《2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2021全國高考統(tǒng)一考試（文科數(shù)學(xué)）1. 設(shè)集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：B.2. 為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（ ）A. 該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B. 該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%C. 估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D. 估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直方圖的

2、意義直接計算相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應(yīng)的頻率，然后求和即得到樣本的平均數(shù)的估計值，也就是總體平均值的估計值，計算后即可判定C.【詳解】因為頻率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計值.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計值為,故A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計值為,故B正確；該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為,故D正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計值為(萬元)，超過6.5萬元，故C錯誤.綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.故選：C

3、.3. 已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知得，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算法則，即可求解.【詳解】，.故選：B.4. 下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于B，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對于C，在為減函數(shù)，不合題意，舍.對于D，為上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.5. 點到雙曲線的一條漸近線的距離為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點到直線距離公式求得點到一條漸近線的距離即可.【詳解】由

4、題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，結(jié)合對稱性，不妨考慮點到直線距離：.故選：A.6. 青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（ ）（）A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)關(guān)系，當(dāng)時，求出，再用指數(shù)表示，即可求解.【詳解】由，當(dāng)時，則.故選：C.7. 在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E，F(xiàn)，G該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是

5、（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖，結(jié)合直觀圖進(jìn)行判斷.【詳解】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示，所以其側(cè)視圖為故選：D8. 在中，已知，則（ ）A. 1B. C. D. 3【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【詳解】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形9. 記為等比數(shù)列的前n

6、項和.若，則（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題目條件可得，成等比數(shù)列，從而求出，進(jìn)一步求出答案.【詳解】為等比數(shù)列的前n項和，成等比數(shù)列，.故選：A.10. 將3個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.8【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【詳解】解：將3個1和2個0隨機(jī)排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個0不相鄰的概率為，故選：C.11. 若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已

7、知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】，解得，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出.12. 設(shè)是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得的值.【詳解】由題意可得：，而，故.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系式，靈活利用所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.二填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 若向量滿足，則_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案【詳解】.

8、故答案為：.14. 已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為_.【答案】【解析】【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線長，最終利用側(cè)面積公式求出答案.【詳解】.故答案為：.15. 已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則_.【答案】【解析】【分析】首先確定函數(shù)的解析式，然后求解的值即可.【詳解】由題意可得：，當(dāng)時，令可得：，據(jù)此有：.故答案為：.【點睛】已知f(x)Acos(x)(A0，0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)和，常用如下兩種方法：(1)由即可求出；確定時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標(biāo)x0，則令x00(或x0

9、)，即可求出.(2)代入點的坐標(biāo)，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出和，若對A，的符號或?qū)Φ姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.16. 已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知可得，設(shè)，利用勾股定理結(jié)合，求出，四邊形面積等于，即可求解.【詳解】因為為上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，所以， ，即四邊形面積等于.故答案為：.三解答題：共70分.解答應(yīng)寫出交字說明證明過程程或演算步驟，第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第2223題為選考題，考生

10、根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分.17. 甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計270130400（1）甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?（2）能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）75%；60%；（2）能.【解析】【分析】根據(jù)給出公式計算即可【詳解】（1）甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為,乙機(jī)

11、床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為.（2）,故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.18. 記為數(shù)列的前n項和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.【答案】證明見解析.【解析】【分析】先根據(jù)求出數(shù)列的公差，進(jìn)一步寫出的通項，從而求出的通項公式，最終得證.【詳解】數(shù)列等差數(shù)列，設(shè)公差為，當(dāng)時，當(dāng)時，滿足，的通項公式為，是等差數(shù)列.19. 已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，E，F(xiàn)分別為和的中點，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)首先求得AC的長度，然后利用體積公式可得三棱錐的體積；(2)將所給的幾何體進(jìn)

12、行補形，從而把線線垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，然后再由線面垂直可得題中的結(jié)論.【詳解】(1)如圖所示，連結(jié)AF，由題意可得：，由于ABBB1，BCAB，故平面，而平面，故，從而有，從而，則，為等腰直角三角形，.(2)由(1)結(jié)論可將幾何體補形為一個棱長為2的正方體，如圖所示，取棱的中點，連結(jié)，正方形中，為中點，則，又，故平面，而平面，從而.20. 設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)及（1）的單調(diào)性性可得，從而可求a的取值范圍.

13、【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，因為，故，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因為且的圖與軸沒有公共點，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，故即.21. 拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點O焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且已知點，且與l相切（1）求C，的方程；（2）設(shè)是C上的三個點，直線，均與相切判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由【答案】（1）拋物線，方程為；（2）相切，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知拋物線與相交，可得出拋物線開口向右，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用對稱性設(shè)出坐標(biāo)，由，即可求出；由圓與直線相切，求出半徑，即可得出結(jié)論；（2）先考慮斜率不存在，根據(jù)對稱性

14、，即可得出結(jié)論；若斜率存在，由三點在拋物線上，將直線斜率分別用縱坐標(biāo)表示，再由與圓相切，得出與的關(guān)系，最后求出點到直線的距離，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）依題意設(shè)拋物線，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；（2）設(shè)若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)，則過與圓相切的另一條直線方程為，此時該直線與拋物線只有一個交點，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)則過與圓相切的直線為，又，此時直線關(guān)于軸對稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，到直線的距離

15、為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）過拋物線上的兩點直線斜率只需用其縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）表示，將問題轉(zhuǎn)化為只與縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）有關(guān)；（2）要充分利用的對稱性，抽象出與關(guān)系，把的關(guān)系轉(zhuǎn)化為用表示.(二)選考題：共10分.請考生在第2223題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22. 在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為（1）將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點A的直角坐標(biāo)為，M為C上的動點，點P滿足，寫出的軌跡的參數(shù)方程，并判斷C與是否有公共點【答案】（

16、1）；（2）P的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)），C與沒有公共點.【解析】【分析】（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為，將代入可得；（2）設(shè)，設(shè)，根據(jù)向量關(guān)系即可求得P的軌跡的參數(shù)方程，求出兩圓圓心距，和半徑之差比較可得.【詳解】（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程可得，將代入可得，即，即曲線C的直角坐標(biāo)方程為；（2）設(shè)，設(shè)，則，即，故P的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)）曲線C的圓心為，半徑為，曲線的圓心為，半徑為2，則圓心距為，兩圓內(nèi)含，故曲線C與沒有公共點.選修4-5：不等式選講23. 已知函數(shù)（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍【答案】（1）圖像見解析；（2）【解析】【分析】（1）分段去絕對值即可畫出圖像；（2）根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)和可得需將向左平移可滿足同角，求得過時的值可求.【詳解】（1）可得，畫出圖像如下：，畫出函數(shù)圖像如下：（2），如圖，同一個坐標(biāo)系里畫出圖像，是平移了個單位得到，則要使，需將向左平移，即，當(dāng)過時，解得或（舍去），則數(shù)形結(jié)合可得需至少將向左平移個單位，.