《（江蘇專用）高考數(shù)學大一輪復(fù)習 高考專題突破四 高考中的立體幾何問題教師用書 文 蘇教版-蘇教版高三數(shù)學試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）高考數(shù)學大一輪復(fù)習 高考專題突破四 高考中的立體幾何問題教師用書 文 蘇教版-蘇教版高三數(shù)學試題（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、高考專題突破四 高考中的立體幾何問題1.正三棱柱ABCA1B1C1中，D為BC中點，E為A1C1中點，則DE與平面A1B1BA的位置關(guān)系為_.答案平行解析如圖取B1C1的中點為F，連結(jié)EF，DF，DE，則EFA1B1，DFB1B，平面EFD平面A1B1BA，DE平面A1B1BA.2.設(shè)x、y、z是空間不同的直線或平面，對下列四種情形：x、y、z均為直線；x、y是直線，z是平面；z是直線，x、y是平面；x、y、z均為平面.其中使“xz且yzxy”為真命題的是_.答案解析由正方體模型可知為假命題；由線面垂直的性質(zhì)定理可知為真命題.3.(2016無錫模擬)如圖，在棱長為6的正方體ABCDA1B1C1

2、D1中，E，F(xiàn)分別在C1D1與C1B1上，且C1E4，C1F3，連結(jié)EF，F(xiàn)B，DE，BD，則幾何體EFC1DBC的體積為_.答案66解析如圖，連結(jié)DF，DC1，那么幾何體EFC1DBC被分割成三棱錐DEFC1及四棱錐DCBFC1，那么幾何體EFC1DBC的體積為V346(36)66125466.故所求幾何體EFC1DBC的體積為66.4.如圖，在四棱錐VABCD中，底面ABCD為正方形，E、F分別為側(cè)棱VC、VB上的點，且滿足VC3EC，AF平面BDE，則_.答案2解析連結(jié)AC交BD于點O，連結(jié)EO，取VE的中點M，連結(jié)AM，MF，VC3EC，VMMEEC，又AOCO，AMEO，又EO平面B

3、DE，AM平面BDE，又AF平面BDE，AMAFA，平面AMF平面BDE，又MF平面AMF，MF平面BDE，又MF平面VBC，平面VBC平面BDEBE，MFBE，VFFB，2.5.如圖，在三棱錐PABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點.若PAAC，PA6，BC8，DF5.則直線PA與平面DEF的位置關(guān)系是_；平面BDE與平面ABC的位置關(guān)系是_.(填“平行”或“垂直”)答案平行垂直解析因為D，E分別為棱PC，AC的中點，所以DEPA.又因為PA平面DEF，DE平面DEF，所以直線PA平面DEF.因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，

4、EFBC4.又因為DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因為ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC，又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.題型一求空間幾何體的表面積與體積例1(2016全國甲卷)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點H，將DEF沿EF折到DEF的位置.(1)證明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱錐D-ABCFE的體積.(1)證明由已知得ACBD，ADCD，又由AECF得，故ACEF，由此得EFHD，折后EF與HD

5、保持垂直關(guān)系，即EFHD，所以ACHD.(2)解由EFAC得.由AB5，AC6得DOBO4，所以O(shè)H1，DHDH3，于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面DHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，所以O(shè)D平面ABC.又由得EF.五邊形ABCFE的面積S683.所以五棱錐D-ABCFE的體積V2.思維升華(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進行求解.其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來求三棱錐的體積.(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解.

6、(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內(nèi)有一個球與它的四個面都相切(如圖).求：(1)這個正三棱錐的表面積；(2)這個正三棱錐內(nèi)切球的表面積與體積.解(1)底面正三角形中心到一邊的距離為2，則正棱錐側(cè)面的斜高為.S側(cè)329.S表S側(cè)S底9(2)296.(2)設(shè)正三棱錐PABC的內(nèi)切球的球心為O，連結(jié)OP，OA，OB，OC，而O點到三棱錐的四個面的距離都為球的半徑r.VPABCVOPABVOPBCVOPACVOABCS側(cè)rSABCrS表r(32)r.又VPABC(2)212，(32)r2，得r2.S內(nèi)切球4(2)2

7、(4016).V內(nèi)切球(2)3(922).題型二空間點、線、面的位置關(guān)系例2(2016揚州模擬)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點.(1)求證：平面ABE平面B1BCC1；(2)求證：C1F平面ABE；(3)求三棱錐EABC的體積.(1)證明在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC.因為AB平面ABC，所以BB1AB.又因為ABBC，BCBB1B，所以AB平面B1BCC1.又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.(2)證明方法一如圖1，取AB中點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G.因為E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的

8、中點，所以FGAC，且FGAC.因為ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四邊形FGEC1為平行四邊形，所以C1FEG.又因為EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.方法二如圖2，取AC的中點H，連結(jié)C1H，F(xiàn)H.因為H，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，所以HFAB，又因為E，H分別是A1C1，AC的中點，所以EC1綊AH，所以四邊形EAHC1為平行四邊形，所以C1HAE，又C1HHFH，AEABA，所以平面ABE平面C1HF，又C1F平面C1HF，所以C1F平面ABE.(3)解因為AA1AC2，BC1，ABBC，所以AB.所以三棱錐EABC的體積VSABC

9、AA112.思維升華(1)證明面面垂直，將“面面垂直”問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”問題，再將“線面垂直”問題轉(zhuǎn)化為“線線垂直”問題.證明C1F平面ABE：()利用判定定理，關(guān)鍵是在平面ABE中找(作)出直線EG，且滿足C1FEG.()利用面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行，則先要確定一個平面C1HF滿足面面平行，實施線面平行與面面平行的轉(zhuǎn)化.(2)計算幾何體的體積時，能直接用公式時，關(guān)鍵是確定幾何體的高，不能直接用公式時，注意進行體積的轉(zhuǎn)化.(2016南京模擬)如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.過A作AFSB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點.求證：(1)平面

10、EFG平面ABC；(2)BCSA.證明(1)由ASAB，AFSB知F為SB中點，則EFAB，F(xiàn)GBC，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC.(2)由平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC，則AFBC.又BCAB，AFABA，則BC平面SAB，又SA平面SAB，因此BCSA.題型三平面圖形的翻折問題例3(2015陜西)如圖1，在直角梯形 ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將ABE沿BE折起到圖2中A1BE的位置，得到四棱錐A1BCDE.(1)證明：CD平面A1OC；(2)當平面A

11、1BE平面BCDE時，四棱錐A1BCDE的體積為36，求a的值.(1)證明在題圖1中，連結(jié)EC，因為ABBCADa，BAD，ADBC，E為AD中點，所以BC綊ED，BC綊AE，所以四邊形BCDE為平行四邊形，故有CDBE，所以四邊形ABCE為正方形，所以BEAC，即在題圖2中，BEA1O，BEOC，且A1OOCO，從而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)解由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)知，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱錐A1BCDE的高，由題圖1知，A1OABa，平行四邊形BCDE的面積SBCABa2，從而

12、四棱錐A1BCDE的體積為VSA1Oa2aa3，由a336，得a6.思維升華平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.一般地，翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.(2016蘇州模擬)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如圖(2)折疊，折痕EFDC.其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后，點P疊在線段AD上的點記為M，并且MFCF.(1)證明：CF平面MDF；(2)求三棱錐MCDE的體積.(1)證明因為PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又因為ABCD是矩形，CD

13、AD，PD與CD交于點D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF.(2)解因為PDDC，PC2，CD1，PCD60，所以PD，由(1)知FDCF，在直角三角形DCF中，CFCD.如圖，過點F作FGCD交CD于點G，得FGFCsin 60，所以DEFG，故MEPE，所以MD .SCDEDEDC1.故VMCDEMDSCDE.題型四立體幾何中的存在性問題例4如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，平面BMD1N與棱CC1，AA1分別交于點M，N，且M，N均為中點.(1)求證：AC平面BMD1N.(2)若ADCD2，DD12，O為A

14、C的中點.BD1上是否存在動點F，使得OF平面BMD1N？若存在，求出點F的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由.(1)證明連結(jié)MN.因為M，N分別為CC1，AA1的中點，所以ANAA1，CMCC1.又因為AA1CC1，且AA1CC1，所以ANCM，且ANCM，所以四邊形ACMN為平行四邊形，所以ACMN.因為MN平面BMD1N，AC平面BMD1N，所以AC平面BMD1N.(2)解當點F滿足D1F3BF時，OF平面BMD1N，證明如下：連結(jié)BD，則BD經(jīng)過點O，取BD1的中點G，連結(jié)OF，DG，又D1F3BF，所以O(shè)F為三角形BDG的中位線，所以O(shè)FDG.因為BD2DD1，且G為BD1的中點

15、，所以BD1DG，所以BD1OF.因為底面ABCD為正方形，所以ACBD.又DD1底面ABCD，所以ACDD1，又BDDD1D，所以AC平面BDD1，又OF平面BDD1，所以ACOF.由(1)知ACMN，所以MNOF.又MN，BD1是平面四邊形BMD1N的對角線，所以它們必相交，所以O(shè)F平面BMD1N.思維升華對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在這假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè).(2016鎮(zhèn)江模擬)如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC.(1)

16、求證：D1CAC1；(2)問在棱CD上是否存在點E，使D1E平面A1BD.若存在，確定點E位置；若不存在，說明理由.(1)證明在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，連結(jié)C1D，DCDD1，四邊形DCC1D1是正方形，DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1D，AD平面DCC1D1，又D1C平面DCC1D1，ADD1C.AD平面ADC1，DC1平面ADC1，且ADDC1D，D1C平面ADC1，又AC1平面ADC1，D1CAC1.(2)解假設(shè)存在點E，使D1E平面A1BD.連結(jié)AD1，AE，D1E，設(shè)AD1A1DM，BDAEN，連結(jié)MN，平面AD1E平面A1BDMN，要使D1E平面A1BD

17、，可使MND1E，又M是AD1的中點，則N是AE的中點.又易知ABNEDN，ABDE.即E是DC的中點.綜上所述，當E是DC的中點時，可使D1E平面A1BD.1.(2016連云港模擬)如圖所示，已知平面平面l，.A，B是直線l上的兩點，C，D是平面內(nèi)的兩點，且ADl，CBl，DA4，AB6，CB8.P是平面上的一動點，且有APDBPC，則四棱錐PABCD體積的最大值是_.答案24解析由題意知，PAD，PBC是直角三角形，又APDBPC，所以PADPBC.因為DA4，CB8，所以PB2PA.作PMAB于點M，由題意知，PM.令A(yù)Mt(0t6)，則PA2t24PA2(6t)2，所以PA2124t.

18、所以PM，即為四棱錐PABCD的高，又底面ABCD為直角梯形，S(48)636.所以V36121224.2.(2016南京模擬)已知，是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，l，m.給出下列命題：lm；lm；ml；lm.其中正確的命題是_.(填寫所有正確命題的序號)答案解析若l，則l，又m，則lm，故正確；若l，則l或l，又m，則l與m可能平行、相交或異面，故錯誤；若l，m，則lm，又m，則l與可能平行、相交或l，故錯誤；若l，l，則，又m，則m，故正確.綜上，正確的命題是.3.(2016蘇州模擬)如圖，ABCDA1B1C1D1為正方體，連結(jié)BD，AC1，B1D1，CD1，B1C，現(xiàn)有以下幾

19、個結(jié)論：BD平面CB1D1；AC1平面CB1D1；CB1與BD為異面直線.其中所有正確結(jié)論的序號為_.答案解析由題意可知，BDB1D1，又B1D1平面CB1D1，BD平面CB1D1，所以BD平面CB1D1，正確；易知AC1B1D1，AC1B1C，又B1D1B1CB1，所以AC1平面CB1D1，正確；由異面直線的定義可知正確.4.(2016泰州二模)如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E、F分別是AB、CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折，給出四個結(jié)論：DFBC；BDFC；平面DBF平面BFC；平面DCF平面BFC.在翻折過程中，可能成立的結(jié)論是_.(填寫

20、結(jié)論序號)答案解析因為BCAD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，則錯誤；設(shè)點D在平面BCF上的射影為點P，當BPCF時就有BDFC，而ADBCAB234，可使條件滿足，所以正確；當點P落在BF上時，DP平面BDF，從而平面BDF平面BCF，所以正確；因為點D的射影不可能在FC上，所以平面DCF平面BFC不成立，即錯誤.故答案為.5.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點，當_時，D1E平面AB1F.答案1解析如圖，連結(jié)A1B，則A1B是D1E在平面ABB1A1內(nèi)的射影.AB1A1B，D1EAB1，又D1E平面AB1FD1EAF.連結(jié)DE，

21、則DE是D1E在底面ABCD內(nèi)的射影，D1EAFDEAF.ABCD是正方形，E是BC的中點，當且僅當F是CD的中點時，DEAF，即當點F是CD的中點時，D1E平面AB1F，1時，D1E平面AB1F.6.(2016連云港模擬)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，ABAC，點E是BC上一點，且平面BB1C1C平面AB1E.(1)求證：AEBC；(2)求證：A1C平面AB1E.證明(1)過點B在平面BB1C1C內(nèi)作BFB1E，平面BB1C1C平面AB1E，平面BB1C1C平面AB1EB1E，BF平面AB1E.AE平面AB1E，BFAE.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，

22、AE平面ABC，BB1AE.BB1BFB，AE平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，AEBC.(2)連結(jié)A1B，設(shè)A1BAB1G，連結(jié)GE，AEBC，ABAC，BECE，又A1GBG，GE是A1BC的中位線，GEA1C.GE平面AB1E，A1C平面AB1E，A1C平面AB1E.7.(2016南通、揚州、泰州聯(lián)考)如圖，在四棱錐PABCD中，PC平面PAD，ABCD，CD2AB2BC，M，N分別是棱PA，CD的中點.(1)求證：PC平面BMN；(2)求證：平面BMN平面PAC.證明(1)設(shè)ACBNO，連結(jié)MO，AN，因為ABCD，ABCD，N為CD的中點，所以ABCN，且ABCN，所以四邊形A

23、BCN為平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點，又M為PA的中點，所以MOPC.又因為MO平面BMN，PC平面BMN，所以PC平面BMN.(2)方法一因為PC平面PDA，AD平面PDA，所以PCAD.由(1)同理可得，四邊形ABND為平行四邊形，所以ADBN，所以BNPC，因為BCAB，所以平行四邊形ABCN為菱形，所以BNAC.因為PCACC，所以BN平面PAC.因為BN平面BMN，所以平面BMN平面PAC.方法二連結(jié)PN，因為PC平面PDA，PA平面PDA，所以PCPA.因為PCMO，所以PAMO.又PCPD.因為N為CD的中點，所以PNCD，由(1)得ANBCCD，所以ANPN，又因為M為PA的

24、中點，所以PAMN，因為MNMOM，所以PA平面BMN.因為PA平面PAC，所以平面PAC平面BMN.8.(2016北京東城區(qū)一模)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，點O是對角線AC與BD的交點，AB2，BAD60，M是PD的中點.(1)求證：OM平面PAB；(2)求證：平面PBD平面PAC.(3)當三棱錐CPBD的體積等于時，求PA的長.(1)證明因為在PBD中，O，M分別是BD，PD的中點，所以O(shè)MPB.又OM平面PAB，PB平面PAB，所以O(shè)M平面PAB.(2)證明因為底面ABCD是菱形，所以BDAC.因為PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.

25、又ACPAA，所以BD平面PAC.又BD平面PBD，所以平面PBD平面PAC.(3)解因為底面ABCD是菱形，且AB2，BAD60，所以SBCD.又VCPBDVPBCD，三棱錐PBCD的高為PA，所以PA，解得PA.9.(2016鹽城測試)如圖，已知三棱柱ABCABC中，平面BCCB底面ABC，BBAC，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA3，E，F(xiàn)分別在棱AA，CC上，且AECF2.(1)求證：BB底面ABC；(2)在棱AB上找一點M，使得CM平面BEF，并給出證明.(1)證明如圖，取BC的中點O，連結(jié)AO，三角形ABC是等邊三角形，AOBC.平面BCCB底面ABC，AO平面ABC，平面BCCB平面ABCBC，AO平面BCCB.又BB平面BCCB，AOBB.又BBAC，AOACA，AO平面ABC，AC平面ABC，BB底面ABC.(2)解顯然點M不是點A，B，若棱AB上存在一點M，使得CM平面BEF，過點M作MNAA交BE于N，連結(jié)FN，MC，MNCF，即CM和FN共面，又平面MNFC平面BEFFN，CMFN，四邊形CMNF為平行四邊形，MN2，MN是梯形ABBE的中位線，M為AB的中點.故當M為AB的中點時，CM平面BEF.