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1、 軸向拉伸與壓縮一、軸力和軸力圖軸力是軸向拉壓桿在橫截面上的內(nèi)力，軸力的作用線(xiàn)與桿件的軸線(xiàn)重合。軸力的正負(fù)號(hào)規(guī)定：拉力為正，壓力為負(fù)。軸力圖是描述軸力沿桿件橫截面位置的變化情況。根據(jù)軸力圖可確定桿件上最大軸力的數(shù)值及其所在截面的位置（即危險(xiǎn)截面的位置）。二、軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力 正應(yīng)力在橫截面上均勻分布。三、軸向拉壓桿的強(qiáng)度條件為了保證拉壓桿件在工作時(shí)不致因強(qiáng)度不夠而破壞，桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用應(yīng)力，即強(qiáng)度條件為 利用強(qiáng)度條件一般可以解決三類(lèi)強(qiáng)度問(wèn)題：（1）校核強(qiáng)度（2）選擇截面尺寸 （3）確定承載能力 四、軸向拉壓桿的變形計(jì)算和胡克定律1、胡克定律：在比例極限范圍內(nèi)，正應(yīng)力

2、與正應(yīng)變成正比，即 2、軸向拉壓桿的變形計(jì)算當(dāng)拉壓桿為等截面常軸力桿件時(shí)，桿件的軸向變形為 3、橫向變形與泊松比軸向拉伸時(shí)，桿沿軸向伸長(zhǎng)，其橫向尺寸減小，軸向壓縮時(shí)，桿沿軸向縮短，其橫向尺寸增大，即橫向正應(yīng)變與軸向正應(yīng)變恒為異號(hào)。在比例極限范圍內(nèi)，橫向正應(yīng)變與軸向正應(yīng)變成正比，即 或 五、材料的力學(xué)性能1、低碳鋼的拉伸力學(xué)性能低碳鋼在拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線(xiàn)具有明顯的四個(gè)階段，即線(xiàn)性階段、屈服階段、硬化階段和頸縮階段。其中，屈服極限表示材料出現(xiàn)塑性變形，強(qiáng)度極限表示材料喪失承載能力。和是衡量材料強(qiáng)度的兩個(gè)重要強(qiáng)度指標(biāo)。2、低碳鋼的壓縮力學(xué)性能低碳鋼在壓縮時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線(xiàn)在屈服之前與拉伸的應(yīng)

3、力應(yīng)變關(guān)系曲線(xiàn)基本重合，拉伸與壓縮時(shí)的應(yīng)力指標(biāo)、和彈性模量E基本相同。不同之處在于隨著壓力的不斷增加，低碳鋼試件越壓越扁，無(wú)法測(cè)定其強(qiáng)度極限。3、衡量塑性的兩個(gè)指標(biāo)（1）材料的伸長(zhǎng)率 （2）斷面收縮率 4、灰口鑄鐵的力學(xué)性能在拉伸實(shí)驗(yàn)時(shí)，灰口鑄鐵從開(kāi)始受力到斷裂，變形非常小，沒(méi)有屈服和頸縮階段，是一種脆性材料。衡量拉伸強(qiáng)度的惟一指標(biāo)是拉伸強(qiáng)度極限。在壓縮實(shí)驗(yàn)中，灰口鑄鐵的強(qiáng)度極限遠(yuǎn)高于拉伸時(shí)的強(qiáng)度極限（約為34倍）。因此，在工程中宜用作承壓構(gòu)件。例1：如圖所示階梯形直桿，AB段橫截面面積A1300mm2，BC段橫截面面積，材料的彈性模量E200GPa，求（1）桿的軸力圖；（2）各段桿橫截面上的

4、應(yīng)力；（3）計(jì)算桿AC的總變形。例 1 圖（a）【分析】無(wú)論求應(yīng)力還是求變形，都必須知道橫截面上的軸力，因此應(yīng)先求出各截面的軸力。然后按應(yīng)力和變形的計(jì)算公式計(jì)算。解：（1）作桿的軸力圖分別用截面1-1，2-2將桿AC截開(kāi)，取左段為分離體，如圖（a）所示。由平衡方程得AB段軸力： （壓力）BC段軸力： （拉力）軸力圖如圖（b）所示。（2）計(jì)算各段桿橫截面上的應(yīng)力AB段： 軸力圖例1 圖（b）（壓應(yīng)力）BC段： （拉應(yīng)力）（3）計(jì)算桿AC的總變形桿AC的總變形等于A(yíng)B段和BC段的軸向變形之和。即AB段： （縮短）BC段： （伸長(zhǎng)）所以 （縮短）例2：鋼木構(gòu)架如圖所示，桿BC為鋼制圓桿，橫截面面積為

5、A1600mm2，許用拉應(yīng)力為；桿AC為木桿，橫截面面積為A210000mm2，許用壓應(yīng)力。試求：（1）若P10KN，校核兩桿的強(qiáng)度；（2）確定該構(gòu)架的許用載荷P；（3）根據(jù)許用載荷，試重新選擇桿BC的直徑。例 2 圖（a）例 2 圖【分析】根據(jù)所示構(gòu)架可知桿AC和BC是二力桿，在外載荷P作用下，產(chǎn)生軸向拉力或壓力。因此當(dāng)桿件截面尺寸、許用應(yīng)力和外載荷已知時(shí)，若要校核強(qiáng)度，其關(guān)鍵在于求解桿件的內(nèi)力和應(yīng)力，根據(jù)強(qiáng)度條件校核桿件的強(qiáng)度是否足夠。許用載荷與構(gòu)架中各桿件的許用內(nèi)力是密切相關(guān)的，所以應(yīng)首先分析桿件內(nèi)力與外載荷的關(guān)系，然后根據(jù)桿件強(qiáng)度條件求出許用內(nèi)力，再根據(jù)內(nèi)力與外載荷的關(guān)系確定許用載荷。

6、對(duì)于截面設(shè)計(jì)這類(lèi)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，首先需要確定桿件在外載荷作用下產(chǎn)生的內(nèi)力和相應(yīng)的應(yīng)力，然后根據(jù)強(qiáng)度條件計(jì)算桿件滿(mǎn)足強(qiáng)度的截面尺寸。解：（1）校核兩桿的強(qiáng)度以節(jié)點(diǎn)C為研究對(duì)象，設(shè)桿件AC和BC所受內(nèi)力均為拉力，則受力分析如圖（a）所示。由平衡方程（拉力） （1）（壓力） （2）則各桿件的應(yīng)力分別為BC桿： （拉應(yīng)力） AC桿： （壓應(yīng)力）因?yàn)?，所以各桿件滿(mǎn)足強(qiáng)度條件。（2）許可載荷P確定首先求各桿的許可內(nèi)力，即：BC桿：AC桿：根據(jù)內(nèi)力和外載荷的關(guān)系式（1）和（2）確定許可載荷，即由式（1）得：由式（2）得：所以，為了使構(gòu)架安全，許用載荷為 （3）（3）確定BC桿件的直徑由式（3）可知，構(gòu)架的許用載荷

7、由AC桿確定。此時(shí)，桿AC的應(yīng)力達(dá)到許用應(yīng)力，而桿BC的應(yīng)力小于許用應(yīng)力，說(shuō)明BC桿的強(qiáng)度有余，因此可進(jìn)一步縮小桿件的直徑。在許用載荷作用下，桿BC的內(nèi)力為 由強(qiáng)度條件 得 則 第九章 扭轉(zhuǎn)一、扭力偶矩、扭矩和扭矩圖 1、扭力偶矩 2、扭矩和扭矩圖圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，在橫截面上產(chǎn)生的內(nèi)力稱(chēng)為扭矩，用T表示。通常規(guī)定：按右手螺旋法則將扭矩用矢量表示，若矢量方向與橫截面的外法線(xiàn)方向一致，則該扭矩為正，反之為負(fù)。任一截面處的扭矩用截面法確定，扭矩沿圓軸軸線(xiàn)方向的變化規(guī)律一般用扭矩圖表示。扭矩圖的繪制和軸力圖的繪制方法相同。二、切應(yīng)力互等定理和剪切胡克定律切應(yīng)力互等定理：在微單元體的兩個(gè)相互垂直截面上，切應(yīng)力

8、必然成對(duì)出現(xiàn)，其大小相等，方向均指向或離開(kāi)兩截面的交線(xiàn)。如圖所示。純剪切：在微單元體的各個(gè)面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力，這種應(yīng)力狀態(tài)稱(chēng)為純剪切。剪切胡克定律：當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限時(shí)，切應(yīng)力和切應(yīng)變成正比，即 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的分布規(guī)律三、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律：截面上任意點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的距離成正比。實(shí)心和空心圓軸橫截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布如圖所示。很顯然，最大切應(yīng)力發(fā)生在圓截面外邊緣處。四、極慣性矩和抗扭截面系數(shù)1、實(shí)心圓截面極慣性矩： 抗扭截面系數(shù)： 其中，d為圓截面的直徑。2、空心圓截面對(duì)于內(nèi)徑為d，外徑為D（，代表內(nèi)、外徑的比值）的空心圓截面來(lái)

9、說(shuō)，極慣性矩： 抗扭截面系數(shù)： 其中五、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸的扭轉(zhuǎn)變形用橫截面間繞軸線(xiàn)的相對(duì)角位移即扭轉(zhuǎn)角表示。相距l(xiāng)的兩橫截面間的扭轉(zhuǎn)角為 （單位：） （9-13）其中稱(chēng)為截面的抗扭剛度，越大，扭轉(zhuǎn)角越小。 六、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度條件1、圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件： 利用強(qiáng)度條件可以進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)和確定許可載荷三類(lèi)強(qiáng)度問(wèn)題，即（1）強(qiáng)度校核：（2）截面設(shè)計(jì)：（T為危險(xiǎn)截面上的扭矩）（3）確定許可載荷：2、圓軸扭轉(zhuǎn)剛度條件在工程實(shí)際中，通常是限制扭轉(zhuǎn)角沿軸線(xiàn)的變化率或單位長(zhǎng)度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角，使其不超過(guò)某一規(guī)定的許用值，則圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件為 例3：圖中所示鋼制階梯形圓軸，AB段為外徑、內(nèi)徑的空

10、心圓軸，BC段為的實(shí)心圓軸。若材料的切變模量，許用切應(yīng)力，許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。試校核該軸的強(qiáng)度和剛度。例 3 圖【分析】校核軸的強(qiáng)度和剛度關(guān)鍵在于求出最大切應(yīng)力和最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。因此可先畫(huà)出軸的扭矩圖，分段求出最大切應(yīng)力和最大單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，然后確定最大值，并與許用值進(jìn)行比較。扭矩圖解：（1）作軸的扭矩圖用截面法求出AB段和BC段扭矩，并作扭矩圖如圖所示。AB段： BC段： （2）強(qiáng)度校核AB段： BC段： 由于 所以該軸的強(qiáng)度滿(mǎn)足要求。（3）剛度校核AB段： BC段： 由于 所以該軸的剛度滿(mǎn)足要求。第十、十一、十二章 彎曲內(nèi)力、彎曲應(yīng)力和彎曲變形一、彎曲內(nèi)力和內(nèi)力圖梁的彎曲內(nèi)力分量包括剪

11、力Fs和彎矩M，剪力和彎矩有正負(fù)之分。對(duì)于剪力，在所切橫截面的內(nèi)側(cè)切取微段，凡使微段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正，反之為負(fù)；使微段彎曲呈凹形的彎矩為正，反之為負(fù)。彎曲內(nèi)力圖的繪制方法：（1）列寫(xiě)內(nèi)力方程，繪制內(nèi)力圖；（2）利用載荷集度、剪力和彎矩的微分關(guān)系繪制內(nèi)力圖。載荷集度、剪力和彎矩的微分關(guān)系：二、彎曲應(yīng)力1、對(duì)稱(chēng)彎曲的概念當(dāng)梁至少具有一個(gè)縱向?qū)ΨQ(chēng)面，而外力作用在該對(duì)稱(chēng)面內(nèi)，則在這種情況下，梁的變形對(duì)稱(chēng)于縱向?qū)ΨQ(chēng)面。這種變形形式稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)彎曲。2、中性層、中性軸中性層：桿件彎曲變形時(shí)，部分“縱向纖維”伸長(zhǎng)，部分“縱向纖維”縮短，而沿軸線(xiàn)方向既不伸長(zhǎng)又不縮短的一層則稱(chēng)為中性層。中性軸：中性層與橫

12、截面的交線(xiàn)，即橫截面上正應(yīng)力等于零的各點(diǎn)的連線(xiàn)，稱(chēng)為中性軸。中性軸的位置：在桿件發(fā)生對(duì)稱(chēng)彎曲時(shí)，直梁的中性軸通過(guò)橫截面的形心且垂直于載荷作用面。3、彎曲正應(yīng)力直梁對(duì)稱(chēng)彎曲時(shí)，梁橫截面上的正應(yīng)力公式為： 彎曲正應(yīng)力在橫截面上的分布最大彎曲正應(yīng)力： 橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比，即應(yīng)力沿截面高度方向成線(xiàn)性規(guī)律分布，在截面的上下邊緣存在最大的拉應(yīng)力和最大的壓應(yīng)力，4、彎曲切應(yīng)力（1）矩形截面梁彎曲切應(yīng)力在橫截面上的分布彎曲切應(yīng)力： 最大彎曲切應(yīng)力： 對(duì)于矩形截面梁，彎曲切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布，沿截面高度呈拋物線(xiàn)分布，方向與截面剪力的方向相同；在橫截面的上、下邊緣處（），切應(yīng)力；

13、在中性軸處（），切應(yīng)力最大。（2）工字形截面梁當(dāng)工字形截面的腹板厚度遠(yuǎn)小于翼緣寬度時(shí)，腹板上的切應(yīng)力可近似看作均勻分布，則腹板上的切應(yīng)力為 5、彎曲正應(yīng)力和彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件 注意：（1）對(duì)受彎曲的梁來(lái)說(shuō)，一般彎曲正應(yīng)力是主要的，所以無(wú)論是強(qiáng)度校核還是截面設(shè)計(jì)，首先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行，然后進(jìn)行切應(yīng)力校核。（2）對(duì)塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗壓的性能相同，因此對(duì)于等截面直梁來(lái)說(shuō)，危險(xiǎn)截面只有一個(gè)，即所在截面。而截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)也僅此截面上的一點(diǎn)，即所在的點(diǎn)。（3）對(duì)脆性材料而言，由于材料的抗拉和抗壓的性能不同，因此對(duì)于等截面直梁來(lái)說(shuō)，危險(xiǎn)截面有兩個(gè)，即正

14、彎矩最大的截面和負(fù)彎矩最大的截面。而每一個(gè)危險(xiǎn)截面上也有兩個(gè)危險(xiǎn)點(diǎn)，即和所在點(diǎn)。因此要滿(mǎn)足全梁的強(qiáng)度，這四個(gè)點(diǎn)的強(qiáng)度必須都滿(mǎn)足強(qiáng)度條件。（4）無(wú)論什么材料，對(duì)等截面直梁而言，切應(yīng)力強(qiáng)度條件僅有一個(gè)，即所在截面上的中性軸處。三、彎曲變形1、變形的基本物理量：撓度w和轉(zhuǎn)角。撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系為dw/dx。2、撓曲線(xiàn)近似微分方程：3、積分法求彎曲變形的要點(diǎn)（1）在用積分法求解梁的撓度和轉(zhuǎn)角方程時(shí)，必須正確分段列寫(xiě)出撓曲線(xiàn)微分方程。分段的原則是：彎矩方程需分段列出處；抗彎剛度突變處；有中間鉸的梁在中間鉸處。（2）積分常數(shù)由邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。明確梁的邊界條件和光滑連續(xù)條件是求解梁的撓曲線(xiàn)方程的一

15、個(gè)關(guān)鍵。對(duì)于邊界條件來(lái)說(shuō)，通常由梁在支座處的約束性質(zhì)來(lái)確定。在梁的撓曲線(xiàn)分段處，則存在位移連續(xù)條件。即在相鄰梁段的交接處，相連兩截面應(yīng)具有相同的撓度和轉(zhuǎn)角；在中間鉸處，相鄰左右兩截面具有相同的撓度。例4：繪制圖中所示外伸梁ABC的剪力圖和彎矩圖。例 4 圖例4圖 （a）【分析】該外伸梁在載荷作用下被分為兩段，即AB段和BC段。可分別列寫(xiě)AB段和BC段的剪力方程和彎矩方程，然后繪制剪力圖和彎矩圖；本問(wèn)題也可直接根據(jù)梁的內(nèi)力和載荷集度間的關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖。解：（1）求支座反力以外伸梁ABC為研究對(duì)象，受力圖如圖（a）所示。列寫(xiě)平衡方程 （2）繪制剪力圖和彎矩圖 將梁劃分為AB段和BC段，利用

16、截面法求得各段起點(diǎn)和終點(diǎn)截面的剪力和彎矩，根據(jù)內(nèi)力和載荷集度間的關(guān)系判斷各段剪力和彎矩圖形的形狀。AB段： A右截面：，； B左截面：，； AB段內(nèi)無(wú)載荷作用，即，則剪力圖為一水平線(xiàn)，彎矩圖為一斜直線(xiàn)。BC段： B右截面：，； C左截面：，。 BC段內(nèi)有均布載荷q作用，則剪力圖為一斜直線(xiàn)，彎矩圖為拋物線(xiàn)。外伸梁的剪力圖和彎矩圖如圖所示。當(dāng)剪力時(shí)，彎矩M為極值。即D點(diǎn)處，彎矩為極值。由剪力圖和彎矩圖知彎矩圖剪力圖例 5 圖例5：簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。已知P4kN，l=10m。試計(jì)算下列兩種截面形式梁中的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。（1）橫截面為b=100mm，h=200mm的矩形；（2）采用型號(hào)為I3

17、2a的工字鋼。 【分析】為了求解最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力，首先需要確定最大彎矩和最大剪力作用面及其大小，也就是確定危險(xiǎn)截面，然后正確判斷產(chǎn)生最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力的點(diǎn)在危險(xiǎn)截面上的位置，即確定危險(xiǎn)點(diǎn)。最后按正應(yīng)力和切應(yīng)力計(jì)算公式求解。解：（1）繪制簡(jiǎn)支梁的剪力圖和彎矩圖。 以簡(jiǎn)支梁為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。由平衡方程可得：例5圖（a） 剪力圖和彎矩圖如圖所示。 （2）矩形截面梁剪力圖 簡(jiǎn)支梁的跨中有最大彎矩，最大正應(yīng)力發(fā)生在該截面的上下邊緣，其值為彎矩圖梁中的最大剪力為，最大切應(yīng)力發(fā)生在截面的中性軸上。 比較計(jì)算結(jié)果 可知，梁中的最大正應(yīng)力比最大切應(yīng)力要大得多。因此，在校核梁的強(qiáng)度時(shí)，可以忽

18、略剪力的影響。 （3）I32a工字型鋼截面梁 由型鋼表得：則梁內(nèi)最大正應(yīng)力發(fā)生在跨中（最大彎矩所在面）的工字形截面的上下邊緣，其值為 由型鋼表可查得：梁內(nèi)最大切應(yīng)力發(fā)生于工字形截面的中性軸上，其值為 也可用近似公式計(jì)算，則 例6：某梁的受力圖如圖所示。截面對(duì)形心軸y和z的慣性矩分別為Iy296cm4，Iz =884cm4。材料的許用拉應(yīng)力t30MPa，許用壓應(yīng)力c60MPa。試按正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核梁的強(qiáng)度。例 6 圖單位：mm例6 圖（a）【分析】本題中材料的拉壓許用應(yīng)力不相等，并且截面為T(mén)型截面，中性軸不是對(duì)稱(chēng)軸，因此最大正彎矩和最大負(fù)彎矩所在截面均為危險(xiǎn)截面。對(duì)于每一個(gè)危險(xiǎn)截面來(lái)說(shuō)，既要校

19、核最大拉應(yīng)力，又要校核最大壓應(yīng)力。也可分別繪制出最大正彎矩和最大負(fù)彎矩所在截面上的正應(yīng)力分布圖，判斷危險(xiǎn)點(diǎn)，進(jìn)行強(qiáng)度校核。解：（1）繪制剪力圖和彎矩圖。以梁為研究對(duì)象，受力分析如圖（a）所示。列寫(xiě)平衡方程： 繪制剪力圖和彎矩圖如圖所示。彎矩圖剪力圖最大負(fù)彎矩位于B截面，即；最大正彎矩位于C截面，即。（2）強(qiáng)度校核在B截面，上邊緣受拉，下邊緣受壓。則有 在C截面，下邊緣受拉，上邊緣受壓。則有 所以梁的強(qiáng)度不足，不能滿(mǎn)足強(qiáng)度要求。第十三章 應(yīng)力狀態(tài)分析一、應(yīng)力狀態(tài)的概念1、應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)是構(gòu)件受力后，通過(guò)其內(nèi)一點(diǎn)所作各微截面的應(yīng)力狀況。通常是圍繞一點(diǎn)取出一微小的平行六面體（稱(chēng)為單元體）來(lái)研

20、究該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。2、主應(yīng)力和主平面僅有正應(yīng)力沒(méi)有切應(yīng)力的平面稱(chēng)為主平面，主平面上的正應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力。理論證明，對(duì)受力構(gòu)件內(nèi)任一點(diǎn)總存在這樣一個(gè)單元體，該單元體的三對(duì)相互垂直的平面均為主平面，這個(gè)單元體稱(chēng)為主平面微體或主單元體。主單元體上的三個(gè)主應(yīng)力按其代數(shù)值，依次用、和表示，即。3、應(yīng)力狀態(tài)的分類(lèi)按主應(yīng)力的數(shù)值情況，可將應(yīng)力狀態(tài)分為三類(lèi)。三個(gè)主應(yīng)力中，僅有一個(gè)不為零的應(yīng)力狀態(tài)，稱(chēng)為單向應(yīng)力狀態(tài)；三個(gè)主應(yīng)力中，兩個(gè)或三個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)，分別稱(chēng)為二向與三向應(yīng)力狀態(tài)。二向與三向應(yīng)力狀態(tài)統(tǒng)稱(chēng)為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析1、解析法單元體上任一斜截面上的應(yīng)力為 平面應(yīng)力狀態(tài)最大和最小正

21、應(yīng)力分別為 主平面方位： 最大和最小切應(yīng)力分別為 最大和最小切應(yīng)力所在截面相互垂直，并與正應(yīng)力極值截面成夾角。在應(yīng)用公式計(jì)算任一截面上的應(yīng)力時(shí)，要注意式中的正應(yīng)力、和切應(yīng)力以及角均有正負(fù)之分。其符號(hào)規(guī)定為正應(yīng)力拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；切應(yīng)力對(duì)單元體內(nèi)任意點(diǎn)之矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向的切應(yīng)力為正，反之為負(fù)；角自x正方向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到斜截面外法線(xiàn)n的正方向的角為正，反之為負(fù)。2、主應(yīng)力純剪切應(yīng)力狀態(tài)處于平面應(yīng)力狀態(tài)的單元體，有一個(gè)主應(yīng)力為零，因此確定主應(yīng)力時(shí)，應(yīng)將、和0按代數(shù)值重新排序，滿(mǎn)足。特例：純剪切應(yīng)力狀態(tài)的最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力分別為并分別位于和的截面上。主應(yīng)力為：。三、復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的最大應(yīng)力復(fù)雜應(yīng)力狀

22、態(tài)的最大和最小正應(yīng)力分別為最大與最小主應(yīng)力，即 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)最大切應(yīng)力為 四、廣義胡克定律對(duì)于、和同時(shí)存在的三向應(yīng)力狀態(tài)，其相應(yīng)正應(yīng)變分別為 當(dāng)材料為各向同性，且處于線(xiàn)彈性范圍之內(nèi)時(shí)，廣義胡克定律才成立。例7：如圖所示一處于平面應(yīng)力狀態(tài)的單元體。試用解析法求：（1）30截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；（2）主應(yīng)力；（3）最大切應(yīng)力。（圖中單位為MPa）例 7 圖 【分析】平面應(yīng)力狀態(tài)上任意截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力直接按公式計(jì)算。對(duì)于平面應(yīng)力狀態(tài)單元體來(lái)說(shuō)，有一個(gè)主應(yīng)力等于零，其他兩個(gè)主應(yīng)力由公式計(jì)算。當(dāng)三個(gè)主應(yīng)力都求出后，按代數(shù)值排序確定1，2，3的值。解：（1）計(jì)算30截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力由圖示單元體

23、的應(yīng)力狀態(tài)可知：則 （2）計(jì)算主應(yīng)力根據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)的極值應(yīng)力公式得：所以主應(yīng)力分別為 （3）最大切應(yīng)力 例8：如圖所示一單元體的應(yīng)力狀態(tài)，求主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。（圖中單位為MPa）【分析】由圖可知該單元體有一已知主應(yīng)力為30MPa，另外兩個(gè)主應(yīng)力可由圖（a）所示單元體確定。當(dāng)三個(gè)主應(yīng)力都求出后，按代數(shù)值排序確定1，2，3的值。例8圖( a ) 例 8 圖 解：（1）求主應(yīng)力值該單元體有一已知主應(yīng)力為30MPa，另外兩個(gè)主應(yīng)力可由圖（a）所示單元體確定。由圖（a）所示單元體可知，則所以主應(yīng)力為 （2）求最大切應(yīng)力 第十四章 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)強(qiáng)度問(wèn)題一、強(qiáng)度理論1、強(qiáng)度理論的適用范圍四個(gè)常用的強(qiáng)度理

24、論對(duì)應(yīng)材料的兩種破壞形式。第一和第二強(qiáng)度理論適用于材料發(fā)生脆性斷裂的情況，工程中常用的磚、混凝土、鑄鐵等脆性材料和在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下的材料均采用第一或第二強(qiáng)度理論；第三和第四強(qiáng)度理論適用于發(fā)生塑性屈服的情況，工程中常用的Q235鋼等塑性材料和在三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的材料均采用第三或第四強(qiáng)度理論。2、四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力四個(gè)強(qiáng)度理論所建立的強(qiáng)度條件可用一個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式來(lái)描述，即 式中是根據(jù)不同的強(qiáng)度理論所得到的構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力的某種組合，稱(chēng)為相當(dāng)應(yīng)力。對(duì)應(yīng)于四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力分別為 3、強(qiáng)度理論的應(yīng)用在利用強(qiáng)度理論進(jìn)行桿件強(qiáng)度校核時(shí)，應(yīng)首先在桿件危險(xiǎn)點(diǎn)處取出單元體，分析單元體的應(yīng)力情

25、況，計(jì)算出主應(yīng)力；然后根據(jù)材料的破壞形式，選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度校核。二、組合變形桿件的強(qiáng)度計(jì)算方法 重點(diǎn)掌握雙對(duì)稱(chēng)截面梁的非對(duì)稱(chēng)彎曲和彎扭組合。組合變形桿件強(qiáng)度計(jì)算的基本步驟：（1）將外載荷簡(jiǎn)化為幾組載荷，使每組載荷只產(chǎn)生一種類(lèi)型的基本變形。（2）對(duì)于每一種基本變形，根據(jù)內(nèi)力分析或內(nèi)力圖，確定桿件的危險(xiǎn)截面。（3）利用基本變形的應(yīng)力計(jì)算方法，分別計(jì)算每一種基本變形在危險(xiǎn)截面上的應(yīng)力，然后將這些應(yīng)力疊加，由此確定危險(xiǎn)點(diǎn)的位置和應(yīng)力狀態(tài)，計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力。（4）根據(jù)危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)和桿件破壞的形式，選擇適用的強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。1、雙對(duì)稱(chēng)軸的非對(duì)稱(chēng)彎曲在危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)確定后，由應(yīng)力

26、疊加可得組合變形時(shí)危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力，危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是單向應(yīng)力狀態(tài)。工程種常見(jiàn)截面的強(qiáng)度條件為對(duì)于矩形或矩形組合截面（如工字形、槽形），危險(xiǎn)點(diǎn)在截面的尖角處，其強(qiáng)度條件為 對(duì)于圓形截面，危險(xiǎn)點(diǎn)在圓周上，其強(qiáng)度條件為 注意：對(duì)于圓形、正方形等具有三個(gè)以上對(duì)稱(chēng)軸的截面，只產(chǎn)生對(duì)稱(chēng)彎曲。2、彎扭組合若桿件是塑性材料制成的圓截面桿，則發(fā)生彎扭組合變形時(shí)，橫截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)上既有彎矩引起的正應(yīng)力，又有扭矩引起的切應(yīng)力。危險(xiǎn)點(diǎn)處于二向應(yīng)力狀態(tài)，一般選用第三或第四強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。其強(qiáng)度條件為 式中，W為抗彎截面系數(shù)，M和T為桿件危險(xiǎn)截面處的彎矩和扭矩。例9：一鑄鐵制成的構(gòu)件，其危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。

27、材料的許用拉應(yīng)力為t35MPa，許用壓應(yīng)力為c120MPa。試校核此構(gòu)件的強(qiáng)度。（圖中單位為MPa）例 9 圖 【分析】圖中所示單元體屬于平面應(yīng)力狀態(tài)（也即復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)），其中一個(gè)主應(yīng)力為零。應(yīng)根據(jù)構(gòu)件材料及其破壞形式選擇相應(yīng)的強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度校核。首先計(jì)算出主應(yīng)力，然后確定強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力進(jìn)行強(qiáng)度校核。解：（1）計(jì)算主應(yīng)力 由危險(xiǎn)點(diǎn)處單元體的應(yīng)力狀態(tài)可知，則所以主應(yīng)力為 （2）強(qiáng)度理論選用及相當(dāng)應(yīng)力計(jì)算 因?yàn)殍T鐵是脆性材料，所以，采用第一強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度校核。相當(dāng)應(yīng)力為 （3）強(qiáng)度校核 因?yàn)?，所以根?jù)第一強(qiáng)度理論的計(jì)算結(jié)果可知，該構(gòu)件強(qiáng)度足夠。 例10：矩形截面的懸臂梁承受載荷及截面尺寸如

28、圖所示。試確定危險(xiǎn)截面、危險(xiǎn)點(diǎn)所在位置，計(jì)算梁內(nèi)最大正應(yīng)力的值。若將截面改為直徑D50mm的圓形，試計(jì)算最大正應(yīng)力。例 10 圖【分析】矩形截面梁在載荷P1和P2的作用下將分別產(chǎn)生Mz（x）和My（x），使梁分別在Oxy和Oxz平面內(nèi)發(fā)生對(duì)稱(chēng)彎曲，因此本問(wèn)題屬于非對(duì)稱(chēng)彎曲問(wèn)題。對(duì)于圓截面梁，由于通過(guò)形心的任意軸都是形心主軸，即任意方向的彎矩均只產(chǎn)生對(duì)稱(chēng)彎曲，故可以先求出合成彎矩，然后再根據(jù)對(duì)稱(chēng)彎曲的正應(yīng)力公式計(jì)算最大正應(yīng)力。解：（1）外力分析例10圖（a）懸臂梁在P1作用下將在Oxy平面內(nèi)發(fā)生對(duì)稱(chēng)彎曲，在P2力作用下將在Oxz平面內(nèi)發(fā)生對(duì)稱(chēng)彎曲，所以此梁的變形為非對(duì)稱(chēng)彎曲。 （2）內(nèi)力分析及危

29、險(xiǎn)截面的確定 分別繪制出Mz（x）和My（x）圖，如圖（a）所示。兩個(gè)平面內(nèi)的最大彎矩都發(fā)生在固定端A截面上，其值分別為，由于此梁為等截面桿，故A截面為該梁的危險(xiǎn)截面。 （3）應(yīng)力分析及危險(xiǎn)點(diǎn)的確定 在Mz作用下，危險(xiǎn)截面A的上邊緣受拉（即ad邊），下邊緣受壓（即bc邊）；在My作用下，危險(xiǎn)截面A的左邊緣受拉（即ab邊），右邊緣受壓（即dc邊）。因此危險(xiǎn)點(diǎn)位于角點(diǎn)a和c，角點(diǎn)a產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，角點(diǎn)c產(chǎn)生最大壓應(yīng)力。 （4）圓截面梁的最大正應(yīng)力 合成彎矩為 例11：某圓軸受力如圖所示，已知圓軸的直徑d=100mm，材料的許用應(yīng)力150MPa。試按第三強(qiáng)度理論校核該軸的強(qiáng)度。例 11 圖 【分析】

30、就圓截面軸而言，由于通過(guò)形心的任意軸都是形心主軸，即任意方向的彎矩均只產(chǎn)生對(duì)稱(chēng)彎曲，所以圓軸在載荷P1和P2的作用下仍屬于對(duì)稱(chēng)彎曲問(wèn)題，只是截面上的彎矩為載荷P1和P2的共同作用下產(chǎn)生的合成彎矩。由于圓軸在B處受到外力偶矩Me作用，從而使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，所以圓軸將發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲的組合變形。圓軸應(yīng)按照相應(yīng)的強(qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度校核。 解：（1）外力分析 圓軸在載荷P1和P2的作用下產(chǎn)生對(duì)稱(chēng)彎曲，在外力偶矩Me作用產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，所以圓軸將發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲的組合變形。 （2）內(nèi)力分析及危險(xiǎn)截面的確定 分別繪制出圓軸的彎矩圖和扭矩圖，如圖（a）、（b）所示。由圖可知，在固定端截面A處內(nèi)力最大。對(duì)于等截面軸來(lái)

31、說(shuō)，該截面為危險(xiǎn)截面，其內(nèi)力值分別為（a）彎矩圖（b）扭矩圖 合成彎矩 扭矩 （3）應(yīng)力分析及危險(xiǎn)點(diǎn)的確定 在合成彎矩M作用下，合成彎矩矢所在位置為圓軸發(fā)生對(duì)稱(chēng)彎曲的中性軸位置，則距離中性軸最遠(yuǎn)處的a、b兩點(diǎn)（位于圓軸截面外邊緣）分別產(chǎn)生最大拉正應(yīng)力和最大壓應(yīng)力；而且在扭矩T的作用下，也將在這兩個(gè)點(diǎn)處產(chǎn)生最大的切應(yīng)力。所以a、b兩點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)，如圖（c）所示。圖（c） （4）強(qiáng)度計(jì)算 由第三強(qiáng)度理論可知 所以根據(jù)第三強(qiáng)度理論的計(jì)算可知，該圓軸強(qiáng)度足夠。第十五章 壓桿穩(wěn)定問(wèn)題一、臨界載荷的歐拉公式細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷Fcr可由歐拉公式計(jì)算 臨界載荷 式中，E為壓桿材料的彈性模量；I為壓桿在失穩(wěn)方向橫

32、截面的慣性矩（失穩(wěn)面的慣性矩）；l為壓桿的長(zhǎng)度；為長(zhǎng)度因數(shù)，它反映了壓桿的支承方式對(duì)臨界載荷的影響。二、壓桿臨界應(yīng)力和臨界載荷壓桿的臨界應(yīng)力和臨界載荷與柔度相關(guān)，所以首先必須明確壓桿的類(lèi)型，然后根據(jù)桿件的類(lèi)型選用相應(yīng)的公式計(jì)算臨界應(yīng)力和臨界載荷。壓桿的類(lèi)型由壓桿的柔度確定。1、大柔度桿（）臨界應(yīng)力： 臨界載荷：（A為壓桿的橫截面面積） 2、中柔度桿（，）臨界應(yīng)力： （直線(xiàn)經(jīng)驗(yàn)公式） 臨界載荷：（A為壓桿的橫截面面積） 3、小柔度桿（） 此時(shí)壓桿主要因應(yīng)力達(dá)到屈服極限（對(duì)塑性材料）或強(qiáng)度極限（對(duì)脆性材料）而破壞。這是一個(gè)強(qiáng)度問(wèn)題。臨界應(yīng)力：對(duì)于塑性材料，；對(duì)于脆性材料。三、壓桿穩(wěn)定性計(jì)算為了保證

33、壓桿在軸向壓力F作用下不致失穩(wěn)，必須滿(mǎn)足壓桿穩(wěn)定性條件 式中，為壓桿的工作壓力；為穩(wěn)定安全因數(shù)；為穩(wěn)定許用壓力。也可用應(yīng)力表示壓桿的穩(wěn)定性條件，即 式中，為壓桿橫截面上的平均工作應(yīng)力；為穩(wěn)定安全因數(shù)；為穩(wěn)定許用應(yīng)力。四、求解壓桿穩(wěn)定性問(wèn)題的基本步驟1、確定壓桿的失穩(wěn)平面：計(jì)算壓桿在各個(gè)面內(nèi)的柔度系數(shù)，確定max，max所對(duì)應(yīng)的面為壓桿的失穩(wěn)面；2、判斷壓桿類(lèi)型：根據(jù)max與p，0的關(guān)系，確定壓桿是大柔度桿、中柔度桿還是小柔度桿。3、選擇相應(yīng)的公式計(jì)算臨界應(yīng)力和臨界壓力。例12：兩端鉸支壓桿的長(zhǎng)度l=1.2m，材料為Q235鋼，其彈性模量E200GPa，比例極限p200MPa，屈服極限s200M

34、Pa，a=304MPa，b=1.12MPa。臨界應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式為cra-b。已知截面的面積A900mm2，若截面的形狀分別為圓形和d/D=0.7的空心圓管，試分別計(jì)算各壓桿的臨界載荷。 【分析】不同類(lèi)型的壓桿，其臨界載荷的計(jì)算公式是不同的。因此在計(jì)算時(shí)應(yīng)先分清壓桿屬于哪一種類(lèi)型。進(jìn)行分類(lèi)的方法通常是根據(jù)壓桿的柔度來(lái)判斷。當(dāng)p時(shí)，為大柔度桿，其臨界載荷采用歐拉公式進(jìn)行計(jì)算；當(dāng)0p時(shí)，為中柔度桿，其臨界載荷用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算；當(dāng)0時(shí)，為小柔度桿，按強(qiáng)度問(wèn)題處理。 解：（1）圓形截面 圓形截面的直徑 慣性半徑 兩端鉸支壓桿的長(zhǎng)度系數(shù) 1.0柔度 Q235鋼 因?yàn)閜，所以該壓桿屬于大柔度桿，由歐拉公式計(jì)算臨界載荷。即 （2）空心圓截面 因?yàn)?，且，所以可解得D47.4mm，d33.18mm。 空心圓截面的慣性矩 慣性半徑 柔度 因?yàn)?p，所以立柱屬于大柔度桿，由歐拉公式計(jì)算臨界載荷。即 根據(jù)穩(wěn)定性條件得則 綜合分析上面的計(jì)算結(jié)果，該結(jié)構(gòu)梁上的許用載荷應(yīng)根據(jù)穩(wěn)定性條件確定，即