《五年高考高考數(shù)學(xué)真題專題歸納 專題17 立體幾何綜合（含解析）理-人教高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《五年高考高考數(shù)學(xué)真題專題歸納 專題17 立體幾何綜合（含解析）理-人教高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題（66頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題17 立體幾何綜合【2020年】1.（2020新課標(biāo)）如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，是底面的內(nèi)接正三角形，P為上一點(diǎn)，（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由題設(shè)，知為等邊三角形，設(shè)，則，所以，又為等邊三角形，則，所以，則，所以，同理，又，所以平面；（2）過(guò)O作BC交AB于點(diǎn)N，因?yàn)槠矫?，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，得，令，得，所以故，設(shè)二面角的大小為，則.【點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的證明以及利用向量

2、求二面角的大小，考查學(xué)生空間想象能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.2.（2020新課標(biāo)）如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過(guò)B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1MN，且平面A1AMNEB1C1F；（2）設(shè)O為A1B1C1的中心，若AO平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）分別為，的中點(diǎn)，又在中，為中點(diǎn)，則又側(cè)面為矩形，由，平面平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面 又平面平面平面平面平面

3、（2）連接平面，平面平面根據(jù)三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面故：四邊形是平行四邊形設(shè)邊長(zhǎng)是()可得：，為的中心，且邊長(zhǎng)為故：解得：在截取，故且四邊形是平行四邊形，由（1）平面故為與平面所成角在，根據(jù)勾股定理可得：直線與平面所成角的正弦值：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明線線平行和面面垂直，及其線面角，解題關(guān)鍵是掌握面面垂直轉(zhuǎn)為求證線面垂直的證法和線面角的定義，考查了分析能力和空間想象能力，屬于難題.3.（2020新課標(biāo)）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E、F分別在棱上，且，（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，求二面角的正弦值【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）在棱上取點(diǎn)，使得，連接、，在長(zhǎng)方體中

4、，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則且，同理可證四邊形為平行四邊形，且，且，則四邊形為平行四邊形，因此，點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)平面的法向量為，由，得取，得，則，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，得，則，設(shè)二面角的平面角為，則，.因此，二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)在平面的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角角，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.4.（2020北京卷）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（）證明見(jiàn)解析；（）.【解析】（）如下圖所示：在正方體中，且，

5、且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；（）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，則.因此，直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法計(jì)算直線與平面所成角的正弦值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.（2020江蘇卷）在三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC，B1C平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)（1）求證：EF平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C平面ABB1【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）證明詳見(jiàn)解析.【解析】（1）由于分別是的中點(diǎn)，所

6、以.由于平面,平面，所以平面.（2）由于平面，平面，所以.由于，所以平面,由于平面，所以平面平面.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，屬于中檔題.6.（2020江蘇卷）在三棱錐ABCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點(diǎn)，AO平面BCD，AO=2，E為AC的中點(diǎn)（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點(diǎn)F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角FDEC的大小為，求sin的值【答案】（1）（2）【解析】（1）連以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則從而直線與所成角的余弦值為（2）設(shè)平面一個(gè)法向量為令設(shè)平面一個(gè)法向量為令因此【點(diǎn)睛】本題考查利用向量求線線角與二面角，考查基本分

7、析求解能力，屬中檔題.7.（2020山東卷）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD底面ABCD設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l（1）證明：l平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）證明： 在正方形中，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)樗云矫妫唬?）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則有，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面

8、所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定和性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)，利用空間向量求線面角，利用基本不等式求最值，屬于中檔題目.8.（2020天津卷）如圖，在三棱柱中，平面，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn)（）求證：；（）求二面角的正弦值；（）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（）證明見(jiàn)解析；（）；（）.【解析】依題意，以為原點(diǎn)，分別以、的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得、.（）依題意，從而，所以；（）依題意，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平

9、面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，所以，二面角的正弦值為；（）依題意，由（）知為平面的一個(gè)法向量，于是所以，直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法證明線線垂直，求二面角和線面角的正弦值，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.9.（2020浙江卷）如圖，三棱臺(tái)DEFABC中，面ADFC面ABC，ACB=ACD=45，DC =2BC（I）證明：EFDB；（II）求DF與面DBC所成角的正弦值【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）【解析】（）作交于，連接平面平面，而平面平面，平面，平面，而平面，即有，在中，即有，由棱臺(tái)的定義可知，所以，而，平面，而平面，（）因?yàn)椋耘c平面所成角即為與

10、平面所成角作于，連接，由（1）可知，平面，因?yàn)樗云矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，平面即在平面?nèi)的射影為，即為所求角在中，設(shè)，則，故與平面所成角的正弦值為【2019年】12【2019年高考全國(guó)卷】如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BEEC1（1）證明：BE平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角BECC1的正弦值【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由已知得，平面，平面，故又，所以平面（2）由（1）知由題設(shè)知，所以，故，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則C（0，1，0），B（1，1，0），

11、（0，1，2），E（1，0，1），設(shè)平面EBC的法向量為n=（x，y，x），則即所以可取n=.設(shè)平面的法向量為m=（x，y，z），則即所以可取m=（1，1，0）于是所以，二面角的正弦值為13【2019年高考全國(guó)卷】圖1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，F(xiàn)BC=60，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC平面BCGE；（2）求圖2中的二面角BCGA的大小.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個(gè)平面

12、，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE又因?yàn)锳B平面ABC，所以平面ABC平面BCGE（2）作EHBC，垂足為H因?yàn)镋H平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC由已知，菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2，EBC=60，可求得BH=1，EH=以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Hxyz，則A（1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，1，0）設(shè)平面ACGD的法向量為n=（x，y，z），則即所以可取n=（3，6，）又平面BCGE的法向量可取為m=（0，1，0），所以因此二面角BCGA的大小為3014

13、【2019年高考北京卷】如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且（1）求證：CD平面PAD；（2）求二面角FAEP的余弦值；（3）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）見(jiàn)解析.【解析】（1）因?yàn)镻A平面ABCD，所以PACD又因?yàn)锳DCD，所以CD平面PAD（2）過(guò)A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M因?yàn)镻A平面ABCD，所以PAAM，PAAD如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2

14、）因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以E（0，1，1）所以所以.設(shè)平面AEF的法向量為n=（x，y，z），則即令z=1，則于是又因?yàn)槠矫鍼AD的法向量為p=（1，0，0），所以.由題知，二面角FAEP為銳角，所以其余弦值為（3）直線AG在平面AEF內(nèi)因?yàn)辄c(diǎn)G在PB上，且，所以.由（2）知，平面AEF的法向量.所以.所以直線AG在平面AEF內(nèi).15【2019年高考天津卷】如圖，平面，（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若二面角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【解析】依題意，可以建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，設(shè)，則（

15、1）依題意，是平面的法向量，又，可得，又因?yàn)橹本€平面，所以平面（2）依題意，設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得因此有所以，直線與平面所成角的正弦值為（3）設(shè)為平面的法向量，則即不妨令，可得由題意，有，解得經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意所以，線段的長(zhǎng)為16【2019年高考江蘇卷】如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC求證：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】（1）因?yàn)镈，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，所以EDAB.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED.又因?yàn)镋D平面DEC1，A1B1平面DEC1，

16、所以A1B1平面DEC1.（2）因?yàn)锳B=BC，E為AC的中點(diǎn)，所以BEAC.因?yàn)槿庵鵄BCA1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC.又因?yàn)锽E平面ABC，所以CC1BE.因?yàn)镃1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CAC=C，所以BE平面A1ACC1.因?yàn)镃1E平面A1ACC1，所以BEC1E.17【2019年高考浙江卷】（本小題滿分15分）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是AC，A1B1的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】方法一：（1）連接A1E，因?yàn)锳1A=A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1EAC又平面A1

17、ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC，則A1EBC又因?yàn)锳1FAB，ABC=90，故BCA1F所以BC平面A1EF因此EFBC（2）取BC中點(diǎn)G，連接EG，GF，則EGFA1是平行四邊形由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四邊形EGFA1為矩形由（1）得BC平面EGFA1，則平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上連接A1G交EF于O，則EOG是直線EF與平面A1BC所成的角（或其補(bǔ)角）不妨設(shè)AC=4，則在RtA1EG中，A1E=2，EG=.由于O為A1G的中點(diǎn)，故，所以因此，直線EF與平面

18、A1BC所成角的余弦值是方法二：（1）連接A1E，因?yàn)锳1A=A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EC，EA1為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Exyz不妨設(shè)AC=4，則A1（0，0，2），B（，1，0），C(0，2，0)因此，由得（2）設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為由（1）可得設(shè)平面A1BC的法向量為n，由，得，取n，故，因此，直線EF與平面A1BC所成的角的余弦值為【2018年】12. （2018年浙江卷）如圖，已知多面體ABCA1B1C1，

19、A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（）證明：AB1平面A1B1C1；（）求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值【答案】（）見(jiàn)解析（）【解析】方法一：（）由得，所以.故.由， 得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié).由平面得平面平面，由得平面，所以是與平面所成的角. 由得，所以，故.因此，直線與平面所成的角的正弦值是.方法二：（）如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：因此由得.由得.所以平面.（）設(shè)直線與平面

20、所成的角為.由（）可知設(shè)平面的法向量.由即可取.所以.因此，直線與平面所成的角的正弦值是.13. （2018年天津卷）如圖，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，DA=DC=DG=2.（I）若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：；（II）求二面角的正弦值；（III）若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60，求線段DP的長(zhǎng).【答案】()證明見(jiàn)解析；()；().【解析】依題意，可以建立以D為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F(xiàn)（0，1，2

21、），G（0，0，2），M（0，1），N（1，0，2）（）依題意=（0，2，0），=（2，0，2）設(shè)n0=(x，y，z)為平面CDE的法向量，則 即 不妨令z=1，可得n0=（1，0，1）又=（1，1），可得，又因?yàn)橹本€MN平面CDE，所以MN平面CDE（）依題意，可得=（1，0，0），=（0，1，2）設(shè)n=（x，y，z）為平面BCE的法向量，則 即 不妨令z=1，可得n=（0，1，1）設(shè)m=（x，y，z）為平面BCF的法向量，則 即 不妨令z=1，可得m=（0，2，1）因此有cos=，于是sin=所以，二面角EBCF的正弦值為（）設(shè)線段DP的長(zhǎng)為h（h0，2），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0，h），可

22、得易知，=（0，2，0）為平面ADGE的一個(gè)法向量，故，由題意，可得=sin60=，解得h=0，2所以線段的長(zhǎng)為.14. （2018年北京卷）如圖，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為，AC，的中點(diǎn)，AB=BC=，AC=2（）求證：AC平面BEF；（）求二面角B-CD-C1的余弦值；（）證明：直線FG與平面BCD相交【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) B-CD-C1的余弦值為(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析【解析】（）在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，四邊形A1ACC1為矩形又E，F(xiàn)分別為AC，A1C1的中點(diǎn)，ACEFAB=BCACBE，AC平面BEF（）由（I）知ACEF，A

23、CBE，EFCC1又CC1平面ABC，EF平面ABCBE平面ABC，EFBE如圖建立空間直角坐稱系E-xyz由題意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F(xiàn)（0，0，2），G（0，2，1），設(shè)平面BCD的法向量為，令a=2，則b=-1，c=-4，平面BCD的法向量，又平面CDC1的法向量為，由圖可得二面角B-CD-C1為鈍角，所以二面角B-CD-C1的余弦值為（）平面BCD的法向量為，G（0，2，1），F(xiàn)（0，0，2），與不垂直，GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi)，GF與平面BCD相交15. （2018年江蘇卷）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，

24、點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值【答案】（1）（2）【解析】如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，則OBOC，OO1OC，OO1OB，以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz因?yàn)锳B=AA1=2，所以（1）因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn)，所以，從而，故因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為（2）因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，所以，因此，設(shè)n=（x，y，z）為平面AQC1的一個(gè)法向量，則即不妨取，設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為，則，所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為16.

25、 （2018年江蘇卷）在平行六面體中，求證：（1）；（2）【答案】答案見(jiàn)解析【解析】證明：（1）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，ABA1B1因?yàn)锳B平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C（2）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形又因?yàn)锳A1=AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1A1B又因?yàn)锳B1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC又因?yàn)锳1BBC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC因?yàn)锳B1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC17. （2018年全國(guó)I卷理數(shù)）如圖，四邊

26、形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2) .【解析】（1）由已知可得，BFPF，BFEF，又，所以BF平面PEF.又平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.（2）作PHEF，垂足為H.由（1）得，PH平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閥軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Hxyz.由（1）可得，DEPE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PEPF.可得.則 為平面ABFD的法向量.設(shè)DP與平面ABFD所成角為，則.所以DP與平面ABFD所成角的正

27、弦值為.18. （2018年全國(guó)卷理數(shù)）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值 【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由題設(shè)知,平面CMD平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽CCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn),且DC為直徑，所以 DMCM.又 BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz. 當(dāng)三棱錐MABC體積最大時(shí)，M為的中點(diǎn).由題設(shè)得

28、， 設(shè)是平面MAB的法向量,則即可取.是平面MCD的法向量,因此，所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.19. （2018年全國(guó)卷理數(shù)）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且.連結(jié).因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，且?由知.由知平面.（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知得取平面的法向量.設(shè)，則.設(shè)平面的法向量為.由得，可取，所以.由已知得.所以.解得（舍去），.所以.又，所以.所以與平面所成角的正弦值為.【2017年】11.【2017課

29、標(biāo)1，理16】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn)，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_(kāi).【答案】【解析】如下圖，連接DO交BC于點(diǎn)G，設(shè)D，E，F(xiàn)重合于S點(diǎn)，正三角形的邊長(zhǎng)為x(x0)，則 . ， ，三棱錐的體積 .設(shè)，x0，則，令，即，得，易知在處取得最大值.【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的體積12.【2017課標(biāo)1，理18】如圖，在四棱錐P-

30、ABCD中，AB/CD，且.（1）證明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角A-PB-C的余弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）由已知，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，從而AB平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD.（2）在平面內(nèi)做，垂足為，由（1）可知， 平面，故，可得平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)檩S正方向， 為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）及已知可得， ， ， .所以， ， ， .設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.則，所以二面角的余弦值為.【考點(diǎn)】面面垂直的證明，二面角平

31、面角的求解13.【2017課標(biāo)II，理19】如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點(diǎn)。（1）證明：直線 平面PAB；（2）點(diǎn)M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為 ，求二面角的余弦值?！敬鸢浮?1)證明略；(2) ?！窘馕觥浚?）取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由得，又所以四邊形為平行四邊形， 又，故（2）由已知得，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則則，則因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45，而是底面ABCD的法向量，所以，即（x-1）+y-z=0又M在棱PC上，設(shè)由，得所以M，從

32、而設(shè)是平面ABM的法向量，則所以可取m=（0，-，2）.于是因此二面角M-AB-D的余弦值為【考點(diǎn)】 判定線面平行；面面角的向量求法14.【2017課標(biāo)3，理19】如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）證明：平面ACD平面ABC；（2）過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角DAEC的余弦值.【答案】(1)證明略；(2) .【解析】（2）由題設(shè)及（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則 由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，

33、從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點(diǎn)，得 .故【考點(diǎn)】 二面角的平面角；面面角的向量求法15.【2017山東，理17】如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的，是的中點(diǎn).（）設(shè)是上的一點(diǎn)，且，求的大小；（）當(dāng)，求二面角的大小.【答案】（）.（）.【解析】（）因?yàn)椋?， 平面， ，所以平面，又平面，所以，又，因此 （）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以， ， 所在的直線為， ， 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意得 ， ， ，故， ， ， 設(shè)是平面的一個(gè)法向量.由可得取，可得平面的一個(gè)法向量. 設(shè)是平面的一個(gè)法向量.由可得取，可得平面

34、的一個(gè)法向量. 所以.因此所求的角為.【考點(diǎn)】1.垂直關(guān)系.2. 空間角的計(jì)算.16.【2017北京，理16】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，PD/平面MAC，PA=PD=，AB=4（I）求證：M為PB的中點(diǎn)；（II）求二面角B-PD-A的大?。唬↖II）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值【答案】（）詳見(jiàn)解析：（） ；（） 【解析】（I）設(shè)交點(diǎn)為，連接.因?yàn)槠矫?，平面平面，所?因?yàn)槭钦叫?，所以為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn).（II）取的中點(diǎn)，連接， .因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫?，所以平?因?yàn)槠矫妫?因?yàn)槭钦叫?，所?如

35、圖建立空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， .設(shè)平面的法向量為，則，即.令，則， .于是.平面的法向量為，所以.由題知二面角為銳角，所以它的大小為.（III）由題意知， ， .設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【考點(diǎn)】1.線線，線面的位置關(guān)系；2.向量法.17.【2017天津，理17】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PA=AC=4，AB=2. （）求證：MN平面BDE；（）求二面角C-EM-N的正弦值；（）已知點(diǎn)H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長(zhǎng).【答案】 （1）證明見(jiàn)

36、解析（2） （3） 或 【解析】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以， ， 方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（）證明： =（0，2，0），=（2，0， ）.設(shè)，為平面BDE的法向量，則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2， ），可得.因?yàn)槠矫鍮DE，所以MN/平面BDE.（）解：易知為平面CEM的一個(gè)法向量.設(shè)為平面EMN的法向量，則，因?yàn)椋?，所以.不妨設(shè)，可得.因此有，于是.所以，二面角CEMN的正弦值為.（）解：依題意，設(shè)AH=h（），

37、則H（0，0，h），進(jìn)而可得， .由已知，得，整理得，解得，或.所以，線段AH的長(zhǎng)為或. 【考點(diǎn)】直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角18.【2017浙江，19】（本題滿分15分）如圖，已知四棱錐PABCD，PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn)（）證明：平面PAB；（）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值【答案】（）見(jiàn)解析；（）【解析】 MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直線CE與平面PBC所成的角設(shè)CD=1在PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，在RtMQH中，QH=，

38、MQ=，所以sinQMH=， 所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值是【考點(diǎn)】證明線面平行，求線面角19.【2017江蘇，6】 如圖，在圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱的體積為，球的體積為，則的值是 .OO1O2(第6題) 【答案】 【解析】設(shè)球半徑為，則故答案為【考點(diǎn)】圓柱體積20.【2017江蘇，15】 如圖，在三棱錐A-BCD中，ABAD， BCBD， 平面ABD平面BCD， 點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：（1）EF平面ABC； （2）ADAC.(第15題)ADBCEF【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】證明：（1）在平

39、面內(nèi)，因?yàn)锳BAD， ，所以.又因?yàn)槠矫鍭BC， 平面ABC，所以EF平面ABC.（2）因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，平面平面BCD=BD， 平面BCD， ，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?.又ABAD， ， 平面ABC， 平面ABC，所以AD平面ABC，又因?yàn)锳C平面ABC，所以ADAC.【考點(diǎn)】線面平行判定定理、線面垂直判定與性質(zhì)定理，面面垂直性質(zhì)定理21.【2017江蘇，22】 如圖， 在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=， .（1）求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A1D-A的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】在平面A

40、BCD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作AEAD，交BC于點(diǎn)E.因?yàn)锳A1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如圖，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.因?yàn)锳B=AD=2，AA1=， .則.(1) ，則.因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為.(2)平面A1DA的一個(gè)法向量為.設(shè)為平面BA1D的一個(gè)法向量，又，則即不妨取x=3，則，所以為平面BA1D的一個(gè)法向量，從而，設(shè)二面角B-A1D-A的大小為，則.因?yàn)?，所?因此二面角B-A1D-A的正弦值為.【2016年】14.【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分為12分）如圖,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2F

41、D, ,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是（I）證明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值【答案】（I）見(jiàn)解析（II）【解析】（）由已知可得，所以平面又平面，故平面平面（）過(guò)作，垂足為，由（）知平面以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由（）知為二面角的平面角，故，則，可得，由已知，所以平面又平面平面，故，由，可得平面，所以為二面角的平面角，從而可得所以，設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可取設(shè)是平面的法向量，則，同理可取則故二面角EBCA的余弦值為15.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】如圖，菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)將

42、沿折到位置，（）證明：平面；（）求二面角的正弦值【答案】（）詳見(jiàn)解析；（）.【解析】（）由已知得，又由得，故.因此，從而.由,得.由得.所以，.于是，故.又，而，所以.（）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可取.于是， .因此二面角的正弦值是.16.【2016高考山東理數(shù)】在如圖所示的圓臺(tái)中，AC是下底面圓O的直徑，EF是上底面圓O的直徑，F(xiàn)B是圓臺(tái)的一條母線.（I）已知G,H分別為EC，F(xiàn)B的中點(diǎn)，求證：GH平面ABC；（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.【答案】（）見(jiàn)解

43、析；（）【解析】（II）解法一：連接,則平面，又且是圓的直徑，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意得，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，所以可得故.設(shè)是平面的一個(gè)法向量. 由可得可得平面的一個(gè)法向量因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量所以.所以二面角的余弦值為.解法二：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則有,又平面，所以FM平面ABC,可得過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，可得,從而為二面角的平面角.又,是圓的直徑，所以從而，可得所以二面角的余弦值為.17.【2016高考江蘇卷】(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且 ，.求證：（1）直線DE平面A1C1F；（2）平面B1

44、DE平面A1C1F. 【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析【解析】證明：（1）在直三棱柱中，在三角形ABC中，因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn).所以，于是又因?yàn)镈E平面平面所以直線DE/平面（2）在直三棱柱中，因?yàn)槠矫妫杂忠驗(yàn)樗云矫嬉驗(yàn)槠矫?，所以又因?yàn)樗砸驗(yàn)橹本€，所以18.【2016高考天津理數(shù)】（本小題滿分13分）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2.（I）求證：EG平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（

45、）詳見(jiàn)解析（）（）【解析】依題意，如圖，以為點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得，.（I）證明：依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即 .不妨設(shè)，可得，又，可得，又因?yàn)橹本€，所以.（II）解：易證，為平面的一個(gè)法向量.依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即 .不妨設(shè)，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值為.（III）解：由，得.因?yàn)椋?，進(jìn)而有，從而，因此.所以，直線和平面所成角的正弦值為.19.【2016年高考北京理數(shù)】（本小題14分）如圖，在四棱錐中，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值

46、；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）存在，【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，所以，又因?yàn)?，所以平面；?）取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以平?因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，所?如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.所以.又，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)是棱上一點(diǎn)，則存在使得.因此點(diǎn).因?yàn)槠矫?，所以平面?dāng)且僅當(dāng)，即，解得.所以在棱上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí).20.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】如圖，四棱錐中，地面，為線段上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)（I）證明平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（）見(jiàn)解析；（）【

47、解析】（）由已知得，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，.又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由得，從而，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知，.設(shè)為平面的法向量，則，即，可取，于是.21.【2016高考浙江理數(shù)】(本題滿分15分)如圖,在三棱臺(tái)中,平面平面,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(I)求證：EF平面ACFD；(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）【解析】（）延長(zhǎng)，相交于一點(diǎn)，如圖所示因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以平面，因此又因?yàn)?，所以為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，則所以

48、平面（）方法一：過(guò)點(diǎn)作于Q，連結(jié)因?yàn)槠矫妫?，則平面，所以所以是二面角的平面角在中，得在中，得所以二面角的平面角的余弦值為方法二：如圖，延長(zhǎng)，相交于一點(diǎn)，則為等邊三角形取的中點(diǎn)，則，又平面平面，所以，平面以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以射線，的方向?yàn)椋恼较?，建立空間直角坐標(biāo)系由題意得，因此，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為由，得，?。挥?，得，取于是，所以，二面角的平面角的余弦值為22.【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD，E為邊AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90. （）在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM

49、平面PBE，并說(shuō)明理由；（）若二面角P-CD-A的大小為45，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.【答案】（）詳見(jiàn)解析；（）.【解析】（）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長(zhǎng)AB，DC，相交于點(diǎn)M（M平面PAB），點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下：由已知，BCED，且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形.，所以CDEB從而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.（說(shuō)明：延長(zhǎng)AP至點(diǎn)N，使得AP=PN，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)）（）方法一：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD.從而CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角

50、.所以PDA=45.設(shè)BC=1，則在RtPAD中，PA=AD=2.過(guò)點(diǎn)A作AHCE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接PH.易知PA平面ABCD，從而PACE.于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.過(guò)A作AQPH于Q，則AQ平面PCE.所以APH是PA與平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH=45，AE=1，所以AH=.在RtPAH中，PH= ，所以sinAPH= =.方法二：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD.于是CDPD.從而PDA是二面角P-CD-A的平面角. 所以PDA=45.由PAAB，可得PA平面ABCD.設(shè)BC=1，則在RtPAD中，PA=AD=2.

51、作AyAD，以A為原點(diǎn)，以 ,的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z)，由 得 設(shè)x=2，解得n=(2,-2,1).設(shè)直線PA與平面PCE所成角為，則sin= = .所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為 .23. 【2016高考上海理數(shù)】將邊長(zhǎng)為1的正方形（及其內(nèi)部）繞的旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中與在平面的同側(cè)。（1）求三棱錐的體積； （2）求異面直線與所成的角的大小?！敬鸢浮浚?）（2）【解析】（1）由題意可知，圓柱的高，底面半徑由的長(zhǎng)為，可知，（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的母線與下底面交于點(diǎn)，則，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角由長(zhǎng)為，可知，又，所以，從而為等邊三角形，得因?yàn)槠矫?，所以在中，因?yàn)?，所以，從而直線與所成的角的大小為