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1、一、一、量子力學的建立量子力學的建立二、二、量子力學基本原理量子力學基本原理三、三、量子力學的理論方法量子力學的理論方法四、四、量子力學的應(yīng)用量子力學的應(yīng)用 高高 等等 量量 子子 力力 學學1三、三、量子力學的理論方法量子力學的理論方法一、一、表象理論表象理論二、二、微擾理論微擾理論五、五、散射理論散射理論 六、六、多粒子體系理論多粒子體系理論 七、七、二次量子化二次量子化 八、八、相對論量子力學相對論量子力學 三、三、量子躍遷理論量子躍遷理論四、四、自旋與角動量理論自旋與角動量理論2第六章第六章 散射理論散射理論一、散射過程、散射截面一、散射過程、散射截面二、中心力場中的彈性散射二、中心力

2、場中的彈性散射三、方形勢阱與勢壘產(chǎn)生的散射三、方形勢阱與勢壘產(chǎn)生的散射四、格林函數(shù)法和波恩近似四、格林函數(shù)法和波恩近似3散射過程：散射過程：Zds靶粒子所處位置稱為散射中心。靶粒子所處位置稱為散射中心。方向準直的均勻單能粒子由遠處沿方向準直的均勻單能粒子由遠處沿z z軸方軸方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射開去，此過程稱為各方向散射開去，此過程稱為散射過程散射過程。散。散射后的粒子可用探測器測量。射后的粒子可用探測器測量。一、散射過程、散射截面一、散射過程、散射截面4散散射射角角：入入射射粒粒子子受受靶靶粒粒子子勢勢場場的的作作用用，其其運

3、動方向偏離入射方向的角度。運動方向偏離入射方向的角度。彈性散射彈性散射：若在散射過程中，入射粒子和靶：若在散射過程中，入射粒子和靶粒子的內(nèi)部狀態(tài)都不發(fā)生變化，則稱彈性散粒子的內(nèi)部狀態(tài)都不發(fā)生變化，則稱彈性散射，否則稱為非彈性散射。射，否則稱為非彈性散射。入射粒子流密度入射粒子流密度N N：單位時間內(nèi)通過與入射單位時間內(nèi)通過與入射粒子運動方向垂直的單位面積的入射粒子數(shù)，粒子運動方向垂直的單位面積的入射粒子數(shù)，用于描述入射粒子流強度的物理量，故又稱用于描述入射粒子流強度的物理量，故又稱為入射粒子流強度。為入射粒子流強度。5設(shè)設(shè)單單位位時時間間內(nèi)內(nèi)散散射射到到（，）方方向向面面積積元元dsds上（立

4、體角上（立體角d d 內(nèi)）的粒子數(shù)為內(nèi)）的粒子數(shù)為dn，顯然顯然綜合之，則有：綜合之，則有：或或 （1 1）比例系數(shù)比例系數(shù)q(q(，)的性質(zhì)：的性質(zhì)：q(q(，)與與入入射射粒粒子子和和靶靶粒粒子子（散散射射場場）的的性性質(zhì)質(zhì)，它它們們之之間間的的相相互互作作用用，以以及及入入射射粒粒子子的動能有關(guān)，是的動能有關(guān)，是，的函數(shù)的函數(shù)散射截面散射截面dsZ6q(q(，)具有面積的量具有面積的量綱綱故稱故稱q(q(，)為微分散射截面，簡稱為截面為微分散射截面，簡稱為截面或角分布或角分布 如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截面面積面面積q(q(，)，則單位時間內(nèi)通

5、過此截面的則單位時間內(nèi)通過此截面的粒子數(shù)恰好散射到粒子數(shù)恰好散射到(，)方向的單位立體角方向的單位立體角內(nèi)。內(nèi)。（2）7總散射截面：總散射截面：注注 由由于于N N、可可通通過過實實驗驗測測定定，故故而而求求得得 。量子力學的任務(wù)是從理論上計算出量子力學的任務(wù)是從理論上計算出 ，以便于同實驗比較，從而反過來研究粒子間以便于同實驗比較，從而反過來研究粒子間的相互作用以及其它問題。的相互作用以及其它問題。8 現(xiàn)現(xiàn)在在考考慮慮量量子子力力學學對對散散射射體體系系的的描描述述。設(shè)設(shè)靶靶粒粒子子的的質(zhì)質(zhì)量量遠遠大大于于散散射射粒粒子子的的質(zhì)質(zhì)量量，在在碰碰撞過程中，靶粒子可視為靜止。撞過程中，靶粒子可視

6、為靜止。取取散散射射中中心心A A為為坐坐標標原原點點，散散射射粒粒子子體體系系的的定態(tài)定態(tài)SchrSchrdingerdinger方程方程（4）令令方程（方程（4 4）改寫為）改寫為9（5）由由于于實實驗驗觀觀測測是是在在遠遠離離靶靶的的地地方方進進行行的的，從從微觀角度看，可以認為微觀角度看，可以認為 ，因此，在計算，因此，在計算 時時，僅僅需需考考慮慮 處處的的散散射射粒粒子子的的行行為為，即即僅僅需需考考慮慮 處處的的散散射射體體系系的的波波函數(shù)。函數(shù)。設(shè)設(shè) 時，時，方程（，方程（5 5）變?yōu)椋┳優(yōu)椋?）10 在在 處處，散散射射粒粒子子的的波波函函數(shù)數(shù)是是入入射射平平面波面波 和球面

7、散射波和球面散射波 之和。即之和。即（7）對于三維情形，波可沿各方向散射。對于三維情形，波可沿各方向散射。11散射波的概率流密度散射波的概率流密度入射波概率密度（即入射粒子流密度）入射波概率密度（即入射粒子流密度）為方便起見，取入射平面波為方便起見，取入射平面波 的系數(shù)的系數(shù) ，這表明這表明 ，入射粒子束單位體積中的，入射粒子束單位體積中的粒子數(shù)為粒子數(shù)為1 1。（8 8）12單單位位時時間間內(nèi)內(nèi)，在在沿沿 方方向向d d 立立體體角角內(nèi)內(nèi)出出現(xiàn)的粒子數(shù)為現(xiàn)的粒子數(shù)為 （11）比較（比較（1 1）式與（）式與（1 10 0），得到），得到（1 10 0）（9 9）13 下下面面介介紹紹兩兩種種

8、求求散散射射振振幅幅或或散散射射截截面面的的方方法：分波法，玻恩近似方法。法：分波法，玻恩近似方法。分分波波法法是是準準確確的的求求散散射射理理論論問問題題的的方方法法，即即準確的散射理論。準確的散射理論。由此可知，若知道了由此可知，若知道了 ，即可求得，即可求得 ，稱稱為為散散射射振振幅幅。所所以以，對對于于能能量量給給定定的的入入射粒子，速率射粒子，速率 給定，于是，入射粒子流密度給定，于是，入射粒子流密度 給給定定，只只要要知知道道了了散散射射振振幅幅 ，也也就就能能求求出出微微分分散散射射截截面面。的的具具體體形形式式通通過過求求SchrSchrdingerdinger方方程程（5 5

9、）的的解解并并要要求求在在 時時具有漸近形式（具有漸近形式（7 7）而得出。）而得出。14 取取沿沿粒粒子子入入射射方方向向并并通通過過散散射射中中心心的的軸軸線線為為極極軸軸z z，顯顯然然 與與 無無關(guān)關(guān)，對對于于具具有有確確定定能能量的粒子，方程（量的粒子，方程（2-12-1）的特解為）的特解為討論粒子在中心力場中的散射。討論粒子在中心力場中的散射。（2-12-1）粒子在輳力場中的勢能為粒子在輳力場中的勢能為 ，狀態(tài)方程，狀態(tài)方程由由于于現(xiàn)現(xiàn)在在 與與 無無關(guān)關(guān)(m=0)m=0)，所所以以，方方程程（1 1）的特解可寫成的特解可寫成 二、中心力場中的彈性散射（分波法）二、中心力場中的彈性

10、散射（分波法）15方程（方程（2-12-1）的通解為所有特解的線性迭加）的通解為所有特解的線性迭加 （2-2）（2-22-2）代入（）代入（2-12-1），得徑向方程），得徑向方程 為為待待定定的的徑徑向向波波函函數(shù)數(shù)，每每個個特特解解稱稱為為一一個分波，個分波，稱為第稱為第 個分波，通常稱個分波，通常稱 的分波分別為的分波分別為s s,p p,d d,f f分波分波（2-3）16令代入上方程（2-42-4）考慮方程（考慮方程（2-42-4）在）在 情況下的極限解情況下的極限解令令 方程（方程（2-42-4）的極限形式）的極限形式由此求得：由此求得：（2-52-5）17為為了了后后面面的的方方

11、便便起起見見，這這里里引引入入了了兩兩個個新新的的常數(shù)常數(shù)將（將（2-52-5）代入（）代入（2-22-2），得到方程（），得到方程（2-12-1）在）在 情形下通解的漸近形式情形下通解的漸近形式（2-6）18 另另一一方方面面，按按上上節(jié)節(jié)的的討討論論，在在遠遠離離散散射射中中心處，粒子的波函數(shù)心處，粒子的波函數(shù)（2-72-7）（2-82-8）式中式中jl(kr)是球貝塞爾函數(shù)是球貝塞爾函數(shù)將平面波將平面波 按球面波展開按球面波展開（2-9）19利用（利用（2-82-8）、（）、（2-92-9），可將（），可將（2-72-7）寫成）寫成（2-10）（2-62-6）和（）和（2-102-10）

12、兩式右邊應(yīng)相等，即）兩式右邊應(yīng)相等，即分別比較等式兩邊分別比較等式兩邊 和和 前邊的系數(shù)，得前邊的系數(shù)，得 20（2-12）（2-11）可以得到可以得到用用 乘以（乘以（1212）式，再對）式，再對 從從 積分，并利用積分，并利用LegradrerLegradrer多項式的正交性多項式的正交性21即即 （2-132-13）將此結(jié)果代入（將此結(jié)果代入（2-112-11）式）式（2-14）22可見，求散射振幅可見，求散射振幅f f()的問題歸結(jié)為求的問題歸結(jié)為求 ，求，求 的具體值關(guān)鍵是解徑向波函數(shù)的具體值關(guān)鍵是解徑向波函數(shù) 的方程（的方程（3-33-3）由（由（2-82-8），（），（2-92-

13、9）知，）知，是入射是入射平面波的第平面波的第 個分波的位相；由（個分波的位相；由（2-62-6）知，）知，是散射波第是散射波第 個分波的位相。個分波的位相。所以，所以，是入射波經(jīng)散射后第是入射波經(jīng)散射后第 個分波的位個分波的位相移動（相移）。相移動（相移）。的物理意義：的物理意義：23微分散射截面微分散射截面（2-15）總散射截面總散射截面24即即 （2-162-16）式中式中 （2-172-17）是第是第 個分波的散射截面。個分波的散射截面。由上述看們看出：求散射振幅由上述看們看出：求散射振幅 的的問題歸問題歸結(jié)為求相移結(jié)為求相移 ，而而 的獲得，需要根據(jù)的獲得，需要根據(jù) 的具體情況解徑向

14、方程（的具體情況解徑向方程（2-32-3）求）求 ，然后然后取其漸近解，并寫為取其漸近解，并寫為25即可得到第即可得到第 個分波的相移，由于每個分波個分波的相移，由于每個分波都將產(chǎn)生相移都將產(chǎn)生相移 ，所以，必須尋找各個分波所以，必須尋找各個分波的相移來計算散射截面，這種方法稱為分波的相移來計算散射截面，這種方法稱為分波法。法。光光 學學 定定 理理表示由散射振幅在零點的虛部可以求出總散表示由散射振幅在零點的虛部可以求出總散射截面射截面26 分波法求散射截面是一個無窮級數(shù)的問分波法求散射截面是一個無窮級數(shù)的問題。從原則上講，分波法是散射問題的普遍題。從原則上講，分波法是散射問題的普遍方法。但實

15、際上，依次計算級數(shù)中的各項是方法。但實際上，依次計算級數(shù)中的各項是相當復雜的，有時也是不可能的，所以只能相當復雜的，有時也是不可能的，所以只能在一定的條件下計算級數(shù)中的前幾項，達到在一定的條件下計算級數(shù)中的前幾項，達到一定精確度即可。一定精確度即可。分分波波法法的的適適用用范范圍圍 散射主要發(fā)生在勢場的作用范圍內(nèi)，以散射散射主要發(fā)生在勢場的作用范圍內(nèi)，以散射中心為圓心，以中心為圓心，以 為半徑的球表示這個范圍，為半徑的球表示這個范圍，則則 時，散射效果就可以忽略不計了。時，散射效果就可以忽略不計了。27由于入射波的第由于入射波的第 個分波的徑向函數(shù)個分波的徑向函數(shù) 的的第一極大值位于第一極大值

16、位于 附近，當附近，當 較大時，較大時，愈大，愈大，愈快，如果愈快，如果 的第一極大值位于的第一極大值位于 ，即，即 時，在時，在 內(nèi)，內(nèi)，的值很小。的值很小。亦即第亦即第 個分波受勢場的影響很小，散射影個分波受勢場的影響很小，散射影響可以忽略，只有第響可以忽略，只有第 個分波之前的各分波個分波之前的各分波必須考慮。所以，我們把分波法適用的條件必須考慮。所以，我們把分波法適用的條件28寫成寫成 ，而，而 的分波不必考慮，的分波不必考慮，愈小，則需計算的項數(shù)愈小，當愈小，則需計算的項數(shù)愈小，當 時，時，這時僅需計算一個相移這時僅需計算一個相移 即足夠了，即足夠了，足夠小，意味著入射粒子的動能較低

17、，所足夠小，意味著入射粒子的動能較低，所以分波法適用于低能散射，以分波法適用于低能散射，的分波散射的分波散射截面可以略去。截面可以略去。29說說明明 已知已知 時，可用分波法求出低能散射的時，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及基本粒子問題相移和散射截面，在原子核及基本粒子問題中，作用力不清楚，也即不知道中，作用力不清楚，也即不知道 的具體的具體形式，這時，我們可先由實驗測定散射截面形式，這時，我們可先由實驗測定散射截面和相移，然后確定勢場和力的形式和性質(zhì)，和相移，然后確定勢場和力的形式和性質(zhì)，這是研究原子核及基本粒子常用的一種方法。這是研究原子核及基本粒子常用的一種方法。30思

18、考題：思考題：什么是分波法？什么是分波法？入射平面波入射平面波e eikzikz按球面波展開按球面波展開展開式中的每一項稱為一個分波，每個分波展開式中的每一項稱為一個分波，每個分波在中心力場的影響下，各自產(chǎn)生一個相移在中心力場的影響下，各自產(chǎn)生一個相移 。而而 的獲得需根據(jù)的獲得需根據(jù) 的具體形式解徑向方程的具體形式解徑向方程31求出求出 ，然后取其漸近解，并寫成然后取其漸近解，并寫成即可得到第即可得到第 個分波的相移，由于每個分波都個分波的相移，由于每個分波都將產(chǎn)生相移將產(chǎn)生相移 ，所以，計算散射截面時須尋找所以，計算散射截面時須尋找各個分波的相移，各個分波的相移，這種方法稱為分波法。這種方

19、法稱為分波法。32分分 波波 法法 應(yīng)應(yīng) 用用 舉舉 例例ex.球方勢阱和球方勢壘的低能散射。球方勢阱和球方勢壘的低能散射。粒子的勢能粒子的勢能:是是勢勢阱阱或或勢勢壘壘的的深深度度或或高高度度。設(shè)設(shè)入入射射粒粒子子能能量量很很小小，其其德德布布羅羅意意波波長長比比勢勢場場作作用用范范圍圍大大很很多多（質(zhì)質(zhì)子子和和中中子子的的低低能能散散射射可可以以近近似似地地歸歸結(jié)結(jié)為這種情況），求粒子的散射截面。為這種情況），求粒子的散射截面。Solve:粒子的徑向方程粒子的徑向方程（1 1）三、方形勢阱與勢壘產(chǎn)生的散射三、方形勢阱與勢壘產(chǎn)生的散射33其中其中 （2）對于球方勢阱對于球方勢阱 為粒子的能量

20、，為粒子的能量，為粒子在靶粒子中心力為粒子在靶粒子中心力場中的勢能。場中的勢能。（2）因粒子波長因粒子波長所以僅需討論所以僅需討論s s波的散射波的散射 ，據(jù)此及（據(jù)此及（2 2）式，）式，可將方程（可將方程（1 1）寫成）寫成34其中其中 （4）（3）令令則（則（3 3），（），（4 4）可寫成）可寫成（5）35（6）其解為其解為（7）（8）于是于是（9）（10）因因 在在 處有限，必須有處有限，必須有所以所以36在在 處，處，及及 連續(xù)，因此，連續(xù)，因此，及及 在在 處連續(xù)。由（處連續(xù)。由（7 7），（），（8 8）式得式得總散射截面總散射截面（1111）（1212）由此求得相移由此求得相

21、移即即37在粒子能量很低在粒子能量很低 的情況下，的情況下，。利用利用 時，時，有有 （1313）（1414）對于球方勢壘對于球方勢壘 。這時，用這時，用 代替以上討論中的代替以上討論中的 ，在粒子能在粒子能量很低量很低 的情況下，（的情況下，（1313）變?yōu)椋┳優(yōu)椋?515）38EX.1Solve 為一般起見，先考慮為一般起見，先考慮 分波的相移，分波的相移，再取特殊情況再取特殊情況 分波的相移。分波的相移。粒子受到勢能為粒子受到勢能為 的場的散射，的場的散射，求求s s分波的微分散射截面。分波的微分散射截面。根據(jù)邊界條件根據(jù)邊界條件 （1 1）解徑向函數(shù)解徑向函數(shù) 滿足的徑向方程滿足的徑向

22、方程令令 39又令又令（2 2）所以（所以（2 2）式可以寫成）式可以寫成于是（于是（3 3）式又可寫成）式又可寫成（3 3）令令40上式是上式是 階貝塞爾方程，其解為階貝塞爾方程，其解為 ，因此因此但當?shù)?時，時，所以在所以在 附近附近由由 （4 4）41（5 5）比較（比較（1 1）式和（）式和（5 5）式，則有）式，則有42將將 值代入微分散射截面的表達式值代入微分散射截面的表達式立即可得到立即可得到s s分波的微分散射截面分波的微分散射截面令令s s分波散射截面分波散射截面43EX.2慢速粒子受到勢能為慢速粒子受到勢能為 的場的散射，的場的散射，若若 ，求散射截面。，求散射截面。由徑

23、向波函數(shù)由徑向波函數(shù) 所滿足的徑向方程所滿足的徑向方程當當 時時（1）令（2）Solve:由于是慢速粒子散射，對于低能散射由于是慢速粒子散射，對于低能散射只需考慮只需考慮 分波。分波。44將 代入以上方程（3）并令并令 （4 4）（6）（5）45 當當 應(yīng)有限，則要求應(yīng)有限，則要求 在在 處，處，和和 連續(xù)連續(xù)兩式相除，得兩式相除，得 46總散射截面總散射截面(7)討論：當粒子的能量 時，如果粒子能量很低如果粒子能量很低 的情況下的情況下 47如果如果 時，時，于是有，于是有在這種情況下，總散射截面等于半徑為在這種情況下，總散射截面等于半徑為 的球的球面面積。它與經(jīng)典情況不同，在經(jīng)典情況下面面積。它與經(jīng)典情況不同，在經(jīng)典情況下 48EX.3只考慮只考慮s s分波，求慢速粒子受到勢場分波，求慢速粒子受到勢場 的場散射時的散射截面的場散射時的散射截面Solve:根據(jù)邊界條件根據(jù)邊界條件解徑向方程：解徑向方程：令則上方程簡寫為：則上方程簡寫為：49令令代入上方程，有代入上方程，有只考慮只考慮s s分波，分波，由于由于 ，以上方程在以上方程在 時的漸近形式為時的漸近形式為此為此為 階貝塞爾方程，其解為階貝塞爾方程，其解為50由于由于 ，所以有限解為，所以有限解為于是于是比比較較（1 1）和和（2 2）兩兩式式，并并注注意意取?。? 1）式式中的中的 等于等于0 0，則，則51