《八年級(jí)數(shù)學(xué) 勾股定理及其常考題型-》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《八年級(jí)數(shù)學(xué) 勾股定理及其?？碱}型-（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、八年級(jí)數(shù)學(xué) 勾股定理及其常考題型 勾股定理也稱畢達(dá)哥拉斯定理，文字表述：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.結(jié)合直角三角形圖形，用字母可表示為：，如下圖，a、b為直角邊，c為斜邊。 勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，完美地體現(xiàn)了“數(shù)形統(tǒng)一”的數(shù)學(xué)思想，將初中幾何與代數(shù)很好的聯(lián)系起來(lái)。因此，學(xué)好勾股定理這一知識(shí)點(diǎn)對(duì)于我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有很大的幫助，下面我們具體來(lái)看看初中數(shù)學(xué)有關(guān)勾股定理的一些常見(jiàn)題型及其解答方法。 一、邊的計(jì)算 1、在Rt△ABC中，∠C＝90，若a=6，b=8，則c= ． 解：因?yàn)?，所以c=10。 評(píng)論：直接由勾股定理所

2、以得 2、在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，則斜邊上的高CD的長(zhǎng)為（ ） A． B． C． D． 解：由勾股定理知：AB=5，又因?yàn)镾△ABC =ACBC=ABCD 即：34=5CD,所以CD= 評(píng)論：通過(guò)勾股定理求出斜邊，再利用面橋關(guān)系求出斜邊上的高。 3、若一直角三角形兩邊的長(zhǎng)為12和5，則第三邊的長(zhǎng)為（ ） A．13 B．13或 C．13或15 D．15 解：當(dāng)12對(duì)應(yīng)的邊為斜邊時(shí)，此時(shí)由勾股定理得第三邊為 當(dāng)12對(duì)應(yīng)的邊是直角邊時(shí)，則第三邊為斜邊，由得第三邊的長(zhǎng)為13

3、 評(píng)論：勾股定理結(jié)合分類討論思想，學(xué)生要注意這類試題的多解性。 4．Rt△一直角邊的長(zhǎng)為11，另兩邊為自然數(shù)，則Rt△的周長(zhǎng)為（　?。? A、121 B、120 C、132 D、不能確定 解：設(shè)該Rt△的三邊分別為a、b、c，a、b為直角邊，c為斜邊 由勾股定理知：，即：112＋b2 = c2 所以（b+c）（c－b）=121 因?yàn)閎、c都為自然數(shù)，所以b+c，c－b，都為正自然數(shù)。 又因?yàn)?21只有1、11、121這三個(gè)正整數(shù)因式，所以b+c=121，c－b=1。所以b=60，c=61 評(píng)論，本題以直角三角形為

4、載體，同過(guò)勾股定理將初中幾何知識(shí)和代數(shù)知識(shí)很好地串聯(lián)起來(lái)考察學(xué)生的能力。 二、直角三角形的判定 5、 在△ABC中中，a、b、c為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，給出如下的命題： ①若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則△ABC為直角三角形；②若∠A＝∠C一∠B，則△ABC為直角三角形；③若，，則△ABC為直角三角形；④若a：b：c＝5：3：4，則△ABC為直角三角形；⑤若（a＋c）（a－c）＝b2，則△ABC為直角三角形；⑥若(a＋c)2＝2ac＋b2，則△ABC為直角三角形；⑦若ＡＢ＝12,ＡＣ＝9,BＣ＝15, 則△ABC為直角三角形?！　　　　　　　　　∩厦娴拿}中正確的有（　　　?。? A

5、．6 B．7 C．8 D．9 解：對(duì)①，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180度，所以∠A+∠B+∠C＝180，因?yàn)椤螦：∠B：∠C＝1：2：3，所以∠C=180 所以∠C=90則△ABC為直角三角形，①正確。對(duì)②，因?yàn)椤螦+∠B+∠C＝180，而∠A＝∠C一∠B，所以∠C一∠B+∠B+∠C＝180所以∠C=90，即△ABC為直角三角形，②正確。對(duì)③，設(shè)a=5k，因?yàn)?，，則c=4k， C2＋b2 = a2 所以為△ABC直角三角形. ③正確，同理易知④正確，對(duì)⑤，因?yàn)椋╝＋c）（a－c）＝b

6、2 所以a2 –c2 = b2 ，所以△ABC為直角三角形．⑤正確，對(duì)⑥，因?yàn)?a＋c)2＝2ac＋b2，所以a2 +c2+2ac=2ac＋b2 所以a2 +c2=b2 正確，對(duì)⑦，因?yàn)椋粒拢?2,ＡＣ＝9,ＡＣ＝15，所以AB2 +AC2=BC2所以正確。答案選B 評(píng)論：直角三角形的評(píng)定可以從角和邊兩方面來(lái)進(jìn)行，從角來(lái)判定需結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，從邊來(lái)判定需結(jié)合勾股定理。一般是驗(yàn)證最大邊的平方是否等于兩小邊的平方和。 三、翻折 6、矩形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖18-1方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則DE=_______cm． 解：設(shè)DE為x

7、，因?yàn)镈E是由BE翻折過(guò)來(lái)的， 所以DE=BE=x,則AE=10－x，在Rt△ABD中： AD2 +AE2=DE2 所以：42 +（10－x） 2= x 2 解得x=5.8 cm 評(píng)論：翻折和旋轉(zhuǎn)是初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的題型，解答這類題的關(guān)鍵在于把握翻折和旋轉(zhuǎn)前后的聯(lián)系，主要是看清哪些量沒(méi)變，抓住這些不變的量，以此為突破口便可以順利解決。本題的不變量是DE和BE的長(zhǎng)度，抓住這個(gè)關(guān)系，再通過(guò)勾股定理建立等式，在直角三角形中便可解出邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度。 四、爬行 7．如圖，有一個(gè)圓柱，它的高等于16cm，底面半徑等于4cm，在 圓柱下底面的點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點(diǎn)相對(duì)的 點(diǎn)處的

8、食物，需要爬行的最短路程是 cm．（取3） 解：螞蟻要沿圓柱體側(cè)面爬，將圓柱體的側(cè)面沿螞蟻所在的垂直于底面的直線切開(kāi)，展開(kāi)后是一個(gè)長(zhǎng)為8π，寬為16的長(zhǎng)方形，螞蟻所在的是一個(gè)頂點(diǎn)，而相對(duì)的點(diǎn)則是對(duì)面那條長(zhǎng)為8π的邊的中點(diǎn)。所以根據(jù)勾股定理，兩點(diǎn)之間的距離為d，d2 =(8π)2 +(16)2從而解出d。 評(píng)論：爬行問(wèn)題是勾股定理的一大重要應(yīng)用，關(guān)鍵在于將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，從而簡(jiǎn)單便捷地找出最短距離，然后再利用勾股定理求出邊長(zhǎng)。 8．已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2cm、寬為1cm、高為4cm，一只螞蟻如果沿長(zhǎng)方體的表面從A點(diǎn)爬到B′點(diǎn),那么沿哪條路最近,最短的路程是多少? 解

9、：將長(zhǎng)方體的側(cè)面B BˊCˊC展開(kāi)到與長(zhǎng)方體的正面AC CˊAˊ在同一平面內(nèi)， 得到長(zhǎng)方形AB BˊAˊ,長(zhǎng)AB=3 cm,寬A Aˊ=4， 螞蟻沿長(zhǎng)方體的表面從A點(diǎn)爬到B′點(diǎn)最短距離即為長(zhǎng)方形AB BˊAˊ的對(duì)角線 A B′長(zhǎng)。由勾股定理易知A B′=5. 五、圖形變換 9．如圖2（1），是小紅用硬紙板做成的兩個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊的長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c，如圖2（2）是以c為直角邊的等腰直角三角形，她想將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形，可以嗎？ （1）如果能，請(qǐng)你畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖，寫出它是什么圖形？ （2）用這

10、個(gè)圖形證明勾股定理． （3）假設(shè)圖2（1）中的圖有若干個(gè)，你能運(yùn)用（1）中所示的直角三角形拼出另一個(gè)能證明勾股定理的圖形嗎？請(qǐng)畫出拼后的示意圖．（無(wú)需證明） 23，（1）如圖是直角梯形. （2）因?yàn)镾梯形＝(a+b)(a+b)＝(a+b)2，S＝2ab+c2＝ab+c2，所以(a+b)2＝ab+c2，即a2+b2＝c2.（3）如圖所示. 評(píng)論：這是一道圖形換的題，具體涉及到圖形的拼湊，解決勾股定理這方面的試題關(guān)鍵是要對(duì)課本勾股定理證明涉及到的幾種常見(jiàn)的圖形以及證明過(guò)程和原理要熟練掌握，再利用適當(dāng)?shù)倪w移便可以解答了。 六、實(shí)際應(yīng)用 10，某校把一塊形狀為直

11、角三角形的廢地開(kāi)辟為生物園，如圖5所示，∠ACB＝90，AC＝80米，BC＝60米，若線段CD是一條小渠，且D點(diǎn)在邊AB上，已知水渠的造價(jià)為10元/米，問(wèn)D點(diǎn)在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)處時(shí)，水渠的造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？ 解：當(dāng)CD為斜邊上的高時(shí)，CD最短，從而水渠造價(jià)最低.因?yàn)镃DAB＝ACBC ，所以CD＝＝48米，所以AD＝＝64米.所以，D點(diǎn)在距A點(diǎn)64米的地方，水渠的造價(jià)最低，其最低造價(jià)為480元. 11．有一只小鳥(niǎo)在一棵高4m的小樹(shù)梢上捉蟲(chóng)子，它的伙伴在離該樹(shù)12m，高20m的一棵大樹(shù)的樹(shù)梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以4m/s的速度飛向大樹(shù)樹(shù)梢，那么這只小鳥(niǎo)至少幾秒才可能到達(dá)大樹(shù)和伙伴在一起？ 解：如圖所示，根據(jù)題意，得AC=20-4=16，BC=12． 根據(jù)勾股定理，得AB=20．則小鳥(niǎo)所用的時(shí)間是204=5（s）． 評(píng)論：解答勾股定理的實(shí)際應(yīng)用題，首先要審清題意，然后找出試題情景中涉及到的直角三角形，再結(jié)合勾股定理便可以求出了。在該題中，我們關(guān)鍵是要根據(jù)題意畫出勾股定理涉及到的直角三角形圖形，只需求得AB的長(zhǎng)．根據(jù)已知條件，得BC=12，AC=20-4=16，再根據(jù)勾股定理就可求解． 補(bǔ)充：