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1、第 八 章 向 量 代 數(shù) 與空 間 解 析 幾 何 第 一 節(jié) 向 量 及 其線 性 運 算 .a或表 示 法 :向 量 的 模 : 向 量 的 大 小 , ,21MM記 作一 、 向 量 的 概 念向 量 : (又 稱 矢 量 ). 1M 2M既 有 大 小 , 又 有 方 向 的 量 稱 為 向 量向 徑 (矢 徑 ):自 由 向 量 : 與 起 點 無 關 的 向 量 .起 點 為 原 點 的 向 量 .單 位 向 量 : 模 為 1 的 向 量 , .a 或記 作 a零 向 量 : 模 為 0 的 向 量 , .00 或，記 作 有 向 線 段 M1 M2 ,或 a , ,a或 .a

2、或 若 向 量 a 與 b大 小 相 等 , 方 向 相 同 , 則 稱 a 與 b 相 等 ,記 作 a b ;與 a 的 模 相 同 , 但 方 向 相 反 的 向 量 稱 為 a 的 負 向 量 ,因 平 行 向 量 可 平 移 到 同 一 直 線 上 , 故 兩 向 量 平 行 又 稱 兩 向 量 共 線 .若 k (3)個 向 量 經(jīng) 平 移 可 移 到 同 一 平 面 上 ,則 稱 此 k 個 向 量 共 面 .記 作 a ; 規(guī) 定 : 零 向 量 與 任 何 向 量 平 行 ;若 向 量 a 與 b 方 向 相 同 或 相 反 ,則 稱 a 與 b 平 行 , a b ;記 作

3、 二 、 向 量 的 線 性 運 算1. 向 量 的 加 法三 角 形 法 則 :平 行 四 邊 形 法 則 :運 算 規(guī) 律 : 交 換 律結 合 律b b abba cba )( )( cba cba a bcba cb)( cba cba )(aa baba三 角 形 法 則 可 推 廣 到 多 個 向 量 相 加 . s 3a4a 5a2a1a 54321 aaaaas 2. 向 量 的 減 法三 角 不 等 式ab )( ab 有時特 別 當 ,ab aa )( aa baba ab ab aba0baba aa 3. 向 量 與 數(shù) 的 乘 法 是 一 個 數(shù) , .a規(guī) 定 :

4、時 ，0 ，同 向與 aa ,0時 ,0時 .0 a ;aa ;1 aa 可 見 ;1 aa ;aa 與 a 的 乘 積 是 一 個 新 向 量 , 記 作，反 向與 aa 總 之 :運 算 律 : 結 合 律 )( a )( a a分 配 律 a)( aa )( ba ba ,0a若 a則 有 單 位 向 量 aa 1 因 此 aaa 定 理 1 設 a 為 非 零 向 量 , 則 ( 為 唯 一 實 數(shù) )證 : “ ”. , 取 且再 證 數(shù) 的 唯 一 性 . 則,0故 . 即a b ab 設 a b b a取 正 號 , 反 向 時 取 負 號 , , a , b 同 向 時則 b

5、與 a 同 向 ,設 又 有 b a , 0)( aa a b aa b.ab 故 ,0a而 “ ” 則,0時當 ,0時當 已 知 b a ,b 0a , b 同 向 a b ,0時當 a , b 反 向 x橫 軸 y縱 軸z豎 軸定 點 o空 間 直 角 坐 標 系 三 個 坐 標 軸 的 正 方 向符 合 右 手 系 .三 、 空 間 直 角 坐 標 系1. 空 間 直 角 坐 標 系 的 基 本 概 念 x yozxoy面 yoz面 zox面 坐 標 面 坐 標 原 點 坐 標 軸 卦 限 (八 個 ) 空 間 的 點 有 序 數(shù) 組 ),( zyx 對 應 關 系11特 殊 點 的 表

6、 示 : )0,0,0(O ),( zyxMx yzo)0,0,(xP )0,0( yQ),0,0( zR )0,( yxA ),0( zyB),0,( zxC 坐 標 軸 上 的 點 ,P ,Q ,R坐 標 面 上 的 點 ,A ,B ,C 2. 向 量 的 坐 標 表 示設 點 M ,),( zyxM 則沿 三 個 坐 標 軸 方 向 的 分 向 量 .kzjyixr ),( zyx x o yz MN BCikA , 軸 上 的 單 位 向 量分 別 表 示以 zyxkji 的 坐 標 為此 式 稱 為 向 量 r 的 坐 標 分 解 式 ,rkzjyix 稱 為 向 量, r在 空 間

7、 直 角 坐 標 系 下 ,任 意 向 量 r ， 都 可 以 找 到 一 點 M，使 得 r = OM， 稱 其 為 點 M關 于 原 點 O的 向 徑 。NMONOM OCOBOA ,ixOA ,jyOB kzOC j 四 、 利 用 坐 標 作 向 量 的 線 性 運 算設 ),( zyx aaaa ,),( zyx bbbb 則ba ),( zzyyxx bababa a ),( zyx aaa ab ,0 時當 a ab xx ab yy ab zz ab xxab yyab zzab平 行 向 量 對 應 坐 標 成 比 例 : ，為 實 數(shù) 五 、 向 量 的 模 、 方 向 角

8、 1. 向 量 的 模 與 兩 點 間 的 距 離 公 式 222 zyx ),( zyxr 設 則 有OMr 222 OROQOP x o yz MN QRP由 勾 股 定 理 得 ),( 111 zyxA 因 A B得 兩 點 間 的 距 離 公 式 : ),( 121212 zzyyxx 212212212 )()()( zzyyxx 對 兩 點 與 ,),( 222 zyxB ,rOM 作OMr OROQOP BABA OAOBBA o yzx2. 方 向 角 與 方 向 余 弦設 有 兩 非 零 向 量 ,ba 任 取 空 間 一 點 O , ,aOA 作,bOB O AB稱 = A

9、OB (0 ) 為 向 量 ba , 的 夾 角 . ),( ab 或類 似 可 定 義 向 量 與 軸 , 軸 與 軸 的 夾 角 . ,0),( zyxr給 定 與 三 坐 標 軸 的 夾 角 , , r r稱為 其 方 向 角 .cos rx 222 zyx x 方 向 角 的 余 弦 稱 為 其 方 向 余 弦 . 記 作 ),( ba o yzx r cos rx 222 zyx x cos ry 222 zyx y cos rz 222 zyx z 1coscoscos 222 方 向 余 弦 的 性 質 : :的 單 位 向 量向 量 r rrr )cos,cos,(cos 例

10、1 已 知 兩 點 )2,2,2(1M 和 ,)0,3,1(2M的 模 、 方 向 余 弦 和 方 向 角 . 解 : ,21 ,23 )20 計 算 向 量)2,1,1( 222 )2(1)1( 2,21cos ,21cos 22cos ,32 ,3 4321MM (21 MM 21MM 作 業(yè) P13習 題 8-11， 4， 5， 15 第 二 節(jié) 數(shù) 量 積 向 量 積 cos| sFW 啟 示 : cos| baba 實 例 兩 向 量 作 這 樣 的 運 算 , 結 果 是 一 個 數(shù) 量定 義一 、 兩 向 量 的 數(shù) 量 積 記 作故 abjrPb bajrPcosb ba ba

11、 ajrPba b a,0 時當 a 上 的 投 影 為在 ab,0, 時當同 理 b 1、 關 于 數(shù) 量 積 的 說 明0)2( ba ba )( ,0ba ,0| a ,0| b,0cos .ba 2|)1( aaa )( ,ba ,0cos .0cos| baba ,0 .|cos| 2aaaaa 證證 ,2,2 2、 數(shù) 量 積 符 合 下 列 運 算 規(guī) 律 ：(1) 交 換 律 ： abba (2) 分 配 律 ： cbcacba )(3) 若 為 常 數(shù) ： )()()( bababa 若 、 為 常 數(shù) ： )()()( baba ,kajaiaa zyx kbjbibb z

12、yx 設 ba )( kajaia zyx )( kbjbib zyx ,kji ,0 ikkjji ,1| kji .1 kkjjii zzyyxx babababa 3、 數(shù) 量 積 的 坐 標 表 達 式 cos| baba ,|cos ba ba 222222cos zyxzyx zzyyxx bbbaaa bababa 由 此 得 兩 向 量 夾 角 余 弦 的 坐 標 表 示 式 0 zzyyxx babababa 可 知 兩 向 量 垂 直 的 充 要 條 件 為 解 ba )1( 2)4()2(111 .9 222222cos)2( zyxzyx zzyyxx bbbaaa b

13、ababa ,21 ajbba b Pr|)3( .3|Pr bbaajb .43 證 ： 因 為 cacbbca )()( )()( cacbcbca )( cacabc 0 cacbbca )()(所 以 | FOQM sin| FOP 實 例二 、 兩 向 量 的 向 量 積LFPQO sin| bac 定 義 向 量 積 也 稱 為 “ 叉 積 ” 、 “ 外 積 ” 。 1、 關 于 向 量 積 的 說 明 ：.0)1( aa )0sin0( ba )2( / .0 ba )0,0( ba)( ,0 ba ,0| a ,0| b,0sin 0 , 或)( 0sin .0sin| ba

14、ba 證 ba /ba /或0 2、 向 量 積 符 合 下 列 運 算 規(guī) 律 ：（1）.abba （2）分 配 律 ： .)( cbcacba （3）若 為 數(shù) ： ).()()( bababa ,kajaiaa zyx kbjbibb zyx 設 ba )( kajaia zyx )( kbjbib zyx ,kji ,0 kkjjii ,jik ,ikj ,kij .jki ,ijk kbabajbabaibaba xyyxzxxzyzzy )()()( 3、 向 量 積 的 坐 標 表 達 式 kbabajbabaibababa xyyxzxxzyzzy )()()( 向 量 積 的

15、 坐 標 表 達 式ba / zzyyxx bababa 由 上 式 可 推 出 ： zyx zyx bbb aaa kjiba 補 充 a bbac 解 zyx zyx bbb aaa kjibac 211 423 kji ,510 kj ,55510| 22 c |0 ccc .5152 kj 作 業(yè) P23習 題 8-21(1)、 (3)， 3， 4， 9 第 三 節(jié) 平 面 及 其 方 程 x yzo 0M M如 果 一 非 零 向 量 垂 直 于 一平 面 ， 這 向 量 就 叫 做 該 平面 的 法 線 向 量 法 線 向 量 的 特 征 ： 垂 直 于 平 面 內(nèi) 的 任 一 向

16、 量 已 知設 平 面 上 的 任 一 點 為 ),( zyxMnMM 0必 有 一 、 平 面 的 點 法 式 方 程 n0 0 0 0( , , ), ( , , ),n A B C M x y z 0 0,M M n 0)()()( 000 zzCyyBxxA 平 面 的 點 法 式 方 程平 面 上 的 點 都 滿 足 上 方 程 ，不 在 平 面 上 的 點 都 不 滿 足 上 方 程 其 中 法 向 量 ),( CBAn 已 知 點 ).,( 000 zyx0 0 0 0( , , ),M M x x y y z z 解 ),6,4,3( AB ),1,3,2( AC取 ACABn

17、 ),1,9,14( 所 求 平 面 方 程 為 ,0)4()1(9)2(14 zyx化 簡 得 .015914 zyx ),1,1,1(1 n ),12,2,3(2 n取 法 向 量 21 nnn ),5,15,10( ,0)1(5)1(15)1(10 zyx化 簡 得 .0632 zyx所 求 平 面 方 程 為解 由 平 面 的 點 法 式 方 程 0)()()( 000 zzCyyBxxA 0)( 000 CzByAxCzByAx D0 DCzByAx 平 面 的 一 般 方 程法 向 量 ).,( CBAn 二 、 平 面 的 一 般 方 程 ,0)1( D 平 面 通 過 坐 標

18、原 點 ；,0)2( A ,0,0DD 平 面 通 過 軸 ；x平 面 平 行 于 軸 ；x,0)3( BA 平 面 平 行 于 坐 標 面 ；xoy類 似 地 可 討 論 情 形 .0,0 CBCA 0,0 CB類 似 地 可 討 論 情 形 .平 面 一 般 方 程 的 幾 種 特 殊 情 況 ：0 DCzByAx 設 平 面 為 ,0 DCzByAx由 平 面 過 原 點 知 ,0D 0236 CBA),2,1,4( n 024 CBA,32CBA .0322 zyx所 求 平 面 方 程 為解 設 平 面 為 ,0 DCzByAx將 三 點 坐 標 代 入 得 ,0,0,0DcC Db

19、B DaA ,aDA ,bDB .cDC 解 ,aDA ,bDB ,cDC 將代 入 所 設 方 程 得 1 czbyax 平 面 的 截 距 式 方 程 設 平 面 為 ,1 czbyax x yzo,1V ,12131 abc由 所 求 平 面 與 已 知 平 面 平 行 得611161 cba （ 向 量 平 行 的 充 要 條 件 ）解 ,61161 cba 化 簡 得 令 tcba 61161,61ta ,1tb ,61tcttt 61161611 代 入 體 積 式,61t ,1,6,1 cba .666 zyx所 求 平 面 方 程 為 定 義 （ 通 常 取 銳 角 ）11n

20、22n 兩 平 面 法 向 量 之 間 的 夾 角 稱 為 兩 平 面 的夾 角 . ,0: 11111 DzCyBxA ,0: 22222 DzCyBxA ),( 1111 CBAn ),( 2222 CBAn 三 、 兩 平 面 的 夾 角 按 照 兩 向 量 夾 角 余 弦 公 式 有 222222212121 212121 |cos CBACBA CCBBAA 兩 平 面 夾 角 余 弦 公 式兩 平 面 的 特 殊 位 置 關 系 ：21)1( 0212121 CCBBAA21)2( / 212121 CCBBAA 21 nn 21 nn / 例 4 研 究 以 下 各 組 里 兩

21、平 面 的 位 置 關 系 ： 013,012)1( zyzyx 01224,012)2( zyxzyx 02224,012)3( zyxzyx解 )1( 22222 31)1(2)1( |311201|cos 601cos 兩 平 面 相 交 ， 夾 角 .601arccos )2( ),1,1,2(1 n ),2,2,4(2 n,212142 兩 平 面 平 行21 )0,1,1()0,1,1( MM兩 平 面 平 行 但 不 重 合 )3( ,212142 21 )0,1,1()0,1,1( MM 兩 平 面 平 行兩 平 面 重 合 . ),( 1111 zyxP |Pr| 01PPj

22、d n 1P Nn 0P解 1 0 1 0Pr , o onj PP PP n 1 0 0 1 0 1 0 1( , , ),PP x x y y z z 2 2 2 2 2 2 2 2 2, , ,o A B Cn A B C A B C A B C 1 0 1 0Pr o onj PP PP n 0 1 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 1 1 12 2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ,A x x B y y C z zA B C A B C A B CAx By Cz Ax By CzA B C 0111 DCzByAx )( 1 P點 到 平 面

23、距 離 公 式 0 0 02 2 2| | .Ax By Czd A B C 0 0 01 0 2 2 2Pr ,on Ax By Cz Dj PP A B C 1. 平 面 的 方 程（ 熟 記 平 面 的 幾 種 特 殊 位 置 的 方 程 ）2. 兩 平 面 的 夾 角 .3. 點 到 平 面 的 距 離 公 式 .點 法 式 方 程 .一 般 方 程 .截 距 式 方 程 . （ 注 意 兩 平 面 的 位 置 特 征 ）四 、 小 結 作 業(yè) P29習 題 8-3 4 做 書 上1， 3， 5， 6 ， 9 第 四 節(jié) 空 間 直 線及 其 方 程 x yzo 1 2定 義 空 間

24、直 線 可 看 成 兩 平 面 的 交 線 0: 11111 DzCyBxA 0: 22222 DzCyBxA 002222 1111 DzCyBxA DzCyBxA空 間 直 線 的 一 般 方 程 L一 、 空 間 直 線 的 一 般 方 程 x yzo方 向 向 量 ：如 果 一 非 零 向 量 平 行 于 一 條已 知 直 線 ， 這 個 向 量 稱 為 這條 直 線 的 方 向 向 量 s L),( 0000 zyxM 0M M,LM ),( zyxM sMM 0 /二 、 空 間 直 線 的 對 稱 式 方 程 與 參 數(shù) 方 程0 0 0 0( , , ), ( , , ),s

25、m n p M M x x y y z z pzznyymxx 000 直 線 的 對 稱 式 方 程tpzznyymxx 000令 ptzz ntyy mtxx 000 直 線 的 一 組 方 向 數(shù)方 向 向 量 的 方 向 余 弦稱 為 直 線 的 方 向 余 弦 .直 線 的 參 數(shù) 方 程 例 1 用 對 稱 式 方 程 及 參 數(shù) 方 程 表 示 直 線.0432 01 zyx zyx解 在 直 線 上 任 取 一 點 ),( 000 zyx取 10 x ,063 0200 00 zy zy解 得 2,0 00 zy點 坐 標 ),2,0,1( 因 所 求 直 線 與 兩 平 面

26、的 法 向 量 都 垂 直取對 稱 式 方 程 ,32104 1 zyx參 數(shù) 方 程 tz ty tx 32 411 2 (4, 1, 3),s n n 解 所 以 交 點 為 ),0,3,0( B取所 求 直 線 方 程 .4 40 32 2 zyx(2, 0, 4),s BA 定 義直 線 :1L ,1 11 11 1 pzzn yymxx 直 線 :2L ,2 22 22 2 pzzn yymxx 222222212121 21212121 |),cos( pnmpnm ppnnmmLL 兩 直 線 的 方 向 向 量 的 夾 角 .（ 銳 角 ）兩 直 線 的 夾 角 公 式三 、

27、兩 直 線 的 夾 角 兩 直 線 的 特 殊 位 置 關 系 ：21)1( LL ,0212121 ppnnmm21)2( LL / ,212121 ppnnmm 直 線 :1L直 線 :2L ,021 ss ,21 ss 例 如 ， 21 LL 即 1 (1, 4, 0),s 2 (0, 0,1),s 解 設 所 求 直 線 的 方 向 向 量 為根 據(jù) 題 意 知 ,1ns ,2ns 取 .1 53 24 3 zyx所 求 直 線 的 方 程 ( , , ),s m n p1 2 ( 4, 3, 1),s n n 解 先 作 一 過 點 M且 與 已 知 直 線 垂 直 的 平 面 0)

28、3()1(2)2(3 zyx再 求 已 知 直 線 與 該 平 面 的 交 點 N,令 tzyx 12 13 1 .12 13 tz ty tx 代 入 平 面 方 程 得 ,73t 交 點 )73,713,72( N取 所 求 直 線 的 方 向 向 量 為 MN所 求 直 線 方 程 為 .4 3112 2 zyx2 13 3 12 6 24( 2, 1, 3) ( , , ),7 7 7 7 7 7MN 6 (2, 1, 4),7 定 義 直 線 和 它 在 平 面 上 的 投 影 直 線 的 夾角 稱 為 直 線 與 平 面 的 夾 角 ,: 000 pzznyymxxL ,0: DC

29、zByAx 2),( ns 2),( ns 四 、 直 線 與 平 面 的 夾 角0 .2 ( , , ),s m n p ( , , ),n A B C 222222 |sin pnmCBA CpBnAm 直 線 與 平 面 的 夾 角 公 式直 線 與 平 面 的 特 殊 位 置 關 系 ：L)1( L)2( / .0 CpBnAm .cos 2 cossin 2 .pCnBmA n s /n s 解 222222 |sin pnmCBA CpBnAm 96 |22)1()1(21| .637637arcsin 為 所 求 夾 角 (1, 1, 2), (2, 1, 2),n s 1. 空

30、 間 直 線 的 一 般 方 程 .2. 空 間 直 線 的 對 稱 式 方 程 與 參 數(shù) 方 程 .3. 兩 直 線 的 夾 角 .4. 直 線 與 平 面 的 夾 角 .（ 注 意 兩 直 線 的 特 殊 位 置 關 系 ）（ 注 意 直 線 與 平 面 的 特 殊 位 置 關 系 ）五 、 小 結 作 業(yè) P36習 題 8-41， 2， 8 第 五 節(jié) 曲 面 及 其 方 程 水 桶 的 表 面 、 臺 燈 的 罩 子 面 等 曲 面 在 空 間 解 析 幾 何 中 被 看 成 是 點 的 幾 何 軌 跡 曲 面 方 程 的 定 義 ： 如 果 曲 面 S與 三 元 方 程 0),(

31、zyxF 有 下 述 關 系 ： 曲 面 的 實 例 ：一 、 曲 面 方 程 的 概 念 解 RMM | 0根 據(jù) 題 意 有 Rzzyyxx 202020 2202020 Rzzyyxx 所 求 方 程 為特 殊 地 ： 球 心 在 原 點 時 方 程 為 2222 Rzyx 1、 球 面 方 程 2、 旋 轉 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉 曲 面 。這 條 定 直 線 叫 旋 轉曲 面 的 軸 2、 旋 轉 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉

32、一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉 曲 面 。這 條 定 直 線 叫 旋 轉曲 面 的 軸 2、 旋 轉 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉 曲 面 。這 條 定 直 線 叫 旋 轉曲 面 的 軸 2、 旋 轉 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉 曲 面 。這 條 定 直 線 叫 旋 轉曲 面 的 軸 2、 旋 轉 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉 一 周所 成

33、 的 曲 面 稱 為 旋轉 曲 面 。這 條 定 直 線 叫 旋 轉曲 面 的 軸 2、 旋 轉 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉 曲 面 。這 條 定 直 線 叫 旋 轉曲 面 的 軸 2、 旋 轉 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉 曲 面 。這 條 定 直 線 叫 旋 轉曲 面 的 軸 2、 旋 轉 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉 一 周所 成 的 曲 面

34、 稱 為 旋轉 曲 面 。這 條 定 直 線 叫 旋 轉曲 面 的 軸 2、 旋 轉 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉 曲 面 。這 條 定 直 線 叫 旋 轉曲 面 的 軸 2、 旋 轉 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉 曲 面 。這 條 定 直 線 叫 旋 轉曲 面 的 軸 2、 旋 轉 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋

35、轉 曲 面 。這 條 定 直 線 叫 旋 轉曲 面 的 軸 2、 旋 轉 曲 面定 義 以 一 條 平 面曲 線 繞 其 平 面 上 的一 條 直 線 旋 轉 一 周所 成 的 曲 面 稱 為 旋轉 曲 面 。這 條 定 直 線 叫 旋 轉曲 面 的 軸 x oz y 0),( zyf ),0( 111 zyMM),( zyxM設1(1) z z | 122 yyxd 旋 轉 過 程 中 的 特 征 ：如 圖將 代 入2 21 1,z z y x y 0),( 11 zyfd0),( 22 zyxf得 方 程 .0, 22 zxyf x oz y解 cotyz ),0( 111 zyM ),(

36、 zyxM圓 錐 面 方 程 cot22 yxz 例 3 將 下 列 各 曲 線 繞 對 應 的 軸 旋 轉 一 周 ， 求 生成 的 旋 轉 曲 面 的 方 程 12 2222 c zyax 1222 22 cza yx 旋轉雙曲面 12 2222 c zxay 1222 22 cza yx 旋轉橢球面pzyx 222 旋 轉 拋 物 面 定 義3、 柱 面觀 察 柱 面 的 形成 過 程 :平 行 于 定 直 線 并 沿 定 曲 線 移 動 的 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 柱 面 . C L這 條 定 曲 線 叫 柱 面 的 準 線， 動 直 線 叫柱 面 的 母 線 .CL

37、定 義3、 柱 面平 行 于 定 直 線 并 沿 定 曲 線 移 動 的 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 柱 面 . C L這 條 定 曲 線 叫 柱 面 的 準 線， 動 直 線 叫柱 面 的 母 線 .CL觀 察 柱 面 的 形成 過 程 : 從 柱 面 方 程 看 柱 面 的 特 征 ： （ 其 他 類 推 ）實 例 12222 czby 橢 圓 柱 面 / 軸x12222 byax 雙 曲 柱 面 / 軸zpzx 22 拋 物 柱 面 / 軸y 12222 czby 橢 圓 柱 面 / 軸xo zy Mx 2 2x py 拋 物 柱 面 / 軸zx oz y 2 22 2 1y

38、 xa b 雙 曲 柱 面 / 軸zx oz y (1)橢 球 面 ： o z yx1222222 czbyax4、 二 次 曲 面 (三 元 二 次 方 程 )0( cba ， （ 2） 橢 圓 拋 物 面2 22 2x yz a b x yzo 2 22 2x yz a b (3)雙 曲 拋 物 面 （ 馬 鞍 面 ） xzo y xyoz(4)單 葉 雙 曲 面 圖 形1222222 czbyax )0( cba ， (5)雙 葉 雙 曲 面 圖 形 xyo z2 2 22 2 2 1x y za b c )0( cba ， Ox yz(6) 二 次 錐 面 0222222 czbyax

39、 )0( cba ， 1. 曲 面 方 程 的 概 念2. 旋 轉 曲 面 的 概 念 及 求 法 .3. 柱 面 的 概 念 (母 線 、 準 線 ). .0),( zyxF小 結4. 二 次 曲 面 作 業(yè) P45習 題 8-51， 8(1)、 (3)，10(1)、 (2) 第 六 節(jié) 空 間 曲 線及 其 方 程 0),( 0),( zyxG zyxF空 間 曲 線 的 一 般 方 程特 點 : 曲 線 上 的 點 都 滿 足 方 程 ， 滿足 方 程 的 點 都 在 曲 線 上 ， 不 在 曲 線上 的 點 不 能 同 時 滿 足 兩 個 方 程 . x oz y1S 2SC空 間 曲

40、 線 C可 看 作 空 間 兩 曲 面 的 交 線 .一 、 空 間 曲 線 的 一 般 方 程 例 1 方 程 組 表 示 怎 樣 的 曲 線 ？ 632 122 zx yx解 122 yx 表 示 圓 柱 面 ，632 zx 表 示 平 面 ， 632 122 zx yx交 線 為 橢 圓 . )( )( )(tzz tyy txx 空 間 曲 線 的 參 數(shù) 方 程二 、 空 間 曲 線 的 參 數(shù) 方 程 動 點 從 A點 出發(fā) ， 經(jīng) 過 t時 間 ， 運 動 到 M點 A MM tax cos tay sinvtzt 螺 旋 線 的 參 數(shù) 方 程取 時 間 t為 參 數(shù) ，解 x

41、 yzo 則 螺 旋 線 的 參 數(shù) 方 程 可 以 化 為 bz ay ax sincos vbt ,令螺 旋 線 的 重 要 性 質 ： ,: 00 ,: 00 bbbz 上 升 的 高 度 與 轉 過 的 角 度 成 正 比 即 上 升 的 高 度 bh 2 螺 距 ,2 0),( 0),( zyxG zyxF消 去 變 量 z 后 得 ： 0),( yxH曲 線 關 于 的 投 影 柱 面xoy設 空 間 曲 線 的 一 般 方 程 ：以 此 空 間 曲 線 為 準 線 ， 垂 直 于 所 投 影 的 坐 標 面 .投 影 柱 面 的 特 征 ：三 、 空 間 曲 線 在 坐 標 面

42、上 的 投 影 z yx C CO 類 似 地 ： 可 定 義 空 間 曲 線 在 其 他 坐 標 面 上 的 投 影 0 0),(x zyR 0 0),(y zxT面 上 的 投 影 曲 線 ,yoz 面 上 的 投 影 曲 線 ,xoz 0 0),(z yxH空 間 曲 線 在 面 上 的 投 影 曲 線xoy z yx C CO 如 圖 :投 影 曲 線 的 研 究 過 程 .空 間 曲 線 投 影 曲 線投 影 柱 面 例 3 求 曲 線 在 坐 標 面 上 的 投 影 . 21 1222z zyx解 (1) 消 去 變 量 z 后 得,4322 yx在 面 上 的 投 影 為xoy

43、,0 4322 z yx 所 以 在 面 上 的 投 影 為 線 段 .xoz ;23|,021 xyz(3) 同 理 在 面 上 的 投 影 也 為 線 段 .yoz .23|,021 yxz(2) 因 為 曲 線 在 平 面 上 ，21z . ,)(3 4, 4 22 22面上的投影求它在錐面所圍成和由上半球面設一個立體例xoyyxz yxz 解 半 球 面 和 錐 面 的 交 線 為 ,)(3 ,4: 22 22 yxz yxzC ,122 yxz 得 投 影 柱 面消 去 zx y1C O 面 上 的 投 影 為在則 交 線 xoyC .0 ,122z yx 一 個 圓 ,面 上 的 投 影 為所 求 立 體 在 xoy .0 ,122z yx 截 線 方 程 為 02 22 zyx xzy解 如 圖 , ,0 0425 22 y xxzzx .0 0222 x zyzy ,0 045 22 z xxyyx 空 間 曲 線 的 一 般 方 程 、 參 數(shù) 方 程 四 、 小 結空 間 曲 線 在 坐 標 面 上 的 投 影 0),( 0),( zyxG zyxF )( )( )(tzz tyy txx 0 0),(z yxH 0 0),(x zyR 0 0),(y zxT 作 業(yè) P51習 題 8-61、 2做 書 上 ，4、 5