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1、 《解二元一次方程組》教學設計 一．教學目標 (一)教學知識點 1. 代入消元法解二元一次方程組 . 2. 解二元一次方程組時的“消元”思想，“化未知為已知”的化歸思 想 . (二)能力訓練要求 1. 會用代入消元法解二元一次方程組 . 2. 了解解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會數(shù)學研究中“化未知為已知”的化歸思想. (三)情感與價值觀要求 1. 在學生了解二元一次方程組的“消元”思想，從而初步理解化“未知”為“已知”和化復雜問題為簡單問題的化歸思想中，享受學習數(shù)學的樂趣，提高學習數(shù)學的信心 . 2

2、. 培養(yǎng)學生合作交流，自主探索的良好習慣 . 二．教學重點 1. 會用代入消元法解二元一次方程組 . 2. 了解解二元一次方程組的“消元”思想，初步體現(xiàn)數(shù)學研究中“化未知為已知”的化歸思想. 三．教學難點 1. “消元”的思想. 2. “化未知為已知”的化歸思想. 四．教學方法 啟發(fā)——自主探索相結(jié)合 教師引導學生回憶一元一次方程解決實 際問題的方法并從中啟 發(fā)學生如果能將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程 .二元一次方程便可獲解，從而通過學生自主探索總結(jié)用代入消元法解二元一次方程組的步驟 . 五．教具準備

3、 投影片兩張： 第一張：例題 (記作7.2 A) ； 第二張：問題串 (記作7.2 B). 六．教學過程 Ⅰ.提出疑問，引入新課 ［師生共憶］上節(jié)課我們討論過一個“希望工程”義演的問題；沒 去觀看義演的成人有 x 個，兒童有 y 個，我們得到 了方程組 x y 8, 5x 3 y 34. 成人和兒童到底去了多少人呢？ ［生］在上一節(jié)課的“做一做”中，我們通過檢驗 x 5 是不是方程 y 3 x+y=8 和方程 5x+3y=

4、34 ，得知這個解既是x+y=8 的解，也是 5x+ 3y=34 的解，根據(jù)二元一次方程組解的定義得出 x 5 是方程組 x y 8 y 3 的解 .所以成人和兒童分別去了 5 個人和 3 個人 . 5x 3 y 34 ［師］但是，這個解是試出來的 .我們知道二元一次方程的解有 無數(shù)個 .難道我們每個方程組的解都去這樣試？ ［生］太麻煩啦 . ［生］不可能 . ［師］這就需要我們學習二元一次方程組的解法 . Ⅱ.講授新課 ［師］在七年級第

5、一學期我們學過一元一次方程， 也曾碰到過“希 望工程”義演問題，當時是如何解的呢？ ［生］解：設成人去了 x 個，兒童去了 (8－x)個，根據(jù)題意，得： 5x+3(8 －x)=34 解得 x=5 將 x=5 代入 8－x=8－5=3 答：成人去了 5 個，兒童去了 3 個. ［師］同學們可以比較一下： 列二元一次方程組和列一元一次方 程設未知數(shù)有何不同？列出的方程和方程組又有何聯(lián)系？對你解二 元一次方程組有何啟示？ ［生］列二元一次方程組設出有兩個未知數(shù)成人去了 x 個，兒童 去了 y 個.列一元一次方程設

6、成人去了 x 個，兒童去了 (8 －x)個.y 應該 等于 (8－x).而由二元一次方程組的一個方程 x+y=8 根據(jù)等式的性質(zhì) 可以 推出 y=8－x. ［生］我還發(fā)現(xiàn)一元一次方程中 5x+3(8 －x)=34 與方程組中的第 二個方程 5x+3y=34 相比較，把 5x+3y=34 中的“y”用8“－x”代替就轉(zhuǎn) 化成了一元一次方程 . ［師］太好了 .我們發(fā)現(xiàn)了新舊知識之間的聯(lián)系，便可尋求到解 決新問題的方法——即將新知識轉(zhuǎn)化為舊知識便可 .如何轉(zhuǎn)化呢？ ［生］上一節(jié)課我們就已知道方程組的兩個未知數(shù)所包含的意義 ① x y 8

7、中的①變形，得 y=8－x ③我 是相同的 .所以將 ② 5x 3y 34 們把 y=8－x 代入方程②，即將②中的 y 用 8－x 代替，這樣就有 5x+3(8 －x)=34. “二元”化成“一.元” ［師］這位同學很善于思考 .他用了我們在數(shù)學研究中“化未知為 已知”的化歸思想，從而使問題得到解決 .下面我們完整地解一下這個 二元一次方程組 . 解： x y 8 ① 5x 3 y 34 由①得 y=8－x ② ③ 將③代入②得 5x+3(8 －x)=34 解得 x=5 把 x=5 代入

8、③得 y=3. x 5 所以原方程組的解為 y 3. 下面我們試著用這種方法來解答上一節(jié)的“誰的包裹多”的問題 ［師生共析］解二元一次方程組： x y 2 ① x 1 2( y 1) ② 分析：我們解二元一次方程組的第一步需將其中的一個方程變形 用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)， 把表示了的未知數(shù)代入 未變形的方程中，從而將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程 . 解：由①得 x=2+ y ③ 將③代入②得 (2+y)+1=2( y－1) 解得 y=5 把 y=5 代入③，

9、得 x=7. 所以原方程組的解為 x 7 即老牛馱了 7 個包裹，小馬馱了 5 個 y 5 包裹 . ［師］在解上面兩個二元一次方程組時， 我們都是將其中的一個方程變形，即用其中一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)， 然后代入第二個未變形的方程，從而由“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”而得到消元的目 的 .我們將這種方法叫代入消元法 .這種解二元一次方程組的思想為消元思想 .我們再來看兩個例子 . 出示投影片 (7.2 A) ［例題］解方程組 3x 2 y 8 (1) y 3 ① x 3 y 16 ① 2

10、x (2) 2 ② x 4y 13 ② (由學生自己完成，兩個同學板演 ). 解： (1)將②代入①，得 3y 3 +2y=8 2 3y+9+4 y=16 7y=7 y=1 將 y=1 代入②，得 x=2[ 來 所以原方程組的解是  x 2 y 1 (2) 由②，得 x=13 －4y ③ 將③代入①，得 2(13 －4y)+3y=16 － 5y=－10

11、 y=2 將 y=2 代入③，得 x=5 所以原方程組的解是  x 5 y 2. ［師］下面我們來討論幾個問題： 出示投影片 (7.2 B) (1)上面解方程組的基本思路是什么？ (2)主要步驟有哪些？ (3)我們觀察例 1 和例 2 的解法會發(fā)現(xiàn)，我們在解方程組之前，首先要觀察方程組中未知數(shù)的特點， 盡可能地選擇變形后的方程較簡單和代入后化簡比較容易的方程變形，這是關(guān)鍵的一步 .你認為選擇未知數(shù)有何特點的方程變形好呢？

12、 (由學生分組討論，教師深入?yún)⑴c到學生討論中，發(fā)現(xiàn)學生在自主探索、討論過程中的獨特想法 ) ［生］我來回答第一問：解二元一次方程組的基本思路是消元，把“二元”變?yōu)椤耙?元” ［生］我們組總結(jié)了一下解上述方程組的步驟：第一步：在已知方程組的兩個方程中選擇一個適當?shù)姆匠蹋?把它變形為用一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù) . 第二步：把表示另一個未知數(shù)的代數(shù)式代入沒有變形的另一個方程，可得一個一元一次方程 . 第三步：解這個一元一次方程，得到一個未知數(shù)的值 . 第四步：把求得的未知數(shù)的值代回到原方程組中的任意一個方程或變形后的方程 (一般代入變形后的方程 )，求得另

13、一個未知數(shù)的值 . 第五步：用“{”把原方程組的解表示出來. 第六步：檢驗 (口算或筆算在草稿紙上進行 )把求得的解代入每一 個方程看是否成立 . ［師］這個組的同學總結(jié)的步驟真棒， 甚至連我們平時容易忽略 的檢驗問題也提了出來，很值得提倡 .在我們數(shù)學學習的過程中，應 該養(yǎng)成反思自己解答過程，檢驗自己答案正確與否的習慣 . ［生］老師，我代表我們組來回答第三個問題 .我們認為用代入 消元法解二元一次方程組時， 盡量選取一個未知數(shù)的分數(shù)是 1 的方程 進行變形；若未知數(shù)的系數(shù)都不是 1，則選取系數(shù)的絕對值較小的方

14、程變形 .但我們也有一個問題要問：在例 2 中，我們選擇②變形這是 無可厚非的，把②變形后代入①中消元得到的是一元一次方程系數(shù)都 為整數(shù)也較簡便 .可例 1 中，雖然可直接把②代入①中消去 x，可得到 的是含有分母的一元一次方程， 并不簡便，有沒有更簡捷的方法呢？ ［師］這個問題提的太好了 .下面同學們分組討論一下 .如果你發(fā) 現(xiàn)了更好的解法，請把你的解答過程寫到黑板上來 . ［生］解：由②得 2x=y+3 ③ ③兩邊同時乘以 2，得 4x=2y+6 ④ 由④得 2y=4x－6 把⑤代入①得 3x+(4x－6)=8 解得

15、7x=14, x=2 把 x=2 代入③得 y=1. x 2, 所以原方程組的解為 y 1. ［師］真了不起，能把我們所學的知識靈活應用， 而且不拘一格， 將“2y”整體上看作一個未知數(shù)代入方程①，這是一個“科學的發(fā)明”. Ⅲ.隨堂練習 課本 P192 1. 用代入消元法解下列方程組 解： (1) y 2x ① x y 12 ② 將①代入②，得 x+2x=12 x =4. 把 x=4 代入①，得 y=8 x 4 所以原方程組的解為 y 8 (2)

16、 y 2x 5 ① 4x 3y 65 將①代入②，得 ② 4x+3(2 x+5)=65 解得 x=5 把 x=5 代入①得 y=15 所以原方程組的解為 x 5 y 15 (3) x y 11 ① x y 7 ② 由①，得 x=11 －y ③ 把③代入②，得 11 －y－y=7 y=2 把 y=2 代入③，得 x =9[ x 9 所以原方程組的解為 y 2 (4)

17、 3x 2 y 9 ① x 2 y 3 ② 由②，得 x=3－2y ③ 把③代入①，得 3(3 －2y)－2y=9 得 y=0 把 y=0 代入③，得 x=3 x 3 所以原方程組的解為 y 0 注：在隨堂練習中，可以鼓勵學生通過自主探索與交流，各個學生消元的具體方法可能不同，不必強調(diào)解答過程統(tǒng)一 . Ⅳ.課時小結(jié) 這節(jié)課我們介紹了二元一次方程組的第一種解法——代入消元 法 .了解到了解二元一次方程組的基本思路是“消元”即把“二元”變?yōu)椤耙辉?”主要步驟是： 將其中的一個

18、方程中的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來， 并代入另一個方程中， 從而消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程 .解這個一元一次方程，便可得到一個未知數(shù)的值， 再將所求未知數(shù)的值代入變形后的方程， 便求出了一對未知數(shù)的值 .即求得了方程的解 . Ⅴ.課后作業(yè) 1. 課本習題 7.2 2. 解答習題 7.2 第 3 題 Ⅵ.活動與探究 已知代數(shù)式 x2 +px+q,當 x=－1 時，它的值是－ 5；當 x=－2 時， 它的值是 4,求 p、q 的值 . 過程：根據(jù)代數(shù)式值的意義， 可得兩個未知數(shù)都是 p、q 的方程， 即

19、當 x=－1 時，代數(shù)式的值是－ 5，得 (－1)2+(－1) p+q=－5 ① 當 x=－2 時，代數(shù)式的值是 4，得 (－2)2+(－2) p+q=4 ② 將①、②兩個方程整理，并組成方程組 p q 6 ① 2 p q 0 ② 解方程組，便可解決 . 結(jié)果：由④得 q=2p 把 q=2p 代入③，得－ p+2p=－6 解得 p=－6 把 p=－6 代入 q=2p=－12 所以 p、q 的值分別為－ 6、－ 12. 七．板書設計 7.2 解二元一次方程組 (一) 一、“希望工程”義演 x y 8 5x 3 y 34 二、“誰的包裹多”問題 x y 2 x 1 2( y 1) 三、例題 四、解方程組的基本思路：消元即二元—→一元 五、解二元一次方程組的基本步驟