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1、4.6 4.6 一點的應力和應變一點的應力和應變4.7 4.7 變形體靜力學分析變形體靜力學分析4.1 4.1 變形固體的力學分析方法變形固體的力學分析方法4.2 4.2 基本假設基本假設4.3 4.3 內力、截面法內力、截面法4.4 4.4 桿件的基本變形桿件的基本變形4.5 4.5 桿的軸向拉伸和壓縮桿的軸向拉伸和壓縮第四章第四章 變形體靜力學基礎變形體靜力學基礎返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄4.8 4.8 應力集中的概念應力集中的概念1 前一章，將物體視為剛體，討論其平衡。前一章，將物體視為剛體，討論其平衡。前一章，將物體視為剛體，討論其平衡。前一章，將物體視為剛體，討論其平衡

2、。事實上，總有變形發(fā)生，還可能破壞。事實上，總有變形發(fā)生，還可能破壞。事實上，總有變形發(fā)生，還可能破壞。事實上，總有變形發(fā)生，還可能破壞。本章討論的研究對象是本章討論的研究對象是本章討論的研究對象是本章討論的研究對象是變形體變形體變形體變形體。屬于固體力學的范疇。不再接受剛體假設。屬于固體力學的范疇。不再接受剛體假設。屬于固體力學的范疇。不再接受剛體假設。屬于固體力學的范疇。不再接受剛體假設。以變形體為研究對象的固體力學研究基本方法以變形體為研究對象的固體力學研究基本方法,包括下述三個方面的研究：包括下述三個方面的研究：1)力和平衡條件的研究。力和平衡條件的研究。2)變形幾何協(xié)調條件的研究。變

3、形幾何協(xié)調條件的研究。3)力與變形之關系的研究力與變形之關系的研究。先以一個例子說明方法。先以一個例子說明方法。研究主線研究主線第四章第四章 變形體靜力學基礎變形體靜力學基礎4.1 4.1 變形固體的力學分析方法變形固體的力學分析方法返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄2例例例例1 1 長長長長2 2L L的木板由兩個彈性常數(shù)為的木板由兩個彈性常數(shù)為的木板由兩個彈性常數(shù)為的木板由兩個彈性常數(shù)為k k、自由長度為自由長度為自由長度為自由長度為h h的拉壓彈簧支承。若有一人從板中央向一端緩慢行走，的拉壓彈簧支承。若有一人從板中央向一端緩慢行走，的拉壓彈簧支承。若有一人從板中央向一端緩慢行走，的

4、拉壓彈簧支承。若有一人從板中央向一端緩慢行走，試求板與地面剛剛接觸時，人所走過的距離試求板與地面剛剛接觸時，人所走過的距離試求板與地面剛剛接觸時，人所走過的距離試求板與地面剛剛接觸時，人所走過的距離x x。解：設人重為解：設人重為解：設人重為解：設人重為WW，板重不計，板重不計，板重不計，板重不計討論板與地面剛接觸討論板與地面剛接觸討論板與地面剛接觸討論板與地面剛接觸的臨界狀態(tài)，板受力如圖。的臨界狀態(tài)，板受力如圖。的臨界狀態(tài)，板受力如圖。的臨界狀態(tài)，板受力如圖。1)1)力的平衡條件：力的平衡條件：力的平衡條件：力的平衡條件：由平衡方程有：由平衡方程有：由平衡方程有：由平衡方程有：F Fy y=

5、F FB B-F FA A-WW=0 =0 MMA A(F F)=2)=2aFaFB B-(-(x x+a a)WW=0=0ABLLaaWWABF FA AFN=0 xWWFBh hAAhB2 2個平衡方程，個平衡方程，個平衡方程，個平衡方程，3 3個未知量：個未知量：個未知量：個未知量：x x、F FA A、F FB B，不可解。需，不可解。需，不可解。需，不可解。需考慮變形。板可作剛體處理，只考慮彈簧的變形?？紤]變形。板可作剛體處理，只考慮彈簧的變形?？紤]變形。板可作剛體處理，只考慮彈簧的變形。考慮變形。板可作剛體處理，只考慮彈簧的變形。3彈簧彈簧彈簧彈簧A A、B B的變形為的變形為的變

6、形為的變形為 A A=h hA A-h h (受拉伸長受拉伸長受拉伸長受拉伸長)-(4)-(4)及及及及 B B=h h-h hB B (受壓縮短受壓縮短受壓縮短受壓縮短)-(5)-(5)2)2)變形幾何協(xié)調條件：變形幾何協(xié)調條件：變形幾何協(xié)調條件：變形幾何協(xié)調條件：剛性板保持為直板，剛性板保持為直板，剛性板保持為直板，剛性板保持為直板，二彈簧變形后應滿足的二彈簧變形后應滿足的二彈簧變形后應滿足的二彈簧變形后應滿足的幾何條件是：幾何條件是：幾何條件是：幾何條件是：3)3)力與變形間的物理關系：力與變形間的物理關系：力與變形間的物理關系：力與變形間的物理關系：對于彈簧，力與變形間的關系為：對于彈

7、簧，力與變形間的關系為：對于彈簧，力與變形間的關系為：對于彈簧，力與變形間的關系為：F FA A=k k A A -(6)-(6)及及及及 F FB B=k k B B -(7)-(7)h hB B/h hA A=(=(L L-a a)/()/(L L+a a)()(x x0)-0)-(3)(3)ABF FA AFN=0 xWWFBh hA AhBaa4 綜合考慮平衡條件、綜合考慮平衡條件、綜合考慮平衡條件、綜合考慮平衡條件、變形幾何關系、物理關系變形幾何關系、物理關系變形幾何關系、物理關系變形幾何關系、物理關系后，得到后，得到后，得到后，得到7 7個方程，可求個方程，可求個方程，可求個方程，

8、可求出出出出F FA A、F FB B、A A、B B、h hA A、h hB B、x x 等全部未知量。等全部未知量。等全部未知量。等全部未知量。解得：板剛剛觸地時，人所走過的距離為：解得：板剛剛觸地時，人所走過的距離為：解得：板剛剛觸地時，人所走過的距離為：解得：板剛剛觸地時，人所走過的距離為：-（a a）x xa aL LhkhkWW=-2 22 21 1()此時，二彈簧的變形為：此時，二彈簧的變形為：此時，二彈簧的變形為：此時，二彈簧的變形為：A AWWk kx xa a=-2 21 1()B BWWk kx xa a=+2 21 1()-（b）將將將將x x代入平衡方程，即可求得代入

9、平衡方程，即可求得代入平衡方程，即可求得代入平衡方程，即可求得F FA A、F FB B。ABF FA AFN=0 xWWFBh hA AhBaa5研究重點研究重點是變形是變形體體的的內內力、力、變形及變形及力與變形力與變形之關系之關系。研究變形體力學問題的主線是研究變形體力學問題的主線是：力力力力的的的的平衡平衡平衡平衡變形變形變形變形的的的的幾何協(xié)調幾何協(xié)調幾何協(xié)調幾何協(xié)調 力與變形之關系力與變形之關系力與變形之關系力與變形之關系 F Fy y=0=0 MMA A(F F)=0)=0 h hB B/h hA A=(=(L L-a a)/()/(L L+a a)A A=h hA A-h h;

10、B B=h h-h hB BF FA A=k k A A;F FB B=k k B B(已已已已熟悉熟悉熟悉熟悉)(幾何分析幾何分析幾何分析幾何分析)(物理關系物理關系物理關系物理關系)返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄ABF FA AFN=0 xWWFBh hA AhBaa6 固體力學的研究對象是可變形固體。變形與材固體力學的研究對象是可變形固體。變形與材固體力學的研究對象是可變形固體。變形與材固體力學的研究對象是可變形固體。變形與材料有關。為研究方便，采用下述假設：料有關。為研究方便，采用下述假設：料有關。為研究方便，采用下述假設：料有關。為研究方便，采用下述假設：材料沿各不同方向均

11、具有相同的力學性質材料沿各不同方向均具有相同的力學性質。這樣的材料稱為這樣的材料稱為各向同性材料各向同性材料。使力與變形間物理關系的討論得以大大簡化。2)2)2)2)各向同性假設各向同性假設 物體整個體積內都毫無空隙地充滿著物質物體整個體積內都毫無空隙地充滿著物質，是是均勻均勻、連續(xù)的連續(xù)的，且任何部分都具有相同的性質且任何部分都具有相同的性質。變形前、后都沒有“空隙”、“重疊”，必須滿足幾何協(xié)調（相容）條件?？扇∪我徊糠盅芯?。1)1)1)1)均勻連續(xù)性假設均勻連續(xù)性假設4.2 4.2 基本假設基本假設返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄73)小變形假設小變形假設 相對于其原有尺寸而言，變

12、形相對于其原有尺寸而言，變形后尺寸改變的影響可以忽略不計后尺寸改變的影響可以忽略不計。在分析力的平衡時用原來的幾何尺寸計算而不引入大的誤差。上述假設，建立了一個上述假設，建立了一個最簡單的可變形固體的最簡單的可變形固體的最簡單的可變形固體的最簡單的可變形固體的理想化模型理想化模型理想化模型理想化模型。隨著研究的深入，再逐步放松上述假設的限制。隨著研究的深入，再逐步放松上述假設的限制。隨著研究的深入，再逐步放松上述假設的限制。隨著研究的深入，再逐步放松上述假設的限制。如在后續(xù)課程中逐步討論各向異性問題，大變形問如在后續(xù)課程中逐步討論各向異性問題，大變形問如在后續(xù)課程中逐步討論各向異性問題，大變形

13、問如在后續(xù)課程中逐步討論各向異性問題，大變形問題，含缺陷或裂隙等不連續(xù)介質的問題等等題，含缺陷或裂隙等不連續(xù)介質的問題等等題，含缺陷或裂隙等不連續(xù)介質的問題等等題，含缺陷或裂隙等不連續(xù)介質的問題等等?；诖?，固體力學研究的基于此，固體力學研究的基于此，固體力學研究的基于此，固體力學研究的最基本問題最基本問題最基本問題最基本問題是：是：是：是：均勻連續(xù)介質、各向同性材料的小變形問題均勻連續(xù)介質、各向同性材料的小變形問題。BCDD返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄8 物體內部某一部分與物體內部某一部分與 相鄰部分間的相互作用力相鄰部分間的相互作用力。必須截開物體，內力才能顯示。必須截開物體，

14、內力才能顯示。內力分布在截面上。向截面形心簡化，內內力分布在截面上。向截面形心簡化，內內力分布在截面上。向截面形心簡化，內內力分布在截面上。向截面形心簡化，內力一般可表示為力一般可表示為力一般可表示為力一般可表示為6 6 6 6個，由平衡方程確定個，由平衡方程確定個，由平衡方程確定個，由平衡方程確定。處于平衡狀態(tài)的物體處于平衡狀態(tài)的物體處于平衡狀態(tài)的物體處于平衡狀態(tài)的物體，其任一其任一其任一其任一部分也必然處于平衡狀態(tài)部分也必然處于平衡狀態(tài)部分也必然處于平衡狀態(tài)部分也必然處于平衡狀態(tài)。1.1.1.1.內力內力內力內力:沿沿C截面將物體截開，截面將物體截開，A部分在部分在外力作用下能保持平衡，是

15、因為受外力作用下能保持平衡，是因為受到到B部分的約束。部分的約束。B限制了限制了A A部分物體在空間中相對于部分物體在空間中相對于 B的任何運動的任何運動(截面有截面有3 3個反力、個反力、3 3個反力偶個反力偶)。MMF F1 1F F2 2F F3 3BAACF Fx xMMx xF Fy yF Fz zMMy yMMz zF F1 1F F2 24.3 4.3 內力、截面法內力、截面法返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄C9 若外力在同一平面內，截面內若外力在同一平面內，截面內若外力在同一平面內，截面內若外力在同一平面內，截面內力只有力只有力只有力只有3 3 3 3個分量，即個分量，

16、即個分量，即個分量，即:CC取截面左端研究，截面在研究對象右端，則規(guī)定：內力 右截面正向 左截面正向 微段變形（正）內力的符號規(guī)定內力的符號規(guī)定內力的符號規(guī)定內力的符號規(guī)定 軸力軸力軸力軸力 F FN N 作用于截面法向。作用于截面法向。作用于截面法向。作用于截面法向。剪力剪力剪力剪力 F FS S 作用于截面切向。作用于截面切向。作用于截面切向。作用于截面切向。彎矩彎矩彎矩彎矩 MM 使物體發(fā)生彎曲。使物體發(fā)生彎曲。使物體發(fā)生彎曲。使物體發(fā)生彎曲。若外力在軸線上若外力在軸線上若外力在軸線上若外力在軸線上,內力只有軸力內力只有軸力內力只有軸力內力只有軸力。F FN NMMF FS SF FN

17、N受拉伸FN順時針錯動FS向上凹M102.2.截面法截面法無論以截面左端或右端為研究對象，都應得到相同無論以截面左端或右端為研究對象，都應得到相同無論以截面左端或右端為研究對象，都應得到相同無論以截面左端或右端為研究對象，都應得到相同的的的的截面內力截面內力截面內力截面內力。因為因為因為因為，兩，兩，兩，兩部分上部分上部分上部分上作用的內力作用的內力作用的內力作用的內力互為作用互為作用互為作用互為作用力與反作用力。力與反作用力。力與反作用力。力與反作用力。適當適當適當適當?shù)牡牡牡姆柗柗柗栆?guī)定可保證其一致性。規(guī)定可保證其一致性。規(guī)定可保證其一致性。規(guī)定可保證其一致性。用假想截面將物體截開

18、用假想截面將物體截開用假想截面將物體截開用假想截面將物體截開，揭示并由平衡方程揭示并由平衡方程揭示并由平衡方程揭示并由平衡方程確定截面上內力的方法確定截面上內力的方法確定截面上內力的方法確定截面上內力的方法。截面法求解內力的步驟為：截面法求解內力的步驟為：截面法求解內力的步驟為：截面法求解內力的步驟為：求約求約求約求約束反束反束反束反力力力力截取截取截取截取研究研究研究研究對象對象對象對象受力圖，受力圖，受力圖，受力圖，內力按正內力按正內力按正內力按正向假設。向假設。向假設。向假設。列平列平列平列平衡方衡方衡方衡方程程程程求解內力，求解內力，求解內力，求解內力，負號表示與負號表示與負號表示與負

19、號表示與假設反向假設反向假設反向假設反向注意：所討論的是變形體，故在截取研究對象之前，注意：所討論的是變形體，故在截取研究對象之前，注意：所討論的是變形體，故在截取研究對象之前，注意：所討論的是變形體，故在截取研究對象之前，力和力偶都不可像討論剛體時那樣隨意移動。力和力偶都不可像討論剛體時那樣隨意移動。力和力偶都不可像討論剛體時那樣隨意移動。力和力偶都不可像討論剛體時那樣隨意移動。11例例2 求圖中求圖中1、2、3截面內力。截面內力。FCDBAaaa132解：解：解：解：1 1）求約束反力：由整體有）求約束反力：由整體有）求約束反力：由整體有）求約束反力：由整體有 F FBxBx=F F/2/

20、2；F FAyAy=F F；F FAxAx=-F F/2/2FAyFAxFBx由鉸鏈由鉸鏈由鉸鏈由鉸鏈C C：F FACAC=F F；F FCDCD=-F F2FF FACACACACF FCDCDCDCDC2 2）求各截面內力）求各截面內力）求各截面內力）求各截面內力：截面截面1：FN1=FCD=-FFN1FCDCD截面截面2：FN2=FACcos45=F；FS2=FACsin45=F M2=FACcos45 x=FxFCDFBxyDF FN3N3MM3 3F FS3S3截面截面3：FN3=0；FS3=-FBx-FCD=F/2；M3=-FBx(a+y)-FCDy=F (y-a)/2FACxF

21、 FN2N2MM2 2F FS2S212例例例例3 3 3 3 作圖示拉壓桿的內力圖。作圖示拉壓桿的內力圖。作圖示拉壓桿的內力圖。作圖示拉壓桿的內力圖。5kNFN1=5kN2 2）求各截面內力）求各截面內力(軸力軸力)。截面法、平衡方程截面法、平衡方程3 3）畫內力圖。）畫內力圖。5kN5kN3kNFN 圖圖+-5kN2kN8kN5kN+向向軸力圖的簡捷畫法軸力圖的簡捷畫法：取左端拉力方向為軸力取左端拉力方向為軸力取左端拉力方向為軸力取左端拉力方向為軸力圖參考正向，畫水平線；遇圖參考正向，畫水平線；遇圖參考正向，畫水平線；遇圖參考正向，畫水平線；遇集中力作用則軸力相應增減；集中力作用則軸力相應

22、增減；集中力作用則軸力相應增減；集中力作用則軸力相應增減；至右端回到零。至右端回到零。至右端回到零。至右端回到零。解：解：解：解：1 1）求約束反力。）求約束反力。）求約束反力。）求約束反力。F FA A=8+2-5=5 kN=8+2-5=5 kN5kN2kN8kNAF FA A5kN2kNFN2=3kN5kN2kN8kNFN3=-5kN13例例例例4 4 截面積為截面積為截面積為截面積為A A的等直桿，密度為的等直桿，密度為的等直桿，密度為的等直桿，密度為，求，求，求，求 桿在自重作用下的內力。桿在自重作用下的內力。桿在自重作用下的內力。桿在自重作用下的內力。解解解解：考慮任一距：考慮任一距

23、：考慮任一距：考慮任一距O O點為點為點為點為x x的橫截面的橫截面的橫截面的橫截面 上的內力，受力如圖。上的內力，受力如圖。上的內力，受力如圖。上的內力，受力如圖。重力為重力為重力為重力為WW=g gAxAx,由平衡方程得：由平衡方程得：由平衡方程得：由平衡方程得：F FN N=WW=g gAxAx繪出軸力圖，可見：繪出軸力圖，可見：繪出軸力圖，可見：繪出軸力圖，可見：A A截面處內力截面處內力截面處內力截面處內力F F N N(=(=g gAxAx ALAL)最大。最大。最大。最大。截面法是：截面法是：截面法是：截面法是：用假想截面將物體截開用假想截面將物體截開用假想截面將物體截開用假想截

24、面將物體截開，揭示并由平衡揭示并由平衡揭示并由平衡揭示并由平衡方程確定截面上內力的方法方程確定截面上內力的方法方程確定截面上內力的方法方程確定截面上內力的方法。截面法步驟為。截面法步驟為。截面法步驟為。截面法步驟為：求約求約求約求約束反束反束反束反力力力力截取截取截取截取研究研究研究研究對象對象對象對象受力圖，受力圖，受力圖，受力圖，內力按正內力按正內力按正內力按正向假設。向假設。向假設。向假設。列平列平列平列平衡方衡方衡方衡方程程程程求解內力，求解內力，求解內力，求解內力，負號表示與負號表示與負號表示與負號表示與假設反向假設反向假設反向假設反向AOxLxOxWWF FN N+gAL 14xy

25、zFMxF FN NMzx yAFra1FMF FS SF FN N2.2.2.2.柱截面柱截面柱截面柱截面內力？內力？內力？內力？1.1.1.1.截面截面截面截面1 1 1 1 內力？內力？內力？內力？10kN8kN5kN+向3kN3.3.3.3.作內力圖。作內力圖。作內力圖。作內力圖。F FN N 圖圖圖圖5kN-5kN+3kN問問 題題 討討 論論返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄15ABab x yzx1CFMMy yF Fy yF Fx xF Fz zMMz zMMx x桿件：某一方向尺寸遠大于其它桿件：某一方向尺寸遠大于其它桿件：某一方向尺寸遠大于其它桿件：某一方向尺寸遠大于

26、其它 方向尺寸的構件。方向尺寸的構件。方向尺寸的構件。方向尺寸的構件。直桿：桿件的軸線為直線。直桿：桿件的軸線為直線。直桿：桿件的軸線為直線。直桿：桿件的軸線為直線。最一般情況：最一般情況：最一般情況：最一般情況：截面內力有截面內力有截面內力有截面內力有6 6個分量。個分量。個分量。個分量。軸向拉壓軸向拉壓軸向拉壓軸向拉壓內力為軸力。內力為軸力。內力為軸力。內力為軸力。如拉、撐、活塞桿、鋼纜、柱。如拉、撐、活塞桿、鋼纜、柱。如拉、撐、活塞桿、鋼纜、柱。如拉、撐、活塞桿、鋼纜、柱。扭轉扭轉扭轉扭轉 內力為扭矩。內力為扭矩。內力為扭矩。內力為扭矩。如各種傳動軸等。如各種傳動軸等。如各種傳動軸等。如

27、各種傳動軸等。(軸軸軸軸)彎曲彎曲彎曲彎曲 內力為彎矩。內力為彎矩。內力為彎矩。內力為彎矩。如橋梁、房梁、地板等如橋梁、房梁、地板等如橋梁、房梁、地板等如橋梁、房梁、地板等。(梁梁梁梁)基本基本變形變形 軸向拉壓彎 曲 扭 轉4.4 4.4 桿件的基本變形桿件的基本變形返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄16A A3 3 A A1 1=A A2 2；L L1 1 L L2 2=L L3 3；軸力軸力 FN=F，可見，可見，F(xiàn)N-L間存在著線性關系。間存在著線性關系。即即:或寫為或寫為AFNLL ELLEA=FN =得到最簡單的物理關系得到最簡單的物理關系得到最簡單的物理關系得到最簡單的物理

28、關系胡克定律：胡克定律：胡克定律：胡克定律：=E E 注意：注意：注意：注意：-關系與試件幾何關系與試件幾何關系與試件幾何關系與試件幾何（L L、A A）無關。無關。無關。無關。oFN桿32 1 L L先考查桿承受軸向拉伸時先考查桿承受軸向拉伸時先考查桿承受軸向拉伸時先考查桿承受軸向拉伸時力與變形之關系力與變形之關系力與變形之關系力與變形之關系。L1L3L2L1+L1F FF FF FF FF FL2+L2L3+L3F Fo=FN/A=L/L4.5 4.5 桿的軸向拉伸和壓縮桿的軸向拉伸和壓縮返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄17 是材料的一種應力是材料的一種應力是材料的一種應力是材料的

29、一種應力應變關系模型，應變關系模型，應變關系模型，應變關系模型，稱為稱為稱為稱為線性彈性應力線性彈性應力線性彈性應力線性彈性應力應變（物理）關系模型應變（物理）關系模型。軸向拉壓桿的應力軸向拉壓桿的應力軸向拉壓桿的應力軸向拉壓桿的應力 、應變、應變、應變、應變 和變形和變形和變形和變形 L L可表達為可表達為可表達為可表達為：EAEAEAEA是抗拉剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力是抗拉剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力是抗拉剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力是抗拉剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力。=E =F FN N/A A，單位面積上的內力，稱為單位面積上的內力，稱為單位面積上的內力，稱為單位面

30、積上的內力，稱為應力應力應力應力(平均應力平均應力平均應力平均應力)。單位用帕斯卡單位用帕斯卡單位用帕斯卡單位用帕斯卡(Pa),(Pa),(Pa),(Pa),1 Pa=1 N/m1 Pa=1 N/m2 2；1 MPa=101 MPa=106 6 PaPa；1 GPa=101 GPa=109 9 Pa Pa。=L/L，是單位長度的變形，稱為是單位長度的變形，稱為應變應變(平均應變平均應變)。應變是量綱一的量應變是量綱一的量。E是是-直線的斜率，應力量綱。與材料有關。直線的斜率，應力量綱。與材料有關。因為卸載后變形可以恢復，故因為卸載后變形可以恢復，故E稱為稱為彈性模量彈性模量。18 EAEAEA

31、EA是抗拉剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力是抗拉剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力是抗拉剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力是抗拉剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力。F FN、L L、E E、A A改變，則須分段計算。改變，則須分段計算。改變，則須分段計算。改變，則須分段計算。應力：應力：應變：應變：軸向拉壓桿的應力、應變定義為：軸向拉壓桿的應力、應變定義為：軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 L L可表達為可表達為可表達為可表達為：在物理模型在物理模型在物理模型在物理模型 =E E 下有：下有：下有：下有：軸向拉壓桿變形分析匯總軸向拉壓桿變形分析匯總：求軸力求軸力FN？

32、力力力力-變形的物理關系：變形的物理關系：變形的物理關系：變形的物理關系：稱為稱為稱為稱為線性彈性應力線性彈性應力線性彈性應力線性彈性應力-應變（物理）關系模型應變（物理）關系模型。=E E 19 2)求各段應力：求各段應力：AB=FNAB/A1 =40103N/(32010-6)m2 =125106Pa=125MPa BC=FNBC/A2=40103/(80010-6)=50MPa；CD=FNCD/A2=48103/(80010-6)=60MPa解：解：解：解：1)1)求內力求內力求內力求內力(軸力軸力軸力軸力)，例例例例4.74.7 桿桿桿桿ABAB段為鋼制，橫截面積段為鋼制，橫截面積段為

33、鋼制，橫截面積段為鋼制，橫截面積A A1 1=320mm=320mm2 2，BDBD段段段段 為銅，為銅，為銅，為銅，A A2 2=800mm2=800mm2，E E鋼鋼鋼鋼=210GPa=210GPa；E E銅銅銅銅=100GPa=100GPa；l l=400mm=400mm。求桿各段的應力求桿各段的應力求桿各段的應力求桿各段的應力、應變、應變、應變、應變和總伸長量和總伸長量和總伸長量和總伸長量 ADAD。ABCDF1=40kNlllF2=8kN48kN48kN+向DCBA48kN40kNF FN N畫軸力圖畫軸力圖畫軸力圖畫軸力圖。204)4)桿的總伸長為：桿的總伸長為：桿的總伸長為：桿的

34、總伸長為：l lADAD=l lABAB+l lBCBC+l lCDCD=0.68mm=0.68mm2)求各段應變：求各段應變：AB=AB/E鋼鋼=125/(210103)0.610-3ABCDF1=40kNlllF2=8kNDCBA48kN40kNF FN N3)求各段伸長：求各段伸長：注意注意:l=l=l/E=FNl/AE lAB=ABlAB=0.610-3400mm=0.24mm lBC=BClBC=0.2mm；lCD=CDlCD=0.24mm BC=BC/E銅銅=50/(100103)=0.510-3 CD=CD/E銅銅=0.610-321討論討論：桿桿 受受力如圖。力如圖。BC段截面

35、積為段截面積為A，AB段段截面積為截面積為2A，材料彈性模，材料彈性模量量為為E。欲使欲使截面截面D位移為零，位移為零，F(xiàn)2應應為多大？為多大？lABCl F2 F F1 1 l DF1-F2F1 解：畫軸力圖解：畫軸力圖解：畫軸力圖解：畫軸力圖。有：有：有：有：D D=l lADAD=l lABAB+l lBDBD =F FN NABABl/El/E(2A2A)+)+F FN NBDBDl/EAl/EA 即：即：即：即：D D=(=(F F1 1-F F2 2)l/El/E(2A2A)+)+F F1 1l/EA=0l/EA=0 解得：解得：F2=3F1 注意：注意：注意：注意：固定端固定端固

36、定端固定端A A A A處位處位處位處位移為零。移為零。移為零。移為零。22請認真思考、討論思考題。請認真思考、討論思考題。（不做（不做在本上）在本上）習題習題:4-1(d)、(g)4-2(b);4-5。返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄作業(yè)作業(yè):P104-106104-106工程力學實驗（三次）工程力學實驗（三次）實驗名稱：實驗名稱：拉伸壓縮、扭轉等破壞性實驗，彎曲正應力、彎拉伸壓縮、扭轉等破壞性實驗，彎曲正應力、彎曲變形電測實驗、組合變形電測實驗曲變形電測實驗、組合變形電測實驗。預約：胡鵬老師預約：胡鵬老師電話：電話：87543038（辦）（辦）地點：南一樓東北角地點：南一樓東北角L

37、X105室室23回顧：回顧：研究變形體力學問題的主線是研究變形體力學問題的主線是：力力力力的的的的平衡平衡平衡平衡變形變形變形變形的的的的幾何協(xié)調幾何協(xié)調幾何協(xié)調幾何協(xié)調力與變形之關系力與變形之關系力與變形之關系力與變形之關系求求求求約約約約束束束束反反反反力力力力截截截截取取取取研研研研究究究究對對對對象象象象受力受力受力受力圖，圖，圖，圖，內力內力內力內力按正按正按正按正向假向假向假向假設。設。設。設。列列列列平平平平衡衡衡衡方方方方程程程程求內求內求內求內力，力，力，力，內力內力內力內力方程方程方程方程截面法求解內力的步驟為：截面法求解內力的步驟為：內力圖：內力圖：內力圖：內力圖：F F

38、N N、F FS S、MM 圖圖圖圖返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄4.6 一點的應力和應變一點的應力和應變(一般討論一般討論一般討論一般討論)24 是材料的一種應力是材料的一種應力是材料的一種應力是材料的一種應力-應變關系模型，應變關系模型，應變關系模型，應變關系模型，稱為稱為稱為稱為線性彈性應力線性彈性應力線性彈性應力線性彈性應力-應變（物理）關系模型應變（物理）關系模型。=E E EAEAEAEA是抗拉剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力是抗拉剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力是抗拉剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力是抗拉剛度，反映材料抵抗拉壓變形的能力。F FN 、L L、E E、A

39、A改變，則須分段計算。改變，則須分段計算。改變，則須分段計算。改變，則須分段計算。應力：應力：應力：應力：應變：應變：應變：應變：軸向拉壓桿的平均應力、平均應變定義為：軸向拉壓桿的平均應力、平均應變定義為：軸向拉壓桿的平均應力、平均應變定義為：軸向拉壓桿的平均應力、平均應變定義為：軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形軸向拉壓桿的變形 L L可表達為可表達為可表達為可表達為：在物理模型在物理模型在物理模型在物理模型 =E E 下有：下有：下有：下有：254.6 一點的應力和應變一點的應力和應變(一般討論一般討論一般討論一般討論)一、一、應力應力 內力連續(xù)分布在截面上，內力連續(xù)分布在截

40、面上，內力連續(xù)分布在截面上，內力連續(xù)分布在截面上，截面法確定的是內力的合力。截面法確定的是內力的合力。截面法確定的是內力的合力。截面法確定的是內力的合力。T T是矢量，法向分量是矢量，法向分量是矢量，法向分量是矢量，法向分量 稱稱稱稱正應力正應力正應力正應力；切向分量；切向分量；切向分量；切向分量 稱稱稱稱切應力切應力切應力切應力。A F FO1)1)定義定義定義定義：一點的一點的一點的一點的應力應力應力應力T T是該處內力的集度，定義為是該處內力的集度，定義為是該處內力的集度，定義為是該處內力的集度，定義為：A是圍繞是圍繞O點的面積微元；點的面積微元；F作用在作用在 A上的內力。上的內力。A

41、TO O 026注意注意注意注意：一般一般一般一般情況下情況下情況下情況下，內力非均勻分布，內力非均勻分布，內力非均勻分布，內力非均勻分布，截面各點應力不同。截面各點應力不同。截面各點應力不同。截面各點應力不同。2)軸向拉壓桿橫截面上的應力軸向拉壓桿橫截面上的應力：截面上只有軸力，故截面上只有軸力，故截面上只有軸力，故截面上只有軸力，故應力為正應力應力為正應力應力為正應力應力為正應力 。變形沿軸向是均勻的，故變形沿軸向是均勻的，故變形沿軸向是均勻的，故變形沿軸向是均勻的，故 在橫截面上均勻分布，在橫截面上均勻分布，在橫截面上均勻分布，在橫截面上均勻分布，F(xiàn) FN N 因為因為 =const.故

42、有：故有：274.6 一點的應力和應變一點的應力和應變(一般討論一般討論一般討論一般討論)T T是矢量，法向分量是矢量，法向分量是矢量，法向分量是矢量，法向分量 稱稱稱稱正應力正應力正應力正應力；切向分量；切向分量；切向分量；切向分量 稱稱稱稱切應力切應力切應力切應力。A F FO1)1)定義定義定義定義：一點的一點的一點的一點的應力應力應力應力T T是該處內力的是該處內力的是該處內力的是該處內力的集度，定義為集度，定義為集度，定義為集度，定義為：A是圍繞是圍繞O點的面積微元；點的面積微元；F作用在作用在 A上的內力。上的內力。ATO O 0應力：應力：應力：應力：應變：應變：應變：應變：軸向

43、拉壓桿的平均應力、平均應變定義為：軸向拉壓桿的平均應力、平均應變定義為：軸向拉壓桿的平均應力、平均應變定義為：軸向拉壓桿的平均應力、平均應變定義為：=E E 注意注意注意注意：一般一般一般一般情況下情況下情況下情況下，內力非均勻分布，內力非均勻分布，內力非均勻分布，內力非均勻分布，截面各點應力不同截面各點應力不同截面各點應力不同截面各點應力不同。F FN N 28F F A A3)一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài)：單向拉壓桿橫截面上只有正應力。單向拉壓桿橫截面上只有正應力。單向拉壓桿橫截面上只有正應力。單向拉壓桿橫截面上只有正應力。故故故故 A A點的應力狀態(tài)可用由橫截面、水點的應力狀態(tài)可用由橫截

44、面、水點的應力狀態(tài)可用由橫截面、水點的應力狀態(tài)可用由橫截面、水平面截取的微小單元體上的應力描述。平面截取的微小單元體上的應力描述。平面截取的微小單元體上的應力描述。平面截取的微小單元體上的應力描述。是是是是單向單向單向單向應力狀態(tài)應力狀態(tài)應力狀態(tài)應力狀態(tài)。A dxdy 一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài)用圍繞該點截取的用圍繞該點截取的用圍繞該點截取的用圍繞該點截取的微小單元體上的應力來描述微小單元體上的應力來描述微小單元體上的應力來描述微小單元體上的應力來描述。單元體尺單元體尺單元體尺單元體尺寸微小，各面上的應力可認為是均勻的寸微小，各面上的應力可認為是均勻的寸微小，各面

45、上的應力可認為是均勻的寸微小，各面上的應力可認為是均勻的。由定義有：故可知，一點的應力與過該點之截面的取向有關一點的應力與過該點之截面的取向有關一點的應力與過該點之截面的取向有關一點的應力與過該點之截面的取向有關。d dxa a斜截面？斜截面？29sa 應力應力面積面積斜面法向內力斜面法向內力法向內力在法向內力在x軸的投影軸的投影 設設 已知，已知，A點在法向與軸線夾點在法向與軸線夾角角 之截面上應力為之截面上應力為 、，斜截面上的斜截面上的應力應力：F Fx x=(d(dx x/sin/sin )1cos)1cos 注意式中各項是注意式中各項是注意式中各項是注意式中各項是力的投影分量力的投影

46、分量力的投影分量力的投影分量。A dxdyd dxa ax ya由單位厚度微元力的平衡條件可得：由單位厚度微元力的平衡條件可得：+(d(dx x/sin/sin )1sin)1sin -(d(dx x/tan/tan )1=0)1=0 F Fy y=(d(dx x/sin/sin )1sin)1sin -(d(dx x/sin/sin )1cos)1cos =0=0 coscos (dx/sina)斜面長斜面長1 1 1 1厚厚30Fx aaB BB B aF =0=0時，時，時，時，=，=0=0，橫截面上橫截面上橫截面上橫截面上正應力正應力正應力正應力最大；最大；最大；最大；求得求得求得求得

47、A A點在與軸線夾角為點在與軸線夾角為點在與軸線夾角為點在與軸線夾角為 之截面上的應力為之截面上的應力為之截面上的應力為之截面上的應力為:=(1+cos2(1+cos2 )/2)/2；=sin2sin2 /2/2 如：如：如：如：鑄鐵試樣受壓時，鑄鐵試樣受壓時，鑄鐵試樣受壓時，鑄鐵試樣受壓時，=45=45 斜斜斜斜截面上的應力截面上的應力截面上的應力截面上的應力 和和和和 為：為：為：為：=-=-/2/2;=-=-/2/2 鑄鑄鑄鑄鐵鐵鐵鐵抗抗抗抗壓壓壓壓能能能能力力力力遠遠遠遠大大大大于于于于抗抗抗抗剪剪剪剪或或或或抗抗抗抗拉拉拉拉能能能能力力力力，故故故故實實實實驗驗驗驗時時時時先先先先發(fā)

48、發(fā)發(fā)發(fā)生生生生與與與與軸線大約成軸線大約成軸線大約成軸線大約成4545 ，剪切破壞。，剪切破壞。，剪切破壞。，剪切破壞。可見：拉壓桿可見：拉壓桿可見：拉壓桿可見：拉壓桿斜截面上有正應力和切應力斜截面上有正應力和切應力斜截面上有正應力和切應力斜截面上有正應力和切應力。=4545 時，時，時，時，=/2/2，=/2/2，4545 斜截面上斜截面上斜截面上斜截面上切應力切應力切應力切應力最大，且最大，且最大，且最大，且 maxmax=/2/2。314.6 一點的應力和應變一點的應力和應變(一般討論一般討論一般討論一般討論)T T是矢量，法向分量是矢量，法向分量是矢量，法向分量是矢量，法向分量 稱稱稱

49、稱正應力正應力正應力正應力；切向分量；切向分量；切向分量；切向分量 稱稱稱稱切應力切應力切應力切應力。A F FO1)定義定義：一點的一點的一點的一點的應力應力應力應力T T是該處內力的是該處內力的是該處內力的是該處內力的集度，定義為集度，定義為集度，定義為集度，定義為：A是圍繞是圍繞O點的面積微元；點的面積微元；F作用在作用在 A上的內力。上的內力。ATO O 0應力：應力：應力：應力：應變：應變：應變：應變：軸向拉壓桿的平均應力、平均應變定義為：軸向拉壓桿的平均應力、平均應變定義為：軸向拉壓桿的平均應力、平均應變定義為：軸向拉壓桿的平均應力、平均應變定義為：=E E 注意注意注意注意：一般

50、一般一般一般情況下情況下情況下情況下，內力非均勻分布，內力非均勻分布，內力非均勻分布，內力非均勻分布，截面各點應力不同截面各點應力不同截面各點應力不同截面各點應力不同。F FN N 回回顧：顧：32F F A A2)一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài)：A dxdy 一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài)用圍繞該點截取的用圍繞該點截取的用圍繞該點截取的用圍繞該點截取的微小單元體上的應力來描述微小單元體上的應力來描述微小單元體上的應力來描述微小單元體上的應力來描述。單元體尺單元體尺單元體尺單元體尺寸微小，各面上的應力可認為是均勻的寸微小，各面上的應力可認為是均勻的寸微小，各面上的應力可

51、認為是均勻的寸微小，各面上的應力可認為是均勻的。d dxa a斜截面？斜截面？=0=0時，時，時，時，=，=0=0，橫截面上橫截面上橫截面上橫截面上正應力正應力正應力正應力最大；最大；最大；最大；求得求得求得求得A A點在與軸線夾角為點在與軸線夾角為點在與軸線夾角為點在與軸線夾角為 之截面上的應力之截面上的應力之截面上的應力之截面上的應力為為為為:=(1+cos2(1+cos2 )/2)/2；=sin2sin2 /2/2 =4545 時，時，時，時，=/2/2，=/2/2，4545 斜截面上斜截面上斜截面上斜截面上切應力切應力切應力切應力最大，且最大，且最大，且最大，且 maxmax=/2/2

52、。33對于單向拉、壓桿，任對于單向拉、壓桿，任對于單向拉、壓桿，任對于單向拉、壓桿，任一點一點一點一點 A A A A的應力狀態(tài)為的應力狀態(tài)為的應力狀態(tài)為的應力狀態(tài)為：只要確定了一種單元體取向時各微面上的應力，只要確定了一種單元體取向時各微面上的應力，即可求得該點在其他任意取向之截面上的應力即可求得該點在其他任意取向之截面上的應力。A A =0=0=45 A A/2/2/2/2或或=/2/2A A z z剪應力互等定理：剪應力互等定理：剪應力互等定理：剪應力互等定理：單元體單元體單元體單元體(d dx x x x x xd dy y x1)x1)x1)x1)互垂截面上的剪應互垂截面上的剪應互垂

53、截面上的剪應互垂截面上的剪應力互等，指向相對力互等，指向相對力互等，指向相對力互等，指向相對(同時指向或離開截同時指向或離開截同時指向或離開截同時指向或離開截面交線面交線面交線面交線)。S SMM =t t d dy yx x1 1x xd dx x-t t d dx xx x1 1x xd dy y=0=0 t=t z zF F A A結論：結論：1)1)應力是矢量應力是矢量應力是矢量應力是矢量。2)2)一點的應力與過該點的截面取向有關一點的應力與過該點的截面取向有關一點的應力與過該點的截面取向有關一點的應力與過該點的截面取向有關。3)3)可以用微小單元體各面上的應力描述一可以用微小單元體各

54、面上的應力描述一可以用微小單元體各面上的應力描述一可以用微小單元體各面上的應力描述一 點的應力狀態(tài)點的應力狀態(tài)點的應力狀態(tài)點的應力狀態(tài)。34變形：物體受力后幾何形狀或尺寸的改變。變形：物體受力后幾何形狀或尺寸的改變。變形：物體受力后幾何形狀或尺寸的改變。變形：物體受力后幾何形狀或尺寸的改變。用應變表示，如拉壓桿（應變用應變表示，如拉壓桿（應變用應變表示，如拉壓桿（應變用應變表示，如拉壓桿（應變 =l l/l l0 0 0 0），），），），與幾何尺寸無關。與幾何尺寸無關。與幾何尺寸無關。與幾何尺寸無關。一點的應變可由考查該點附近小單元體的變形而定一點的應變可由考查該點附近小單元體的變形而定一點

55、的應變可由考查該點附近小單元體的變形而定一點的應變可由考查該點附近小單元體的變形而定義。變形包括單元體尺寸和形狀二種改變義。變形包括單元體尺寸和形狀二種改變義。變形包括單元體尺寸和形狀二種改變義。變形包括單元體尺寸和形狀二種改變。線應變線應變線應變線應變、切切切切應變應變應變應變 分別與分別與分別與分別與 、的作用相對應的作用相對應的作用相對應的作用相對應。二、二、應變應變和線應變線應變線應變線應變：過過過過A A點沿坐標方向線段的點沿坐標方向線段的點沿坐標方向線段的點沿坐標方向線段的尺寸改變尺寸改變尺寸改變尺寸改變。剪應變剪應變剪應變剪應變：過過過過A A點直角點直角點直角點直角形狀的形狀的

56、形狀的形狀的改變改變改變改變。ACC yxDBBDAdydx返回主目錄返回主目錄返回主目錄返回主目錄35再論利再論利再論利再論利用力的平衡、變形幾用力的平衡、變形幾用力的平衡、變形幾用力的平衡、變形幾何協(xié)調及力與變形間的關系，何協(xié)調及力與變形間的關系，何協(xié)調及力與變形間的關系，何協(xié)調及力與變形間的關系，分析變形體靜力學問題的基本方法分析變形體靜力學問題的基本方法分析變形體靜力學問題的基本方法分析變形體靜力學問題的基本方法。解解解解：畫受力圖。有平衡方程：畫受力圖。有平衡方程：畫受力圖。有平衡方程：畫受力圖。有平衡方程：MMC C(F F)=)=F FB Bsin45sin45 -F F=0 =

57、0 F FB B=31.1kN31.1kN F Fx x=F FCxCx-F FB Bcos45cos45 =0 =0 F FCxCx=22kN=22kN F Fy y=F FCyCy+F FB Bsin45sin45 -F F=0 =0 F FCyCy=0=0 亦可由三力平衡判斷亦可由三力平衡判斷亦可由三力平衡判斷亦可由三力平衡判斷1)1)1)1)力的平衡力的平衡力的平衡力的平衡：二桿均為單向拉壓，軸力為：二桿均為單向拉壓，軸力為：二桿均為單向拉壓，軸力為：二桿均為單向拉壓，軸力為：F FN NBCBC=F FB B=31.1kN(=31.1kN(拉拉拉拉););F FN NCDCD=-F

58、FCxCx=-22kN(22kN(壓壓壓壓)2)2)2)2)力與變形的物理關系力與變形的物理關系力與變形的物理關系力與變形的物理關系：例例例例4.94.9 圖中圖中圖中圖中BDBD桿直徑桿直徑桿直徑桿直徑d d=25mm=25mm，CDCD桿為桿為桿為桿為3080mm3080mm矩矩矩矩 形截面，彈性模量形截面，彈性模量形截面，彈性模量形截面，彈性模量E E=200GPa=200GPa，求，求，求，求D D點的位移。點的位移。點的位移。點的位移。BCDF=22kNl=3mF FCyCyF FB B45F FCxCx4.7 4.7 變形體靜力學分析變形體靜力學分析返回主目錄返回主目錄返回主目錄返

59、回主目錄36由由由由力與變形間的物理關系力與變形間的物理關系力與變形間的物理關系力與變形間的物理關系知各桿變形為：知各桿變形為：知各桿變形為：知各桿變形為：l lBDBD=F FN NBDBDl lBDBD/E E(d d2 2/4)=1.34410/4)=1.34410-3-3 m m l lCDCD=F FN NCDCDl lCDCD/EAEACDCD=-0.1375100.137510-3-3 m m故變形后故變形后故變形后故變形后D D點的位移為：點的位移為：點的位移為：點的位移為：水平位移：水平位移：水平位移：水平位移：u u=DDDD2 2=l lCDCD=0.137 mm (=0

60、.137 mm ()垂直位移：垂直位移：垂直位移：垂直位移：v v=D D2 2HH+HDHD=DDDD1 1/cos/cos +DDDD2 2 =l lBDBD+l lCDCD =2.038 mm(=2.038 mm()BCDDuv3)3)3)3)變形幾何協(xié)調條件：變形幾何協(xié)調條件：變形幾何協(xié)調條件：變形幾何協(xié)調條件：(求位移求位移求位移求位移)變形后變形后變形后變形后D D點應移至以點應移至以點應移至以點應移至以B B、C C為圓心，為圓心，為圓心，為圓心，以桿變形后的長度為半徑的二圓弧交以桿變形后的長度為半徑的二圓弧交以桿變形后的長度為半徑的二圓弧交以桿變形后的長度為半徑的二圓弧交點點點

61、點DD處。變形量與原尺寸相比很小，處。變形量與原尺寸相比很小，處。變形量與原尺寸相比很小，處。變形量與原尺寸相比很小，用切線代替圓弧。幾何關系如放大圖。用切線代替圓弧。幾何關系如放大圖。用切線代替圓弧。幾何關系如放大圖。用切線代替圓弧。幾何關系如放大圖。DD1DHK lBD45 D2 lCD37靜定靜定靜定靜定問題問題問題問題求反力求反力求反力求反力 內力內力內力內力 應力應力應力應力平衡平衡平衡平衡方程方程方程方程求位移求位移求位移求位移幾何幾何幾何幾何方程方程方程方程求變形求變形求變形求變形物理物理物理物理方程方程方程方程2 2個物體，個物體，6 6個平衡方程個平衡方程3 3處鉸鏈，處鉸鏈

62、，6 6個約束力個約束力問題是靜定的。問題是靜定的。變形體力學靜定問題的求解方法為：變形體力學靜定問題的求解方法為：BCDF=22kNl=3mF FCyCyF FB B45F FCxCx38例例例例4.104.10 剛性梁剛性梁剛性梁剛性梁ABAB如圖。桿如圖。桿如圖。桿如圖。桿1 1、2 2的截面積和彈性模量的截面積和彈性模量的截面積和彈性模量的截面積和彈性模量 分別為分別為分別為分別為A A1 1、A A2 2；E E1 1、E E2 2。求各桿內力求各桿內力求各桿內力求各桿內力。aaaABF F12l解解解解：1)1)1)1)力的平衡：力的平衡：力的平衡：力的平衡：平衡方程為：平衡方程為

63、：平衡方程為：平衡方程為：MMA A(F F)=)=F F1 1a a+2+2F F2 2a a-3-3FaFa=0=0 F Fy y=F FAyAy+F F1 1+F F2 2=0=0 3 3 3 3個未知力，個未知力，個未知力，個未知力，2 2 2 2個方程，一次靜不定。個方程，一次靜不定。個方程，一次靜不定。個方程，一次靜不定。2)2)力與變形間的物理關系力與變形間的物理關系力與變形間的物理關系力與變形間的物理關系：l l1 1=F F1 1l l/E E1 1A A1 1 ；l l2 2=F F2 2l l/E E2 2A A2 2 3)3)變形幾何協(xié)調條件變形幾何協(xié)調條件變形幾何協(xié)調

64、條件變形幾何協(xié)調條件:變形后應有：變形后應有：變形后應有：變形后應有：l l2 2=2=2 l l1 1 ；即即即即 F F2 2l l/E E2 2A A2 2=2=2F F1 1l l/E E1 1A A1 1。解得：解得：F FAyAyF F1 1F F2 2 l2 l1求出內力后，應力、變形和位移顯然不難求得。求出內力后，應力、變形和位移顯然不難求得。39靜不定結構可減小構件內力，增加剛度，減小變形靜不定結構可減小構件內力，增加剛度，減小變形靜不定結構可減小構件內力，增加剛度，減小變形靜不定結構可減小構件內力，增加剛度，減小變形。若去掉桿若去掉桿1 1，成為靜定結構，則：，成為靜定結構

65、，則：F2=3F/2；FAy=-F/2。討討論論若二桿相同，若二桿相同，E1=E2=E，A1=A2=A；有：有：F1=3F/5；F2=6F/5；FAy=-4F/53 3 3 3個物體，個物體，個物體，個物體，9 9 9 9個平衡方程；個平衡方程；個平衡方程；個平衡方程；5 5 5 5處鉸鏈，處鉸鏈，處鉸鏈，處鉸鏈，10101010個約束反力個約束反力個約束反力個約束反力問題是一次靜不定的。問題是一次靜不定的。問題是一次靜不定的。問題是一次靜不定的。aaaABF F12lF FAyAyF F1 1F F2 2解答為：解答為：靜不定問題，反力、內力、應力均與材料有關。靜不定問題，反力、內力、應力均

66、與材料有關。靜不定問題，反力、內力、應力均與材料有關。靜不定問題，反力、內力、應力均與材料有關。變形體靜不定問題的求解方法為：變形體靜不定問題的求解方法為：靜不定問題反力、內力變形、應力、位移.聯(lián)立求解力的平衡方程力的平衡方程材料物理方程材料物理方程變形幾何方程變形幾何方程40解解：溫度升高時，桿溫度升高時，桿溫度升高時，桿溫度升高時，桿BCBC要伸長。兩要伸長。兩要伸長。兩要伸長。兩 端約束限制伸長，引起約束反力。端約束限制伸長，引起約束反力。端約束限制伸長，引起約束反力。端約束限制伸長，引起約束反力。約束反力作用的結果是使桿在軸向受壓縮短，約束反力作用的結果是使桿在軸向受壓縮短，約束反力作用的結果是使桿在軸向受壓縮短，約束反力作用的結果是使桿在軸向受壓縮短，故兩端約束力如圖故兩端約束力如圖故兩端約束力如圖故兩端約束力如圖。1)1)1)1)力的平衡力的平衡力的平衡力的平衡:F FB B=F FC C=F F （溫度與變形、力與變形關系）溫度與變形、力與變形關系）設溫度升高后桿的伸長為：設溫度升高后桿的伸長為：LT=T L 2)2)2)2)物理關系物理關系物理關系物理關系:無外力作用時