則 ) 函 數(shù) 項 級 數(shù) ( )nu x 在 數(shù) 集 D 一 致 收 ( )S x斂 于 的 充 要 條 件 是limsup| ( )| limsup| ( ) ( )| 0.n nn n

25、x D x DR x S x S x 0 , , ( 1)nn x a a a 我 們 再 來 看 例 4中 的 級 數(shù) 若 僅 在上 討 論 , 則 由 , , sup | ( ) ( )| sup 1 nnx a a x a a xS x S x x 0 ( )1 na na0 , ( 1,1)nn x a a可 得 級 數(shù) 在 上 一 致 收 斂 .若 在 上 討 論 這 個 級 數(shù) , 則 由 ( 1,1) ( 1,1)sup | ( ) ( )| sup 11 11 nnnx x x n nS x S x n nx 1 ( )1 nnn nn 0 ( 1,1)nn x 知 道 級 數(shù)

26、 在 內(nèi) 不 一 致 收 斂 .20 (1 )nn x x 0,1例 6 討 論 函 數(shù) 項 級 數(shù) 在 上 一 致 收 斂 性 . 2 10( ) (1 ) (1 )(1 )n k nn kS x x x x x 所 以 ( ) lim ( ) (1 ) 0,1.nnS x S x x x ，于 是 | ( ) ( )| (1 ), 0,1,nnS x S x x x x 由 1( (1 ) ( 1) 0n n nx x nx n x 解 得 最 大 值 點 0 1nx n , 故 0 x (1) 0nS 0 1x 解 當 時 , ; 當 時 0,1sup | ( ) ( )|nx S x

27、S x 因 此 20 (1 )nn x x 在0,1上 一 致 收 斂 .注 當 和 函 數(shù) 容 易 求 出 時 , 余 項 準 則 是 比 較 好 用 的 一 種 判 別 方 法 . 1 01 1nnn n 0n1n2n ( ) 1S x x ( ) ( )( )11 1nnS x x x xy 0.5 10.20.40.60.81O 圖 13 - 5 三 、 函 數(shù) 項 級 數(shù) 的 一 致 收 斂 判 別 法判 別 函 數(shù) 項 級 數(shù) 的 一 致 收 斂 性 除 了 根 據(jù) 定 義 、 柯 西 準 則 或 余 項 準 則 外 , 有 些 級 數(shù) 還 可 以 根 據(jù) 級 數(shù) 一 般 項 的

28、某 些 特 性 來 判 別 . 定 理 13.5 (魏 爾 斯 特 拉 斯 判 別 法 ， 或 優(yōu) 級 數(shù) 判 別 法 ) ( ) ,nu x D定 義 在 數(shù) 集 上 nM設(shè) 函 數(shù) 項 級 數(shù) 為 收 斂 的 正 項 級 數(shù) ， ,x D若 對 一 切 有| ( )| , 1,2, , (13)n nu x M n ( )nu x D則 函 數(shù) 項 級 數(shù) 在 上 一 致 收 斂 . 證 ,nM由 假 設(shè) 正 項 級 數(shù) 收 斂 根 據(jù) 數(shù) 項 級 數(shù) 的 柯, 存 在 某 正 整 數(shù) N, 使 得 當 n N 西 準 則 , 任 給 正 數(shù) 及 任 何 正 整 數(shù) p, 有 1 1| |

29、 .n n p n n pM M M M (13) x D又 由 式 對 一 切 有1 1| ( ) ( )| | ( )| | ( )|n n p n n pu x u x u x u x 根 據(jù) 函 數(shù) 項 級 數(shù) 一 致 收 斂 的 柯 西 準 則 , 級 數(shù) ( )nu x在 D 上 一 致 收 斂 . 1 .n n pM M 例 7 函 數(shù) 項 級 數(shù) 2 2sin cos,nx nxn n ( , ) ( , )x在 上 一 致 收 斂 .因 為 對 一 切 有 2 2 2 2sin 1 cos 1, ,nx nxn n n n 21 .n而 正 項 級 數(shù) 是 收 斂 的當 級

30、數(shù) ( ) , n nu x M a b與 級 數(shù) 在 區(qū) 間 上 成 立 關(guān) nM , a b系 式 (13)時 , 則 稱 級 數(shù) 在 區(qū) 間 上 優(yōu) 于 級 ( )nu x ( )n nM u x為 數(shù) , 或 稱 的 優(yōu) 級 數(shù) . 優(yōu) 級 數(shù) 判 別 法 也 稱 為 M 判 別 法 . 利 用 阿 貝 爾 分 部 求 和 公 式 (第 十 二 章 3的 引 理 ), 可 以 得 到 與 數(shù) 項 級 數(shù) 相 似 的 判 別 函 數(shù) 項 級 數(shù) 一 致 收 斂 的 阿 貝 爾 判 別 法 和 狄 利 克 雷 判 別 法 . 設(shè) 有 定 義 在 區(qū) 間 I上 形 如1 1 2 2( ) (

31、 ) ( ) ( ) ( ) ( )n nu x v x u x v x u x v x 的 函 數(shù) 項 級 數(shù) . 對 級 數(shù) (14)有 : ( ) ( ) (14)n nu x v x 定 理 13.6(阿 貝 耳 判 別 法 )設(shè) (i) ( ) ;nu x I在 區(qū) 間 上 一 致 收 斂(ii) , ( ) ;nx I v x對 于 每 一 個 是 單 調(diào) 的(iii) ( ) ,nv x I x I在 上 一 致 有 界 即 對 一 切 和 正 整數(shù) , 存 在 正 數(shù) M, 使 得 n | ( )| ,nv x M則 級 數(shù) (14)在 I 上 一 致 收 斂 . 1 2| (

32、 ) ( ) ( )|n n n pu x u x u x 又 由 (ii),(iii)及 阿 貝 耳 引 理 (第 十 二 章 3的 引 理 的 推 論 )得 到 1 1| ( ) ( ) ( ) ( )|n n n p n pu x v x u x v x 由 函 數(shù) 項 級 數(shù) 一 致 收 斂 性 的 柯 西 準 則 , 得 級 數(shù) (14) 在 I 上 一 致 收 斂 . 1(| ( )| 2| ( )|) 3 .n n pv x v x M 證 (i), 0, ,N n N由 任 給 存 在 某 正 數(shù) 使 得 當 及 , ,p x I任 何 正 整 數(shù) 對 一 切 有 定 理 13

33、.7 (狄 利 克 雷 判 別 法 ) 設(shè)(i) ( )nu x 的 部 分 和 數(shù) 列 1( ) ( ) ( 1,2, )nn kkU x u x n 在 I 上 一 致 有 界 ;(ii) , ( ) ;nx I v x對 于 每 一 個 是 單 調(diào) 的 (iii) ( ) 0( ),nI v x n在 上則 級 數(shù) (14)在 I上 一 致 收 斂 . | ( )| .nU x M證 由 (i), 存 在 正 數(shù) M, 對 一 切 x I, 有 因 此 當 n, p 為 任 何 正 整 數(shù) 時 , 1 2| ( ) ( ) ( )| | ( ) ( )| 2 .n n n p n p n

34、u x u x u x U x U x M 對 任 何 一 個 x I, 再 由 (ii)及 阿 貝 耳 引 理 得 到 1 1| ( ) ( ) ( ) ( )|n n n p n pu x v x u x v x 0, 存 在 正 數(shù) N, 當 nN 時 , 對 再 由 (iii), 對 任 給 的 一 切 x I, 有 | ( )| ,nv x 所 以 12 (| ( )| 2| ( )|).n n pM v x v x 1 1| ( ) ( ) ( ) ( )|n n n p n pu x v x u x v x 2 ( 2 ) 6 .M M 于 是 由 一 致 收 斂 性 的 柯 西

35、 準 則 , 級 數(shù) (14)在 I上 一 致 收 斂 . 例 8 函 數(shù) 項 級 數(shù) 11( 1) ( )n nnn x nn 在 0, 1上 一 致 收 斂 .( 1)( ) , ( ) 1 nnn n xu x v xn n記 nu,于 是 在 0, 1 上 一 致 收 斂 ， ( )nv x 在 0,1上 單 調(diào) 增 且 一 致 有 界 , 由 阿 貝 耳 判 別 法 就 能 得 到 結(jié) 果 . cos (15)na nx ,2 (0 ) 在 上 一 致 收 斂 .證 由 第 十 二 章 3(21)式 , 在 , 2-上 有1 1sin( ) 12| cos | 22sin2nk n

36、xkx x 例 9 若 數(shù) 列 單 調(diào) 且 收 斂 于 零 , 則 級 數(shù) na 1 1 1 1,2 22sin2sin 22x cos ,2 nx 所 以 級 數(shù) 的 部 分 和 數(shù) 列 在 上 一致 有 界 , 于 是 令 ( ) cos , ( ) ,n n nu x nx v x a 一 致 收 斂 . 則 由 狄 利 克 雷 判 別 法 可 得 級 數(shù) (15)在 上 ,2 注 對 于 例 7中 的 級 數(shù) (15), 只 要 單 調(diào) 且 收 斂 于 零 , na 閉 區(qū) 間 上 一 致 收 斂 . 1( )u t , a b例 10 設(shè) 在 上 可 積 , 1( ) ( )d ,

37、1,2, ,xn nau x u t t n 11 ( )nn u x , a b證 明 函 數(shù) 項 級 數(shù) 在 上 一 致 收 斂 . 1( )u t , a b 0M 證 因 為 在 上 可 積 , 所 以 存 在 , 使 得 1| ( )|u x M , 于 是 有 2 1| ( )| | ( )|d ( ),xau x u t t M x a 級 數(shù) (15)就 在 不 包 含 的 任 何2 ( 0, 1, 2, )k k 23 2 ( )| ( )| | ( )|d ( )d ,2!x xa a x au x u t t M x a t M 由 數(shù) 學 歸 納 法 容 易 得 到 1

38、1 1| ( )| | ( )|d ( ) d! nx xn na au x u t t M x a tn 因 為 數(shù) 項 級 數(shù) 1 ( )! nn b aM n 收 斂 , 所 以 根 據(jù) 優(yōu) 級 數(shù) 判 別 法 知 原 級 數(shù) 在 , a b 上 一 致 收 斂 .( ) ( ) .! !n nx a b aM Mn n 復(fù) 習 思 考 題 1. 總 結(jié) 函 數(shù) 列 和 函 數(shù) 項 級 數(shù) 一 致 收 斂 的 判 別 方 法 (不 局 限 于 書 上 現(xiàn) 成 的 判 別 法 ); 判 別 不 一 致 收 斂 通常 可 以 使 用 哪 些 方 法 呢 ？ 2 給 出 函 數(shù) 項 級 數(shù) 在 D上 不 一 致 收 斂 的 柯 西 準 則 (即 柯 西 收 斂 準 則 的 否 定 形 式 ).