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1、曲 線 積 分 與 曲 面 積 分 實 驗 目 的學(xué) 習(xí) 用 軟 件 計 算 曲 線 積 分 、 曲 面 積 分 實 驗 內(nèi) 容、 曲 線 積 分1、 對 弧 長 的 曲 線 積 分若 L： t， 則 )()(tyy txx dttytxtytxfdsyxf L )()()(),(),( 22 若 L： t ， 則 )( )()(tzz tyy txx dttztytxtztytxfdszyxfL )()()()(),(),(),( 222例 1計 算 ， 為 x2+y2=a2 中 的 一 段 弧 。 ABxyds AB 解 方 法 ： 選 x 為 參 數(shù) ， 則 22 xay dxyxyxx

2、ydsI aAB 20 21)(y xA Ba230 2a 方 法 ： 選 y為 參 數(shù) ， 則 22 yax dyyxyyxxydsI a aAB 23 2 1)()(方 法 ： 選 t為 參 數(shù) ， 則 有 參 數(shù) 方 程 tay tax sincos 22123arctan taa 2 3arctan 22 )()()()( dttytxtytxxydsI AB syms t I=int(x*y*sqrt(diff(x)2+diff(y)2), atan(sqrt(3),pi/2) 運 行 結(jié) 果 ： I =1/8*a2*(a2)(1/2)I=simple(I)運 行 結(jié) 果 ： I=1

3、/8*a32、 對 坐 標 的 曲 線 積 分L是 二 維 有 向 曲 線 ： t： )()(tyy txx 是 三 維 有 向 曲 線 ： )( )()(tzz tyy txxt： dttztztytxR tytztytxQtxtztytxP dzzyxRdyzyxQdxzyxP )()(),(),( )()(),(),()()(),(),( ),(),(),( 例 2計 算 x3dx+3zy2dy-x2ydz， 其 中 是 從 點 A（ 3， 2， 1） 到 點 B（ 0， 0， 0） 的 直 線 段 。 AB 解 直 線 段 的 方 程 為 化 為 參 數(shù) 方 程 t： 1 0 AB 1

4、23 zyx tz ty tx 23 dttztytxtytytztxtx ydzxdyzydxx 10 223 223 )()()()()()(3)()( 3 syms t x=3*t; y=2*t; z=t; I=int(x3*diff(x)+3*z*y2*diff(y) -x2*y*diff(z),t,1,0) 運 行 結(jié) 果 ： I =-87/4 3、 格 林 公 式 設(shè) 閉 區(qū) 域 D由 分 段 光 滑 的 曲 線 L圍 成 ， 函 數(shù) P（ x,y） 及 Q（ x,y） 在 D上 具 有 一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) ， 則 有 LD QdyPdxdxdyyPxQ )(其 中 L是

5、D的 取 正 向 的 邊 界 曲 線 。 例 3計 算 曲 線 積 分 L(x2+xy)dx+(x2+y2)dy，其 中 L是 區(qū) 域 0 x 1， 0 y 1的 邊 界正 向 。 解 令 P（ x,y） =x2+xy Q（ x,y） =x2+y2 由 格 林 公 式 得 10 10 )(yxL dxdyyPxQQdyPdx syms x y P=x2+x*y; Q=x2+y2;I=int(int(diff(Q,x)-diff(P,y),y,0,1),x,0,1) 運 行 結(jié) 果 ： I =1/2二 、 曲 面 積 分1 、 對 面 積 的 曲 面 積 分 若 曲 面 的 方 程 為 :z=z

6、(x,y),則 dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf yxDxy ),(),(1),(,),( 22 例 4 計 算 曲 面 積 分其 中 為 錐 面 被 曲 面 x2+y2=2ax所 截 得 的 部 分 。 dszxyzxy )( 22 yxz 解 ： 步 驟(1)由 的 參 數(shù) 方 程作 曲 面 的 圖 形 和 在 xoy平 面 的 投 影區(qū) 域 Dxy的 圖 形 ； 22 cos2 sincos atarrz try atrx(0t2) (2)建 立 直 角 坐 標 系 下 的 被 積 函 數(shù) ； 221)(),( yx zzzxyzxyyxF (3)將 F(x,y)作 極 坐

7、標 變 換 x=rcost, y=rsint; (4)將 曲 面 積 分 化 為 對 r,t的 二 次 積 分 ta rdrtrFdtdszxyzxy cos2 022 ),()( (5)化 簡 積 分 結(jié) 果 程 序 ： 2、 對 坐 標 的 曲 面 積 分 dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP ),(),(),(化 為 二 次 積 分 xyD dxdyyxzyxRdxdyzyxR ),(,),( yzD dydzzyzyxPdydzzyxP ,),(),( zxD dxdzzzxyxQdxdzzyxQ ),(,),( 例 5計 算 ， 其 中 是 上 半 球 面 的 上 側(cè) 。

8、 dxdyzyxydzdxzyxdydzxz )2()( 2322 222 yxaz 解 步 驟 ：1、 作 上 半 球 面 的 圖 形 及 其 在 三 個 坐 標 平 面 的 投 影 圖 形 ；2 、 計 算 aD DD rdrtrfdttrz try dydzzyaz dydzzyazdydzzyaz dydzxzI yz yzyz 0 10 2222 22222222 21 ),(2sincos2 12222 22222222 3222 )(Idxdzzxax dxdzzxaxdxdzzxax dzdxzyxI zx yzzxD DD aD rdrtrfdttry trx dxdyyxa

9、yxy dxdyzyxyI xy 0 320 2222 23 ),(sincos )2( )2( I I1 I2 I3 3、 高 斯 公 式 設(shè) 空 間 閉 區(qū) 域 是 由 分 片 光 滑 的 閉 曲 面 所 圍 成 ， 函 數(shù) p(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在 上 具 有 一階 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) ， 則 有 RdxdyQdzdxpdydzdvzRyQxP )(例 6用 高 斯 分 式 計 算 例 5 解 分 析 ： 積 分 曲 面 不 是 封 閉曲 面 ， 添 加 平 面 1:z=0 使 構(gòu) 成 封 閉曲 面 1。 步 驟 ：(1)計 算 沿 封 閉 曲 面 的 積

10、分令 P=xz2,Q=x2y-z3,r=2xy+y2z, a drsrtsrFdsdt dvzRyQxP dxdyzyxydzdxzyxdydzxzI 0 22020 23221 )sin(),()( )2()(1 球 面 坐 標 交 換(2)計 算 1上 的 曲 面 積 分 dyxydxxydxdydxdyzyxyI xa xaaaDxy 22 221 )2(2)2( 22 21 2322 )2()(II dxdyzyxydzdxzyxdydzxzI (3) 01 2 dydzxz 0)(1 32 dzdxzyx syms a x y z s r tP=x*z2;Q=x2*y-z2;R=2*

11、x*y+y2*2;f=diff(P,z)+diff(Q,y)+diff(R,z);f=subs(f,x,y,z,r*sin(s)*cos(t), r*sin(s)*sin(t),r*cos(s);I1=int(int(int(f*r2*sin(s),r,0,a),s,0,pi/2), t,0,2*pi) 運 行 結(jié) 果 ： I1 =2/15*a5*pi I2=int(int(2*x*y,y,-sqrt(a2-x2), sqrt(a2-x2),x,-a,a) 運 行 結(jié) 果 ： I2 =0 I=I1-I2 運 行 結(jié) 果 ： I = 2/15*a5*pi 上 機 實 驗 題 1、 計 算 下 列

12、 曲 線 積 分L dsy2 ,其 中 L為 擺 線 一 x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0 t 2 )。 L yx dse 22 ， 其 中 L為 圓 周 x2+y2=a2,直 線 y=x及 軸 在 第 一 象 限 內(nèi) 所 圍 成 的 扇 形 的 整 個 邊 界 。 L dyxyydxxyx )2()2( 22 ,其 中 L是 拋 物 線 y=x2上 從 點 （ 1,1） 到 點 （ 1,1）的 一 段 弧 。 L yx xdyydx )(2 22 ,其 中 L為 圓 周 (x-1)2+y2=2， 逆 時 針 方 向 。 2 、 計 算 下 列 曲 面 積 分 ， 其 中 為 平 面 2x+2y+z=6在 處 一 卦 限 中 的 部 分 . dszxxxy )22( 2(2) ,其 中 是 球 面 x2+y2+z2=R2 的 下 半 部 分 的 下 側(cè) 。 zdxdyyx 22 (3) ， 其 中 是 界 于 z=0和 z=3之 間 的 圓 柱 體 x2+y29 的 整 個 表 面 的 外 側(cè) 。 zdxdyydzdxxdydz