《(江蘇專(zhuān)用)高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過(guò)關(guān)練 第36練 直線與圓錐曲線問(wèn)題 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專(zhuān)用)高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過(guò)關(guān)練 第36練 直線與圓錐曲線問(wèn)題 理(10頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第36練直線與圓錐曲線問(wèn)題題型一直線和橢圓的位置關(guān)系例1如圖所示,橢圓C1:1(ab0)的離心率為,x軸被曲線C2:yx2b截得的線段長(zhǎng)等于C1的短軸長(zhǎng)C2與y軸的交點(diǎn)為M,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A,B,直線MA,MB分別與C1相交于點(diǎn)D,E.(1)求C1,C2的方程;(2)求證:MAMB;(3)記MAB,MDE的面積分別為S1,S2,若,求的取值范圍破題切入點(diǎn)(1)利用待定系數(shù)法求解曲線C1,C2的方程(2)設(shè)出直線AB和曲線C2聯(lián)立,利用坐標(biāo)形式的向量證明(3)將S1和S2分別表示出來(lái),利用基本不等式求最值(1)解由題意,知,所以a22b2.又22b,得b1.所以曲線C2的方程
2、:yx21,橢圓C1的方程:y21.(2)證明設(shè)直線AB:ykx,A(x1,y1),B(x2,y2),由題意,知M(0,1)則x2kx10,(x1,y11)(x2,y21)(k21)x1x2k(x1x2)1(1k2)k210,所以MAMB.(3)解設(shè)直線MA的方程:yk1x1,直線MB的方程:yk2x1,由(2)知k1k21,M(0,1),由解得或所以A(k1,k1)同理,可得B(k2,k1)故S1MAMB|k1|k2|.由解得或所以D(,)同理,可得E(,)故S2MDME,則的取值范圍是,)題型二直線和雙曲線的位置關(guān)系例2已知雙曲線C:x2y21及直線l:ykx1.(1)若l與C有兩個(gè)不同的
3、交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)若l與C交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且AOB的面積為,求實(shí)數(shù)k的值破題切入點(diǎn)(1)聯(lián)立方程組,利用0求出k的取值范圍(2)聯(lián)立方程用根與系數(shù)的關(guān)系求解解(1)雙曲線C與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,整理得(1k2)x22kx20.解得k|x2|時(shí),SOABSOADSOBD(|x1|x2|)|x1x2|;當(dāng)A,B在雙曲線的兩支上且x1x2時(shí),SOABSODASOBD(|x1|x2|)|x1x2|.SOAB|x1x2|,(x1x2)2(2)2,即()28,解得k0或k.又k0,b0)的上焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,B為虛軸的端點(diǎn),離心率e,且SAB
4、F1.拋物線N的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)為F.(1)求雙曲線M和拋物線N的方程;(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線N相切于點(diǎn)P,與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q,則以PQ為直徑的圓是否恒過(guò)y軸上的一個(gè)定點(diǎn)?如果是,試求出該點(diǎn)的坐標(biāo),如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由破題切入點(diǎn)(1)根據(jù)雙曲線的性質(zhì),用a,c表示已知條件,建立方程組即可求解雙曲線的方程,然后根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求出拋物線的方程(2)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程,并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),然后根據(jù)圓的性質(zhì)列出關(guān)于點(diǎn)P的坐標(biāo)的方程,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程恒成立的問(wèn)題來(lái)解決解(1)在雙曲線中,c,由e,得,解得ab,故c2b.所以SABF(ca)b(2bb)b1,解得b
5、1.所以a,c2,其上焦點(diǎn)為F(0,2)所以雙曲線M的方程為x21,拋物線N的方程為x28y.(2)由(1)知拋物線N的方程為yx2,故yx,拋物線的準(zhǔn)線為y2.設(shè)P(x0,y0),則x00,y0x,且直線l的方程為yxx0(xx0),即yx0xx.由得所以Q(,2)假設(shè)存在點(diǎn)R(0,y1),使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)該點(diǎn),也就是0對(duì)于滿足y0x(x00)的x0,y0恒成立由于(x0,y0y1),(,2y1),由0,得x0(y0y1)(2y1)0,整理得2y0y0y12y1y0,即(y2y18)(2y1)y00,(*)由于(*)式對(duì)滿足y0x(x00)的x0,y0恒成立,所以解得y12.故以PQ
6、為直徑的圓恒過(guò)y軸上的定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)總結(jié)提高直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題,萬(wàn)變不離其宗,構(gòu)建屬于自己的解題模板,形成一定的解題思路,利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)加以解決1已知圓C:(x1)2y28,定點(diǎn)A(1,0),M為圓上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在AM上,點(diǎn)N在CM上,且滿足2,0,點(diǎn)N的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)若直線ykx與(1)中所求點(diǎn)N的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)F,H,O是坐標(biāo)原點(diǎn),且,求k2的取值范圍解(1)如圖所示,連結(jié)NA.由2,0,可知NP所在直線為線段AM的垂直平分線,所以NANM,所以NCNANCNM22CA,所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以C(1,0),A(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓,
7、且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a2,焦距2c2,即a,c1,b1.故曲線E的方程為y21.(2)設(shè)F(x1,y1),H(x2,y2)由消去y,得(2k21)x24kx2k20,8k20,由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1x2,x1x2,所以x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)k21k21.由,得,解得k21.2(2013廣東)已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)F(0,c)(c0)到直線l:xy20的距離為.設(shè)P為直線l上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點(diǎn)(1)求拋物線C的方程;(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程;(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線
8、l上移動(dòng)時(shí),求AFBF的最小值解(1)依題意知,c0,解得c1.所以拋物線C的方程為x24y.(2)由yx2得yx,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則切線PA,PB的斜率分別為x1,x2,所以切線PA的方程為yy1(xx1),即yxy1,即x1x2y2y10.同理可得切線PB的方程為x2x2y2y20,又點(diǎn)P(x0,y0)在切線PA和PB上,所以x1x02y02y10,x2x02y02y20,所以(x1,y1),(x2,y2)為方程x0x2y02y0 的兩組解,所以直線AB的方程為x0x2y2y00.(3)由拋物線定義知AFy11,BFy21,所以AFBF(y11)(y21)y1y2(y
9、1y2)1,聯(lián)立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0,y1y2x2y0,y1y2y,AFBFy1y2(y1y2)1yx2y01y(y02)22y012y2y0522,當(dāng)y0時(shí),AFBF取得最小值,且最小值為.3(2013浙江)如圖,點(diǎn)P(0,1)是橢圓C1:1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn),C1的長(zhǎng)軸是圓C2:x2y24的直徑l1,l2是過(guò)點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A,B兩點(diǎn),l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.(1)求橢圓C1的方程;(2)求ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程解(1)由題意得所以橢圓C1的方程為y21.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0)由題意知直線l
10、1的斜率存在,不妨設(shè)其為k,則直線l1的方程為ykx1.又圓C2:x2y24,故點(diǎn)O到直線l1的距離d,所以AB22 .又l2l1,故直線l2的方程為xkyk0.由消去y,整理得(4k2)x28kx0,故x0.所以PD.設(shè)ABD的面積為S,則SABPD,所以S,當(dāng)且僅當(dāng)k時(shí)取等號(hào)所以所求直線l1的方程為yx1.4已知雙曲線E:1(a0,b0)的焦距為4,以原點(diǎn)為圓心,實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑的圓和直線xy0相切(1)求雙曲線E的方程;(2)已知點(diǎn)F為雙曲線E的左焦點(diǎn),試問(wèn)在x軸上是否存在一定點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M任意作一條直線交雙曲線E于P,Q兩點(diǎn)(P在Q點(diǎn)左側(cè)),使為定值?若存在,求出此定值和所有的定點(diǎn)M的坐標(biāo)
11、;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由題意知a,a.又2c4,c2,b1.雙曲線E的方程為y21.(2)當(dāng)直線為y0時(shí),則P(,0),Q(,0),F(xiàn)(2,0),(2,0)(2,0)1.當(dāng)直線不為y0時(shí),可設(shè)l:xtym(t)代入E:y21,整理得(t23)y22mtym230(t)(*)由0得m2t23.設(shè)方程(*)的兩個(gè)根為y1,y2,滿足y1y2,y1y2,(ty1m2,y1)(ty2m2,y2)(t21)y1y2t(m2)(y1y2)(m2)2.當(dāng)且僅當(dāng)2m212m153時(shí),為定值,解得m13,m23(舍去)綜上,過(guò)定點(diǎn)M(3,0)任意作一條直線交雙曲線E于P,Q兩點(diǎn),使1為定值5已知過(guò)拋物線
12、y22px(p0)的焦點(diǎn),斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10,y00),則切線斜率為,切線方程為yy0(xx0),即x0xy0y4,此時(shí),兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S.由xy42x0y0知當(dāng)且僅當(dāng)x0y0時(shí),x0y0有最大值,即S有最小值,因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)由題意知解得故C1的方程為x21.(2)由(1)知C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),(,0),由此設(shè)C2的方程為1,其中b10.由P(,)在C2上,得1,解得b3,因此C2的方程為1.顯然,l不是直線y0.設(shè)l的方程為xmy,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m22)y22my30,又設(shè)y1,y2是方程的根,因此由x1my1,x2my2,得因?yàn)?x1,y1),(x2,y2),由題意知0,所以x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)40,將代入整理得2m22m4110,解得m1或m1.因此直線l的方程為x(1)y0或x(1)y0.