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1、4.3 4.3 二次型的概念二次型的概念一、二次型一、二次型 二、二、二次型的秩二次型的秩 定義定義1 1 含有含有n個變量的二次齊次多項式個變量的二次齊次多項式叫做叫做n元二次型元二次型，當二次型的系數(shù)，當二次型的系數(shù)aij(i,j=1,2,n)都是實數(shù)時都是實數(shù)時,稱為實二次型稱為實二次型.1.1.二次型的定義二次型的定義 特別地特別地,只含有平方項的只含有平方項的n元二次型稱為元二次型稱為n元二次型的標準形元二次型的標準形.二次型的矩陣形式二次型的矩陣形式，其中，其中實對稱矩陣稱實對稱矩陣稱A為二次型為二次型系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣,A的秩稱為的秩稱為二次型的秩二次型的秩.若二次型若二次型 f

2、是是標準形標準形,即其系數(shù)矩陣是對角陣即其系數(shù)矩陣是對角陣.,其中其中則則 f 的矩陣形式為的矩陣形式為例例1.1.寫出下列二次型的矩陣形式并求該二次型的秩寫出下列二次型的矩陣形式并求該二次型的秩.(1)(2)因因r(A)=3,故二次型的秩等于故二次型的秩等于3.解解:(1)二次型二次型系數(shù)矩陣及矩陣形式分別為系數(shù)矩陣及矩陣形式分別為例例1.1.寫出下列二次型的矩陣形式并求該二次型的秩寫出下列二次型的矩陣形式并求該二次型的秩.(1)(2)(2)二次型二次型系數(shù)矩陣及矩陣形式分別為系數(shù)矩陣及矩陣形式分別為因因r(B)=2,故二次型的秩等于故二次型的秩等于2.解解:例例2 2 已已知知二二次次型型

3、f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的的秩秩為為2，求，求c 解一：解一：二次型的系數(shù)矩陣為二次型的系數(shù)矩陣為|A|=0,可推知可推知c=3.解二：解二：r(A)=2于是于是c-9=-6,可推知可推知c=3.二次曲面的標準方程二次曲面的標準方程 1.橢球面橢球面 x2 a2+y2 b2+z2 c2=1(a0,b0,c0)b a c xyzO 2.單葉雙曲面單葉雙曲面 O x y z a b x2 a2+y2 b2 z2 c2=1(a0,b0,c0)二次曲面的標準方程二次曲面的標準方程 3.雙葉雙曲面雙葉雙曲面 x2 a2+y2 b2 z2 c

4、2=1(a0,b0,c0)O x y z c 二次曲面的標準方程二次曲面的標準方程 4.二次錐面二次錐面 x2 a2+y2 b2 z2 c2=0(a0,b0,c0)O x y z 二次曲面的標準方程二次曲面的標準方程 5.橢圓拋物面橢圓拋物面 x2 a2+y2 b2=2z(a0,b0)O O x x y y z z 二次曲面的標準方程二次曲面的標準方程 O x y z 6.雙曲拋物面雙曲拋物面 x2 a2 y2 b2=2z(a0,b0)(馬鞍面馬鞍面)二次曲面的標準方程二次曲面的標準方程 7.橢圓柱面橢圓柱面 x2 a2+y2 b2=1(a0,b0)雙曲柱面雙曲柱面 x2 a2 y2 b2=1(a0,b0)z z y y O O x x y y O O x x z z z z y y O O x x 拋物柱面拋物柱面 x2=2py(p 0)二次曲面的標準方程二次曲面的標準方程 O x y ax2+2bxy+cy2=1 a b b c O x y x2 25+y2 9=1 3 5 1/25 0 0 1/9 二次曲線二次曲線二次曲線二次曲線axax2 2+bxybxy+cycy2 2=1=1 mm(x x)2 2+n n(y y)2 2=1 =1 O Ox xy yyyO Oxxx=x cos y sin y=x sin +y cos