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1、第二章 平面問題的基本理論一一.平面應力問題平面應力問題yxyZt/2簡化為圖示等厚度板簡化為圖示等厚度板受載情況受載情況-平行于板平行于板面且沿板厚均勻分布面且沿板厚均勻分布 前后板面沒有載荷；前后板面沒有載荷；此種情況即屬平面應此種情況即屬平面應力問題。力問題。2.1 2.1 平面應力與平面應變問平面應力與平面應變問題題2.2.平面應力問題的特征平面應力問題的特征1.1.引例：引例：墻壁、座艙隔板等墻壁、座艙隔板等薄板如圖：厚度為薄板如圖：厚度為t,t,以薄板的中面為以薄板的中面為xyxy面面,以垂以垂直于中面的任一直線為直于中面的任一直線為z z軸軸,建立坐標系如圖所建立坐標系如圖所示。

2、因板面上（示。因板面上（z=z=t/2t/2）不受力，所以有：不受力，所以有：根據(jù)剪應力互等定理可知根據(jù)剪應力互等定理可知xyzyt/2t/2所以所以,在薄板中只剩下平行于在薄板中只剩下平行于x x、y y面的三個應力面的三個應力分量，即：分量，即：此即為平面應力問題的特征。用單元體可表示如圖此即為平面應力問題的特征。用單元體可表示如圖二二.平面應變問題平面應變問題 簡化為等長度很長的截面柱體簡化為等長度很長的截面柱體,載荷垂直于長度方載荷垂直于長度方向，且沿長度方向不變向，且沿長度方向不變作為無限長柱體看待。作為無限長柱體看待。3.3.平面應力問題的定義平面應力問題的定義對于僅有平行于對于僅

3、有平行于xyxy面的三個應力分量的均質薄板面的三個應力分量的均質薄板類問題，就稱為平面應力問題。類問題，就稱為平面應力問題。1.1.引例引例:水壩、隧洞等水壩、隧洞等2.2.平面應變問題的特征平面應變問題的特征(1)(1)位移分量位移分量對于無限長柱體，由于任一橫截面都可看成對稱截對于無限長柱體，由于任一橫截面都可看成對稱截面，而對稱截面上的各點是不能產生沿面，而對稱截面上的各點是不能產生沿Z Z向的位移向的位移的，因此的，因此,對任一截面都應有：對任一截面都應有：(2)(2)應變分量應變分量根據(jù)對稱關系和剪應力互等定理有根據(jù)對稱關系和剪應力互等定理有(3)(3)應力分量應力分量對于平面應變問

4、體對于平面應變問體,真正獨立的應力分量只有三個。真正獨立的應力分量只有三個。3.3.平面應變問題的定義平面應變問題的定義對于無限長柱體，對于無限長柱體，所有的應變與位移都發(fā)生所有的應變與位移都發(fā)生xoyxoy面內，就稱為平面應力問題。這類問題稱為平面面內，就稱為平面應力問題。這類問題稱為平面應變問題應變問題小結：平面問題基本未知量小結：平面問題基本未知量平面應力問題平面應力問題 平面應變問題平面應變問題1.應力分量應力分量（3個）個）獨立的（獨立的（3個）個）2.應變分量應變分量獨立的（獨立的（3個）個）（3個）個）3.位移分量位移分量獨立的（獨立的（2個）個）（2個）個）2.22.2平衡微分

5、方平衡微分方程程一一.平面應力問題平衡方程平面應力問題平衡方程應力分量同體力分量之間的關系應力分量同體力分量之間的關系1.1.研究對象研究對象 取單元體尺寸取單元體尺寸dxdx,dydy,單位厚度，單位厚度，體積力體積力f fx x、f fy y。(1)(1)由于應力分量是點的位置坐標的函數(shù)，因此，由于應力分量是點的位置坐標的函數(shù)，因此，在單元體兩個對應平面上在單元體兩個對應平面上,應力相差一個微量。應力相差一個微量。(2)(2)由于單元體是由于單元體是微小的，故，它的各微小的，故，它的各面上所受應力可認為面上所受應力可認為是均勻分布的，體力是均勻分布的，體力也是均勻分布的。也是均勻分布的。注

6、：注：2.2.靜力平衡條件：靜力平衡條件：剪應力互等：上式即為材料力學中的剪應力互等剪應力互等：上式即為材料力學中的剪應力互等定理定理(正負號有差別正負號有差別)(1)(1)對單元體形心取矩平衡對單元體形心取矩平衡,（3 3）平衡方程）平衡方程:由式（由式（2-22-2）可知：兩個方程包含三個未知量，屬超）可知：兩個方程包含三個未知量，屬超靜定問題，要想求應力分量，還須找出幾何方程。靜定問題，要想求應力分量，還須找出幾何方程。二二.平面應變問題的平衡方程平面應變問題的平衡方程 由于在、面內的受力平衡同平面應力問題的由于在、面內的受力平衡同平面應力問題的情況完全相同，故方程情況完全相同，故方程(

7、-）同樣適用于平面應）同樣適用于平面應變問題。變問題。對于平面應變問題在對于平面應變問題在z方向上有正應力，但它們不隨方向上有正應力，但它們不隨z 的變化而變化，所以能保持自平衡。的變化而變化，所以能保持自平衡。2.32.3幾何方程幾何方程一一.幾何變形圖幾何變形圖應變分量與位移分量之間的關系應變分量與位移分量之間的關系uvxyoPoBoAoPABabP Po oA Ao o=dxdx，y y向微向微分線段分線段P Po oB Bo o=dydy,且且P Po oA Ao o A Ao oB Bo o位移分量是點的位置坐標位移分量是點的位置坐標的函數(shù)的函數(shù);因此因此,線段兩端的線段兩端的位移相

8、差一個微量。位移相差一個微量。二二.線應變線應變三三.剪應變剪應變abuvxyoPoBoAoPAB通過兩正交微分線段的角位移研究通過兩正交微分線段的角位移研究四四.幾何方程幾何方程五五.剛體位移剛體位移(1)(1)由幾何方程可知，給定由幾何方程可知，給定u u、v v可完全確定可完全確定 x x、y y、xyxy(2)(2)給定給定 x x、y y、xyxy，不能完全確定不能完全確定u u、v v；關于此論點關于此論點 可以從下面的可以從下面的“剛體位移的討論中可以看出來。剛體位移的討論中可以看出來。-剛體位剛體位移移-是待定常數(shù)，要由約束條件決是待定常數(shù)，要由約束條件決定。定。上式是在應變分量均為零的情況下得出的，上式是在應變分量均為零的情況下得出的，因此該位移因此該位移由（由（c c）式得：式得：謝謝各位！謝謝各位！