《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過(guò)關(guān)練 第35練 與拋物線相關(guān)的熱點(diǎn)問(wèn)題 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過(guò)關(guān)練 第35練 與拋物線相關(guān)的熱點(diǎn)問(wèn)題 理(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第35練與拋物線相關(guān)的熱點(diǎn)問(wèn)題題型一拋物線的定義及其應(yīng)用例1設(shè)P是拋物線y24x上的一動(dòng)點(diǎn),(1)求點(diǎn)P到A(1,1)的距離與點(diǎn)P到直線x1的距離之和的最小值;(2)若B(3,2),拋物線的焦點(diǎn)為F,求PBPF的最小值破題切入點(diǎn)畫出圖形,結(jié)合拋物線的定義,轉(zhuǎn)化為共線問(wèn)題解(1)由于A(1,1),F(xiàn)(1,0),P是拋物線上的任意一點(diǎn),則APPFAF,從而知點(diǎn)P到A(1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和的最小值為,所以點(diǎn)P到A(1,1)的距離與P到直線x1的距離之和的最小值也為.(2)如圖所示,自點(diǎn)B作BQ垂直于拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)Q,交拋物線于點(diǎn)P1,此時(shí)P1QP1F,那么PBPFP1BP1
2、QBQ4,即PBPF的最小值為4.題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)例2(1)設(shè)M(x0,y0)為拋物線C:x28y上一點(diǎn),F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn),以F為圓心、FM為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交,則y0的取值范圍是_(2)如圖所示是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l時(shí),拱頂離水面2 m,水面寬4 m水位下降1 m后,水面寬_ m.破題切入點(diǎn)準(zhǔn)確求出拋物線方程并結(jié)合其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)作答答案(1)(2,)(2)2解析(1)x28y,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2),準(zhǔn)線方程為y2.由拋物線的定義知FMy02.以F為圓心、FM為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y2)2(y02)2.由于以F為圓心、FM為半徑的圓與準(zhǔn)線相交,又圓心F到準(zhǔn)
3、線的距離為4,故42.(2)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x22py(p0),則A(2,2),將其坐標(biāo)代入x22py得p1.x22y.水位下降1 m,得D(x0,3)(x00),將其坐標(biāo)代入x22y,得x6,x0.水面寬CD2 m.題型三直線和拋物線的位置關(guān)系例3已知拋物線C:y22px(p0)過(guò)點(diǎn)A(1,2)(1)求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程;(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于?若存在,求直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由破題切入點(diǎn)(1)將點(diǎn)代入易求方程(2)假設(shè)存在,根據(jù)條件求出,注意驗(yàn)證解(1)將(1
4、,2)代入y22px,得(2)22p1,所以p2.故所求的拋物線C的方程為y24x,其準(zhǔn)線方程為x1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y2xt.由得y22y2t0.因?yàn)橹本€l與拋物線C有公共點(diǎn),所以48t0,解得t.由直線OA到l的距離d,可得,解得t1.又因?yàn)?,),1,),所以符合題意的直線l存在,其方程為2xy10.總結(jié)提高(1)拋物線沒(méi)有中心,只有一個(gè)頂點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn),一條準(zhǔn)線,一條對(duì)稱軸且離心率為e1,所以與橢圓、雙曲線相比,它有許多特殊性質(zhì),可以借助幾何知識(shí)來(lái)解決(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式,要掌握拋物線的方程與圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系,將拋物線y22px關(guān)于y軸、直線xy0與xy
5、0對(duì)稱變換可以得到拋物線的其他三種形式;或者將拋物線y22px繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90或180也可以得到拋物線的其他三種形式,這是它們的內(nèi)在聯(lián)系(3)拋物線的焦點(diǎn)弦:設(shè)過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2p2,x1x2;若直線AB的傾斜角為,則AB;若F為拋物線焦點(diǎn),則有.1已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,拋物線上的點(diǎn)P(m,2)到焦點(diǎn)的距離為4,則m的值為_答案4或4解析設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p0),由定義知P到準(zhǔn)線的距離為4,故24,所以p4,則方程為x28y,代入P點(diǎn)坐標(biāo)得m4.2若拋物線y28x的焦點(diǎn)是F,準(zhǔn)線是l,則經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,
6、M(3,3)且與l相切的圓共有_個(gè)答案1解析由題意得F(2,0),l:x2,線段MF的垂直平分線方程為y(x),即x3y70,設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為(a,b),則圓心在x3y70上,故a3b70,a73b,由題意得|a(2)|,即b28a8(73b),即b224b560.又b0,故此方程只有一個(gè)根,于是滿足題意的圓只有一個(gè)3已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F,P、Q是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn),若PQF是邊長(zhǎng)為2的正三角形,則p的值是_答案2解析依題意得F(,0),設(shè)P(,y1),Q(,y2)(y1y2)由拋物線定義及PFQF,得,yy,y1y2.又PQ2,因此|y1|y2|1,點(diǎn)P(,y1)又點(diǎn)P位于該
7、拋物線上,于是由拋物線的定義得PF2,由此解得p2.4(2014課標(biāo)全國(guó)改編)設(shè)F為拋物線C:y23x的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則OAB的面積為_答案解析由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(,0),因此直線AB的方程為y(x),即4x4y30.方法一聯(lián)立拋物線方程化簡(jiǎn)得4y212y90,故|yAyB|6.因此SOABOF|yAyB|6.方法二聯(lián)立方程得x2x0,故xAxB.根據(jù)拋物線的定義有ABxAxBp12,同時(shí)原點(diǎn)到直線AB的距離為h,因此SOABABh.5已知拋物線y28x的準(zhǔn)線為l,點(diǎn)Q在圓C:x2y22x8y130上,記拋物線上任意一點(diǎn)P到直線l的距離為d,則
8、dPQ的最小值為_答案3解析如圖所示,由題意,知拋物線y28x的焦點(diǎn)為F(2,0),連結(jié)PF,則dPF.圓C的方程配方,得(x1)2(y4)24,圓心為C(1,4),半徑r2.dPQPFPQ,顯然,PFPQFQ(當(dāng)且僅當(dāng)F,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào))而FQ為圓C上的動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F的距離,顯然當(dāng)F,Q,C三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值,最小值為CFr2523.6過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)若AF3,則AOB的面積為_答案解析如圖所示,由題意知,拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),又AF3,由拋物線定義知:點(diǎn)A到準(zhǔn)線x1的距離為3,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.將x2代入y24x得y2
9、8,由圖知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y2,A(2,2),直線AF的方程為y2(x1)聯(lián)立直線與拋物線的方程解之得或由圖知B,SAOBOF|yAyB|1|2|.7過(guò)拋物線y22x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若AB,AFBF,則AF_.答案解析2,ABAFBF,AF0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線1相交于A、B兩點(diǎn),若ABF為等邊三角形,則p_.答案6解析因?yàn)锳BF為等邊三角形,所以由題意知B,代入方程1得p6.11(2014大綱全國(guó))已知拋物線C:y22px(p0)的焦點(diǎn)為F,直線y4與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且QFPQ.(1)求C的方程;(2)過(guò)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),若AB的垂直平分
10、線l與C相交于M、N兩點(diǎn),且A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上,求l的方程解(1)設(shè)Q(x0,4),代入y22px得x0.所以PQ,QFx0.由題設(shè)得,解得p2(舍去)或p2.所以C的方程為y24x.(2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)l的方程為xmy1(m0)代入y24x,得y24my40.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y24m,y1y24.故設(shè)AB的中點(diǎn)為D(2m21,2m),AB|y1y2|4(m21)又l的斜率為m,所以l的方程為xy2m23.將上式代入y24x,并整理得y2y4(2m23)0.設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),則y3y4,y3y44(2m23)故設(shè)MN的
11、中點(diǎn)為E(2m23,),MN |y3y4|,由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于AEBEMN,從而AB2DE2MN2,即4(m21)2(2)2(2m)2,化簡(jiǎn)得m210,解得m1或m1.所求直線l的方程為xy10或xy10.12(2014湖北)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)設(shè)斜率為k的直線l過(guò)定點(diǎn)P(2,1),求直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍解(1)設(shè)點(diǎn)M(x,y),依題意得MF|x|1,即|x|1,化簡(jiǎn)整理得y22(|x|x)故點(diǎn)M的軌跡C
12、的方程為y2(2)在點(diǎn)M的軌跡C中,記C1:y24x(x0),C2:y0(x0)依題意,可設(shè)直線l的方程為y1k(x2)由方程組可得ky24y4(2k1)0.(*1)當(dāng)k0時(shí),此時(shí)y1.把y1代入軌跡C的方程,得x.故此時(shí)直線l:y1與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)(,1)當(dāng)k0時(shí),方程(*1)根的判別式為16(2k2k1)(*2)設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為(x0,0),則由y1k(x2),令y0,得x0.(*3)()若由(*2)(*3)解得k.即當(dāng)k(,1)(,)時(shí),直線l與C1沒(méi)有公共點(diǎn),與C2有一個(gè)公共點(diǎn),故此時(shí)直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)()若或由(*2)(*3)解得k1,或k0.即當(dāng)k1,時(shí),直線l與C1只有一個(gè)公共點(diǎn),與C2有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)k,0)時(shí),直線l與C1有兩個(gè)公共點(diǎn),與C2沒(méi)有公共點(diǎn)故當(dāng)k,0)1,時(shí),直線l與軌跡C恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)()若由(*1)(*2)解得1k或0k.即當(dāng)k(1,)(0,)時(shí),直線l與C1有兩個(gè)公共點(diǎn),與C2有一個(gè)公共點(diǎn),故此時(shí)直線l與軌跡C恰好有三個(gè)公共點(diǎn)綜合可知,當(dāng)k(,1)(,)0時(shí),直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)k,0)1,時(shí),直線l與軌跡C恰好有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)k(1,)(0,)時(shí),直線l與軌跡C恰好有三個(gè)公共點(diǎn)