《線性代數(shù)課件：向量組的線性相關與線性無關》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《線性代數(shù)課件：向量組的線性相關與線性無關（37頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1.線性組合與線性表示線性組合與線性表示2.2.線性相關與線性無關線性相關與線性無關3.3.線性相關性判定定理線性相關性判定定理2.7 2.7 向量組的線性相關與線性無關向量組的線性相關與線性無關7 7.1.1 線性組合與線性表示線性組合與線性表示(Linear combinationLinear combination)例例1 1設設 a a1(1,0,0)，a a2(0,1,0)，a a3(0,0,1)，b b(2,1,1)，則則b b(2,1,1)是向量組是向量組a a1，a a2，a a3的線性組合的線性組合.即即 b b(2,1,1)是向量組是向量組a a1，a a2，a a3的線性

2、組合，也就是說的線性組合，也就是說b b可由可由a a1，a a2，a a3線性表示線性表示.因為因為 2a a1 a a2 a a3 2(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)(2,1,1)=b b，定定義義1 給給定定n維維向向量量b b，a a1，a a2，a am，如如果果存存在在一一組組數(shù)數(shù)k1，k2，km，使，使 b b k1a a1 k2a a2 kma am，則稱向量則稱向量b b是向量組是向量組a a1，a a2，a am的的線性組合線性組合，或稱，或稱b b可由向量可由向量組組a a1，a a2，a am線性表示線性表示.例例2 2任何一個任何一個n維向量維向量a a(a

3、1,a2,an)都是都是n維向量組維向量組 e1(1,0,0)，e2(0,1,0)，en(0,0,1)的線性組合的線性組合.這是因為這是因為a a a1e1 a2e2 an en.注：注：向量組向量組 e1，e2，en稱為稱為 n 維單位（或維單位（或基本基本）向量組）向量組.7 7.1.1 線性組合與線性表示線性組合與線性表示(Linear combinationLinear combination)定定義義1 給給定定n維維向向量量b b，a a1，a a2，a am，如如果果存存在在一一組組數(shù)數(shù)k1，k2，km，使，使 b b k1a a1 k2a a2 kma am，則稱向量則稱向量b

4、 b是向量組是向量組a a1，a a2，a am的的線性組合線性組合，或稱，或稱b b可由向量可由向量組組a a1，a a2，a am線性表示線性表示.例例3 3零向量是任何一組向量的線性組合零向量是任何一組向量的線性組合.這是因為這是因為o=0 a a1 0 a a2 0 a am.例例4 4向向量量組組a a1，a a2，a am中中的的任任一一向向量量a ai(1 i m)都都是是此此向量組的線性組合向量組的線性組合.這是因為這是因為a ai 0 a a1 1 a ai 0 a am.7 7.1.1 線性組合與線性表示線性組合與線性表示(Linear combinationLinear

5、combination)定定義義1 給給定定n維維向向量量b b，a a1，a a2，a am，如如果果存存在在一一組組數(shù)數(shù)k1，k2，km，使，使 b b k1a a1 k2a a2 kma am，則稱向量則稱向量b b是向量組是向量組a a1，a a2，a am的的線性組合線性組合，或稱，或稱b b可由向量可由向量組組a a1，a a2，a am線性表示線性表示.例例5 5線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示(向量方程向量方程)a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm=+-+a11a21am1x1a12a22am2x2+xn

6、a1na2namn+b1b2bm=或或即即其中其中,定義定義2 設有設有n維向量組維向量組a a1，a a2，a am，如果存在一組如果存在一組不全為零的數(shù)不全為零的數(shù) k1，k2，km，使使 k1a a1 k2a a2 kma am o 成立成立，則稱向量組則稱向量組a a1，a a2，a am線性相關線性相關，否則否則，即只有即只有當當k1，k2，km全為全為0時時 k1a a1 k2a a2 kma am o才成立才成立，則稱向量組則稱向量組a a1，a a2，a am線性無關線性無關.7 7.2 .2 線性相關與線性無關(Linear dependent&Linear independ

7、ent)線性相關性判定方法線性相關性判定方法 一般方法，用于一般方法，用于m 個個n維向量組的情形維向量組的情形.一般可通過定義或一般可通過定義或判定定理等進行判定，特別當利用定義時可使用觀察法判定定理等進行判定，特別當利用定義時可使用觀察法.特殊方法，用于特殊方法，用于n 個個n維向量組的情形維向量組的情形.可通過行列式判定可通過行列式判定.例例6.6.討論下列向量組的線性相關性討論下列向量組的線性相關性.解解:對于向量組，顯然有對于向量組，顯然有 即存在一組不全為零的數(shù)即存在一組不全為零的數(shù) 練習：練習：討論下列向量組的線性討論下列向量組的線性 相關性，其中：相關性，其中：即即使得使得所以

8、向量組所以向量組a a1 1,a a2 2,a a3 3,線性相關線性相關.一般方法（舉例）一般方法（舉例）對于對于n個個n維向量組成的向量組維向量組成的向量組a a1，a a2，a an，設有一組數(shù)設有一組數(shù) k1，k2，kn，使使 k1a a1 k2a a2 kna an o 成立成立.由向量的運算性質(zhì)可得由向量的運算性質(zhì)可得 k1a a1 k2a a2 kn a an=o，即即從而得向量組從而得向量組a a1，a a2，a an，線性無關線性無關(相關相關)的充分必要條件是的充分必要條件是:特殊方法（推導）特殊方法（推導）設有一組數(shù)設有一組數(shù)k1，k2，kn，使使 k1a a1 k2a

9、a2 kna an o 成立成立.(1)通過向量的線性運算通過向量的線性運算,將將(1)式化為如下齊次方程組式化為如下齊次方程組(2)特殊方法（解題步驟）特殊方法（解題步驟）判斷上面關于判斷上面關于k1,k2,kn方程組方程組(2)(2)有無有無非零解非零解?若方程組若方程組(2)(2)有非零解有非零解，則則a a1,a a2,a an線性相關；否則線性相關；否則,線性無關線性無關.即行列式即行列式或或核心問題核心問題！例例7.7.證明下列單位向量組線性無關證明下列單位向量組線性無關.即即 從而得從而得 即只有當即只有當k1 k2 k3 k400時，上時，上 式才成立，所以向量組式才成立，所以

10、向量組a a1 1,a a2 2,a a3 3,a a4 4,線性無關線性無關.特殊方法（舉例）特殊方法（舉例）證證:對于向量組對于向量組a a1 1,a a2 2,a a3 3,a a4 4,設有設有一組數(shù)一組數(shù)k1,k2,k3,k4,使得下式成立使得下式成立亦即亦即例例8.8.討論下列向量組的線性相關性討論下列向量組的線性相關性.即方程組即方程組 因該方程組的系數(shù)行列式因該方程組的系數(shù)行列式 所以，線性方程組有非零解所以，線性方程組有非零解，從從而而，向向量量組組a a1 1,a a2 2,a a3 3,a a4 4,線線性性相關相關.解解:對于向量組對于向量組a a1 1,a a2 2,

11、a a3 3,a a4 4,設有設有一組數(shù)一組數(shù)k1,k2,k3,k4,使得下式成立使得下式成立亦即方程組亦即方程組解題要點：找向量方程的解題要點：找向量方程的非零解非零解.特殊方法（舉例）特殊方法（舉例）例例9設向量組設向量組a a1，a a2，a a3線性無關線性無關，令令 b b1 a a1 a a2，b b2 a a2 a a3，b b3 a a3 a a1.試證向量組試證向量組b b1，b b2，b b3也線性無關也線性無關.(拆項重組法拆項重組法)證明：證明：設有一組數(shù)設有一組數(shù)k1,k2,k3,使使 k1b b1 k2b b2 k3 b b3 o，即即 k1(a a1 a a2)

12、k2(a a2 a a3)k3(a a3 a a1)o，整理得整理得 (k1 k3)a a1(k1 k2)a a2(k2 k3)a a3 o.因為向量組因為向量組a a1，a a2，a a3線性無關線性無關，所以必有所以必有，k1k1k1x2k2k2k3x3k3000=+1 1 0 0 1 1 1 0 1由于由于=20，從而從而b b1，b b2，b b3線性無關線性無關.所以方程組只有零解所以方程組只有零解 k1=k2=k3=0，即代數(shù)方程組只有零解：k1=k2=k3=0.亦即向量方程只有零解：k1=k2=k3=0.討論：討論：3.3.僅有兩個向量構成的向量組線性相關的條件僅有兩個向量構成的

13、向量組線性相關的條件.1.1.含有零向量的向量組是否線性相關含有零向量的向量組是否線性相關.2.2.僅有一個向量構成的向量組線性相關的條件僅有一個向量構成的向量組線性相關的條件.結論：結論：1.1.含有零向量的向量組一定線性相關含有零向量的向量組一定線性相關.2.2.僅僅有有一一個個向向量量構構成成的的向向量量組組線線性性相相關關當當且且僅僅當該向量為零向量當該向量為零向量.3.3.僅有兩個向量構成的向量組線性相關當且僅當僅有兩個向量構成的向量組線性相關當且僅當這兩個向量的分量對應成比例這兩個向量的分量對應成比例.4.單位向量組單位向量組e1，e2，en是否線性相關是否線性相關.4.單位向量組

14、單位向量組e1，e2，en線性無關線性無關.證明：證明：必要性必要性.因為因為a a1，a a2，a am線性相關，故存在不全線性相關，故存在不全為零的數(shù)為零的數(shù)l l1，l l2，l lm，使使 l l l l1 1a a a a1 1 l l l l2 2a a a a2 2 l l l lmma a a amm o o.不妨設不妨設l l1 0，于是于是即即a a1為為a a2，a a3，a am的線性組合的線性組合.充分性充分性.不妨設不妨設a a1可由其余向量線性表示可由其余向量線性表示,即即 a a1 l l2a a2 l l3a a3 l lma am，則存在不全為零的數(shù)則存在不

15、全為零的數(shù) 1，l l2，l l3，l lm，使使 (1)a a1 l l2a a2 l l3a a3 l lma am o，即即a a1，a a2，a am線性相關線性相關.定定理理1 1 向向量量組組a a1，a a2，a am線線性性相相關關的的充充要要條條件件是是：向向量量組組中至少有一個向量可以由其余向量線性表示中至少有一個向量可以由其余向量線性表示.7 7.3 .3 線性相關性判定定理線性相關性判定定理 先先證證明明b b可可由由向向量量組組a a1，a a2，a am線線性性表表示示.因因為為向向量量組組a a1，a a2，a am，b b線線性性相相關關，因因而而存存在在一一組

16、組不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)l l1，l l2，l lm及及l(fā) l，使使 l l1a a1 l l2a a2 l lma am lblb o，這里必有這里必有l(wèi) l 0，否則，上式成為否則，上式成為 l l1a a1 l l2a a2 l lma am o，且且l l1，l l2，l lm不全為零，這與線性無關矛盾不全為零，這與線性無關矛盾.因此因此l l 0.即即b b可由向量組可由向量組a a1，a a2，a am線性表示線性表示.證明：證明：定定理理2 2 設設向向量量組組 a a1，a a2，a am，b b 線線性性相相關關，而而a a1，a a2，a am線線性性無無關關，則則b b

17、 可可由由a a1，a a2，a am線線性性表表示示，且且表表示示式式是是惟一的惟一的.再證表示法惟一再證表示法惟一.設設b b可表示成以下兩種形式，可表示成以下兩種形式，b b l l1a a1 l l2a a2 l lma am，及及 b b m m1a a1 m m2a a2 m mma am，兩式相減得兩式相減得 (l l1 m m1)a a1(l l2 m m2)a a2 (l lm m mm)a am o，由由a a1，a a2，a am線性無關可知線性無關可知 l l1 m m1 l l2 m m2 l lm m mm 0，從而從而 l l1 m m1，l l2 m m2，l

18、lm m mm，所以，表示法是惟一的所以，表示法是惟一的.證明：證明：定定理理2 2 設設向向量量組組 a a1，a a2，a am，b b 線線性性相相關關，而而a a1，a a2，a am線線性性無無關關，則則b b 可可由由a a1，a a2，a am線線性性表表示示，且且表表示式是惟一的示式是惟一的.設設向向量量組組a a1，a a2，a am中中有有r個個向向量量的的部部分分組組線線性性相相關關，不不妨妨設設a a1，a a2，a ar線線性性相相關關，則則存存在在一一組組不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)l l1，l l2，l lr使使 l l1a a1 l l2a a2 l lra ar

19、o，因而存在一組不全為零的數(shù)因而存在一組不全為零的數(shù)l l1，l l2，l lr，0，0，0使使 l l1a a1 l l2a a2 l lra ar 0 a ar 1 0 a am o，即即a a1，a a2，a am線性相關線性相關.證明：證明：定理定理3 3 如果向量組中有一部分向量（稱為部分組）線性如果向量組中有一部分向量（稱為部分組）線性相關，則整個向量組線性相關相關，則整個向量組線性相關.定定理理4 4 由由n個個n維維向向量量組組成成的的向向量量組組，其其線線性性無無關關的的充充分分必必要要條條件是矩件是矩陣陣A=(a a1 1,a a2 2,.,.,a an,)可逆可逆.證明證

20、明 略略.證明：證明：（反證反證）若向量組若向量組 b b1,b b2,b bm線性相關線性相關，則存在一組不全為零的數(shù)則存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,km,使得使得 k1 b b1+k2 b b2+km b bm=o （1 1）即即（2 2）顯然顯然，方程方程(2)的前的前 n 行就是行就是 k1a a1+k2a a2+kma am=o，從而得從而得，a a1，a a2，a am線性相關，矛盾線性相關，矛盾.證畢證畢.定定理理5 5 若若向向量量組組 a ai=(a ai i1 1,a ai i2,a ai in)(i=1,2,m)線線性性無無關關，則則向向量組量組 b b i=(a ai

21、 i1 1,a ai i2,a ai in,a ai in+1)(i=1,2,m)也線性無關也線性無關.例例10.10.討論下列向量組的線性相關性討論下列向量組的線性相關性(要求用要求用“觀察法觀察法”).(1)(2)解：解：對于對于(1)組，顯然有組，顯然有 (2)組中每一個向量的前組中每一個向量的前3個分量構成無關組，由定理個分量構成無關組，由定理5知知(2)組無關組無關.練習題練習題 一一、填填空空題題：在在向向量量組組a a1,a a2,a ar中中，如如果果有有部部分分向向量量線線性相關，則向量組必（性相關，則向量組必（）二、多選題：二、多選題：下列命題中正確的有（下列命題中正確的有

22、（）非零向量組成的向量組一定線性無關非零向量組成的向量組一定線性無關 含零向量的向量組一定線性相關含零向量的向量組一定線性相關 由一個零向量組成的向量組一定線性無關由一個零向量組成的向量組一定線性無關 由零向量組成的向量組一定線性相關由零向量組成的向量組一定線性相關 線性相關的向量組一定含有零向量線性相關的向量組一定含有零向量三、分析判斷題三、分析判斷題 ：若若a a1不能被不能被a a2,a a3,a ar 線性表示，線性表示，則向量則向量a a1,a a2,a a3,a ar線性無關（線性無關（）四、證明題：四、證明題：設設b b可由設可由設a a1,a a2,a ar線性表示，但不能線性

23、表示，但不能由由a a1,a a2,a ar-1線性表示，證明線性表示，證明a ar可由可由a a1,a a2,a ar-1,b b線性表示線性表示等價向量組等價向量組定義定義3 3 設有兩個向量組設有兩個向量組(I)(II)如如果果向向量量(I)(I)與與向向量量組組(II)(II)可可以以相相互互線線性性表表示示，則則稱稱向向量量組組(I)(I)與與向量組向量組(II)(II)等價等價.例例11.11.(I)a a=(1,0),a a 2=(0,1)(II)b b=(1,),b b 2=(,-1),b b 3=(,5)兩組等價兩組等價.因為因為,b b=a aa a,b b 2=a aa

24、a,b b 3=a aa a,5.4 5.4 極大線性無關組極大線性無關組向量組向量組(I)(I)與向量組與向量組(II)(II)等價等價.等價向量組的性質(zhì)等價向量組的性質(zhì)l自反性自反性l對稱性對稱性l傳遞性傳遞性 引例引例.向量組向量組a a=(1,1,1),a a2=(0,2,5),a a3=(1,3,6),等價于其部分向等價于其部分向量組量組a a a a2.事實上，事實上，a a，a a，a a3中的每一個向量可由中的每一個向量可由a a，a a線性表示線性表示,即即而而 a a，a a中的每一個向量可由中的每一個向量可由a，a，a3線性表示，即線性表示，即向量組的極大線性無關組向量組

25、的極大線性無關組例例12在向量組在向量組a a1(0,1)，a a2(1,0)，a a3(1,1)，a a4(0,2)中中，向量組向量組a a1(0,1)，a a2(1,0)線性無關線性無關，且有且有 同樣同樣a a2，a a4也是一個極大線性無關組也是一個極大線性無關組.所以所以a a1，a a2是向量組是向量組a a1，a a2，a a3，a a4的一個極大線性無關組的一個極大線性無關組.a a4(0,2)2(0,1)2a a1 100a a2，a a3(1,1)(0,1)(1,0)a a1 a a2，定定義義4 4 如如果果向向量量組組a a1，a a2,am的的一一個個部部分分組組a

26、aj1，a aj2,ajr(rm)滿足：滿足：(1)部分組部分組aj1，aj2,ajr線性無關；線性無關；(2)向量組向量組a a1，a a2,am中的任一向量可由該中的任一向量可由該部分組部分組線性表示，線性表示，則稱所選部分組為原向量組的一個則稱所選部分組為原向量組的一個極大線性無關組極大線性無關組.極大線性無關組不一定唯一；極大線性無關組不一定唯一；向量組與它的極大線性無關組等價向量組與它的極大線性無關組等價.線性表示線性表示，則則rs.定理定理6 6 設向量組設向量組線性無關，并且可由向量組線性無關，并且可由向量組 推論推論2 2 等價的線性無關的向量組含有相同個數(shù)的向量等價的線性無關

27、的向量組含有相同個數(shù)的向量.推論推論1 1 任意任意n+1個個n維向量一定線性相關維向量一定線性相關.向量組的秩向量組的秩 定定義義5 5 向向量量組組a a1，a a2，a am的的極極大大線線性性無無關關組組所所含含向向量量的的個個數(shù)數(shù)稱稱為為向量組的秩向量組的秩.記作記作r(a a1，a a2，a am).規(guī)定，只含零向量的向量組的秩為規(guī)定，只含零向量的向量組的秩為0.推論推論3 3 等價的向量組有相同的秩等價的向量組有相同的秩.若若r(a a1，a a2，a am)m，則向量組，則向量組a a1，a a2，a am必線性相關必線性相關.重要結論重要結論 (線性相關性新的判定方法！線性相

28、關性新的判定方法！)向量組的秩向量組的秩2.7 極大線性無關組及線性表示系數(shù)的求法1.向量組秩的求法2.向量組極大線性無關組的求法3.用極大線性無關組表示其他的向量 定義定義4 4 矩陣矩陣A的行向量組的秩稱為矩陣的行向量組的秩稱為矩陣A的的行秩行秩，列向量組的秩列向量組的秩稱為矩陣稱為矩陣A的的列秩列秩.即即行向量組行向量組a a1，a a2，a am的秩，稱為矩陣的秩，稱為矩陣A的的行秩行秩.列向量組列向量組b b1，b b2，b bm的秩，稱為矩陣的秩，稱為矩陣A的的列秩列秩.定理定理3 3 矩陣的行秩等于其列秩，且等于矩陣的秩矩陣的行秩等于其列秩，且等于矩陣的秩.1.向量組秩的求法 例

29、例4.4.求下列向量組求下列向量組a a=(1,2,3,4)，a a2 2=(2,3,4,5)，a a3 3=(3,4,5,6)的秩的秩.步步1.把向量組的向量作為矩陣的把向量組的向量作為矩陣的列（或行）向量列（或行）向量組成矩陣組成矩陣A；步步2.對矩陣對矩陣A進行進行初等初等行變換行變換化為階梯形矩陣化為階梯形矩陣B；步步3.階梯形階梯形B中中非零行的個數(shù)即為所求向量組的秩非零行的個數(shù)即為所求向量組的秩 解：解：以以a a,a a,a a為為列向量列向量作作成矩陣成矩陣A,因為階梯形矩陣的秩為因為階梯形矩陣的秩為2，所以向量組的秩為，所以向量組的秩為21.向量組秩的求法問題：問題：基本單位

30、向量組的秩是多少？它們相關基本單位向量組的秩是多少？它們相關/無關？無關？定定理理4 4 矩矩陣陣A經(jīng)經(jīng)初初等等行行變變換換化化為為B，則則B的的列列向向量量組組與與A對對應應的列向量組有相同的線性的列向量組有相同的線性相關性相關性.下面通過例子驗證結論成立下面通過例子驗證結論成立.線性關系線性關系:矩陣矩陣A矩陣矩陣A1矩陣矩陣A22.向量組極大線性無關組的求法步步1.1.把向量組的向量作為矩陣的把向量組的向量作為矩陣的列向量列向量組成矩陣組成矩陣A；步步2.2.對矩陣對矩陣A進行進行初等行變換初等行變換化為階梯形矩陣化為階梯形矩陣B；步步3.3.A中的與中的與B的每階梯首列對應的向量組，即

31、為極大線性無關組的每階梯首列對應的向量組，即為極大線性無關組由上可得，由上可得，求向量組的極大線性線性無關組的方法：求向量組的極大線性線性無關組的方法：矩陣矩陣A2矩陣矩陣A3矩陣矩陣B例例5.5.求下列向量組的一個極大無關組，其中：求下列向量組的一個極大無關組，其中：解：解：以以5個向量為列個向量為列矩陣矩陣A，用初等行變換將，用初等行變換將A化為階梯形矩陣化為階梯形矩陣 矩陣矩陣B已是階梯形矩陣已是階梯形矩陣,B的每階梯的每階梯首列所在的列是首列所在的列是1，2，4列，所以列，所以A的第的第1，2，4列就是列就是A的列向量組的極大線性的列向量組的極大線性無關組，即無關組，即a,a,a是向量

32、組的一個是向量組的一個極大線性無關組極大線性無關組.行最簡形矩陣行最簡形矩陣 一個矩陣是行最簡形矩陣一個矩陣是行最簡形矩陣(或稱行最簡式或稱行最簡式)是指它為是指它為階梯形矩陣階梯形矩陣,且它的每一行的第一個非零元素均為且它的每一行的第一個非零元素均為1,第一個非零元第一個非零元素所在的列其余元素均為素所在的列其余元素均為0 例如例如,利用初等行變換將利用初等行變換將A先化為階梯形矩陣先化為階梯形矩陣B，再化成行最簡形，再化成行最簡形矩陣矩陣C.3.用極大線性無關組表示其他的向量 即列向量組的一個即列向量組的一個極大極大線性線性無關組化為無關組化為單位向量組單位向量組.步步1.1.把向量組的向

33、量作為矩陣的把向量組的向量作為矩陣的列向量列向量組成矩陣組成矩陣A；步步2.2.對矩陣對矩陣A進行進行初等初等行變換行變換化為階梯形矩陣化為階梯形矩陣B；步步3.3.把階梯形把階梯形B進行進行初等初等行變換行變換化為行最簡形矩陣化為行最簡形矩陣C；步步4.4.根根據(jù)據(jù)行行最最簡簡形形矩矩陣陣列列向向量量的的分分量量，用用極極大大線線性性無無關關組組表表示其它向量示其它向量3.用極大線性無關組表示其他的向量例例6.6.求下列向量組的一個極大求下列向量組的一個極大線性線性無關組，并表示其它向量無關組，并表示其它向量:解解：以以給給定定向向量量為為列列向向量量作作成成矩矩陣陣A，用用初初等等行行變變

34、換換將將A化化為為行行最簡形最簡形:根據(jù)行最簡形矩陣根據(jù)行最簡形矩陣C可知可知a a,a a,a a是向量組是向量組的一個極大無關組的一個極大無關組，且且 a a3 3=2=2a a1 1-a a+0+0a a,a a5 5=a a1 1+a a+a a.3560假設第假設第5列為，列為，該如何表示？該如何表示？一、填空題一、填空題1若向量組若向量組a a，a a，a am線性相關，則它的秩（線性相關，則它的秩（）m2一一個個向向量量組組若若含含有有兩兩個個以以上上的的極極大大無無關關組組，則則各各極極大大無無關關組所含向量個數(shù)必（組所含向量個數(shù)必（）3設設a a，a a，a ar線線性性無無

35、關關，且且可可由由b b，b b，b bs線線性表示，則性表示，則r ()s設設A是是n階階方方陣陣且且|A|0，則則（）1)A中必有兩行（列）元素中必有兩行（列）元素對應對應成比例成比例 2)A中至少有一行（列）的元素全中至少有一行（列）的元素全為為0 3)A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的線線性性組組合合 4)A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的線線性性組組合合二、單選題二、單選題n;rn.3向量組向量組a a，a a，a as，線性無關的充要條件是（，線性無關的充要條件是（）r1;它有一

36、個部分向量它有一個部分向量組線組線性無關性無關;r0;它所有的部分向量它所有的部分向量組線組線性無關性無關.4若若矩矩陣陣A有有一一個個r階階子子式式D0,且且A中中有有一一個個含含有有D的的r+1階階子子式等于零，則一定有（式等于零，則一定有（）.r(A)r;r(A)r;r(A)=r;r(A)=r+1.5設設向向量量組組a a,a a,a a線線性性無無關關，則則下下列列向向量量組組中中，線線性性無無關的是（關的是（）.a a+a a，a a+a a，a a-a a a a+a a，a a+a a，a a+2a a+a a a a+2a a，2a a+3a a，3a a+a a a a+a a+a a，2a a-3a a+2a a，3a a+5a a-5a a作業(yè)：作業(yè)：作業(yè)：作業(yè)：8383頁頁頁頁 112;27(3);28(3)2;27(3);28(3)