《國家教師資格考試高中數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《國家教師資格考試高中數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力（163頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、按一下以編輯母片標(biāo)題樣式,,按一下以編輯母片,,第二層,,第三層,,第四層,,第五層,,,,*,按一下以編輯母片標(biāo)題樣式,,按一下以編輯母片,,第二層,,第三層,,第四層,,第五層,,,,*,國家教師資格考試,,數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力,溫州大學(xué) 黃友初,大綱要求,高中：,大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程的知識(shí)是指：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等大學(xué)課程中與中學(xué)數(shù)學(xué)密切相關(guān)的內(nèi)容，包括數(shù)列極限、函數(shù)極限、連續(xù)函數(shù)、一元函數(shù)微積分、向量及其運(yùn)算、矩陣與變換等內(nèi)容及概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)。,,其內(nèi)容要求是：準(zhǔn)確掌握基本概念，熟練進(jìn)行運(yùn)算，并能夠利用這些知識(shí)去解決中學(xué)數(shù)學(xué)的問題。,,初中：

2、,大學(xué)?？茢?shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程知識(shí)是指：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等大學(xué)?？茢?shù)學(xué)課程中與中學(xué)數(shù)學(xué)密切相關(guān)的內(nèi)容。,,其內(nèi)容要求是：準(zhǔn)確掌握基本概念，熟練進(jìn)行運(yùn)算，并能夠利用這些知識(shí)去解決中學(xué)數(shù)學(xué)的問題。,,數(shù)學(xué)分析,函數(shù)與極限,求極限,：羅必塔法則、兩個(gè)重要極限、無窮小量的等價(jià)替換、求分段函數(shù)的極限（用定義）、分母（分子）有理化；,,判斷連續(xù)性,：一般為分段函數(shù)、判斷間斷點(diǎn)的類別。,例,1,解,,,,方法：,以分母中自變量的最高次冪除分子,,,分母,,,以分出無窮小,,,然后再求極限,.,例,2,解,由準(zhǔn)則,1,得,例,3,證,(,舍去,),例,4,解,例,5,解,例,6,例,

3、7,解,若未定式的分子或分母為若干個(gè)因子的乘積，則可對(duì)其中的任意一個(gè)或幾個(gè)無窮小因子作等價(jià)無窮小代換，而不會(huì)改變?cè)降臉O限．,1.,跳躍間斷點(diǎn),例,4,解,,2.,可去間斷點(diǎn),例,5,,,3.,第二類間斷點(diǎn),例,6,解,例,8,解,例,9,解,導(dǎo)數(shù)與微分,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)、隱函數(shù)求導(dǎo)、拉格朗日中值定理、羅爾定理、柯西定理、函數(shù)的極（最）值、凹凸性、曲率,分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大多需要用定義來求。,例,10,解,例,11,解,隱函數(shù)求導(dǎo)法則,:,用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo),.,觀察函數(shù),先在方程兩邊取對(duì)數(shù),,,然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù),.,--------,對(duì)數(shù)求

4、導(dǎo)法,例,12,解,等式兩邊取對(duì)數(shù)得,兩邊求導(dǎo)得,例,13,解,近似公式,由以上分析我們可知，當(dāng),|△x |,很小時(shí)，△,y≈dy,，即,令,得,例,14,解,例,15,解,例,16,解,例如,,,一、羅爾,(Rolle),定理,二、拉格朗日,(Lagrange),中值定理,三、柯西,(Cauchy),中值定理,例,17,證,由上式得,,,例,18,：設(shè),f,（,x,）在,[0,1],上二階可導(dǎo)，且,f(0)=f(1),，證明,存在,使得,解：令,羅爾定理，因此在（,0,，,1,）內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得,顯然,F(x),滿足,泰勒,(Taylor),中值定理,麥克勞林,(Maclaurin),公

5、式,曲線凹凸的判定,定理,單調(diào)增函數(shù),如圖，,?,?,弧微分公式,),y,x,o,（,設(shè)曲線,C,是光滑的，,（,定義,曲線,C,在點(diǎn),M,處的曲率,2,、曲率的計(jì)算公式,注意,:,(1),直線的曲率處處為零,;,(2),圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù),,,且半徑越小曲率越大,.,積分,不定積分、定積分、定積分的應(yīng)用,,注意：換元法,解,解,令,得,原式＝,將,x,代替,u,得：,例,,求,解,令,,例,,求積分,解,,,注意循環(huán)形式,,,,曲邊梯形的面積,,曲邊梯形的面積,一、直角坐標(biāo)系情形,x,y,o,旋轉(zhuǎn)體的體積為,二、平行截面面積為已知的立體的體積,,如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該

6、立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算,.,立體體積,級(jí)數(shù),級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散；,,冪函數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域、和函數(shù),比較審斂法,比較審斂法的極限形式,:,設(shè),?,￥,=,1,n,n,u,與,?,￥,=,1,n,n,v,都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),,,如果,則,(1),當(dāng),時(shí),,,二級(jí)數(shù)有相同的斂散性,;,(2),當(dāng),時(shí)，若,收斂,,,則,收斂,;,(3),當(dāng),時(shí),,,若,?,￥,=,1,n,n,v,發(fā)散,,,則,?,￥,=,1,n,n,u,發(fā)散,;,交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法,定義,:,正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù),.,,任意項(xiàng)級(jí)數(shù),正項(xiàng)級(jí)數(shù),發(fā)散,收斂,故收斂域?yàn)?(

7、0,1].,解,兩邊積分得,高等代數(shù),行列式、逆矩陣、初等變換、求秩、解方程、線性相關(guān)和線性無關(guān)、二次型、特征值和特征向量,(1),沙路法,三階行列式的計(jì)算,.,列標(biāo),行標(biāo),59,(2),對(duì)角線法則,注意 紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三,,元素的乘積冠以負(fù)號(hào)．,說明,1,對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式．,60,例：,解：,61,例：已知 求,解：,62,運(yùn)算性質(zhì),,例,,設(shè),A,為三階矩陣,?,若已知,|,A,|,??,2,?,,求,||,A,|,?,A,2,A,T,|,?,,,解,?,,?,(,?,2),6,?,64,?,|,A,|,3,?,

8、|,A,2,|,?,|,A,T,|,||,A,|,?,A,2,A,T,|,?,|,A,|,3,?,|,A,2,A,T,|,?,|,A,|,3,?,|,A,|,?,|,A,|,?,|,A,|,?,|,A,|,6,定理,1,,矩陣 可逆的充要條件是 ，且,,這里 是行列式,|A|,中 元素的代數(shù)余子式,,（注意：不是余子式）。,64,逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì),65,例：設(shè)Ａ為三階方陣，,|A|=,－,1/2,，計(jì)算,,解：,66,例,,67,,68,,解,例,69,,70,例題,顯然，非零行的行數(shù)為,2,，,71,1,、若,,2,、若,3,、若,，則該線性方程組無解。,而且都等于,

9、n,，則該線性,方程組有且只有唯一組解。,而且都小于,n,，則該線性,方程組有無窮多組解。,例：解方程組,解：,為方程的基礎(chǔ)解系,方程的解為,如果一個(gè)方程組的系數(shù)矩陣的秩為ｒ，那它的基礎(chǔ)解系有ｎ－ｒ個(gè)解向量。,,例：求解下列非齊次線性方程組：,解：對(duì)方程組的增廣矩陣作如下初等變換：,,因此方程的系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩相等都等于,2<4,因此方程組有無窮多組解。,,由上面矩陣可將方程組化為：,得到方程組的一個(gè)特解,:,對(duì)應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系有,4,－,2,＝,2,個(gè)，我們?nèi)?分別得到一組線性無關(guān)的基礎(chǔ)解系：,故方程組的解為,說明,一、特征值與特征向量的概念,例,,設(shè),求,A,的特征值與特征

10、向量,．,解,得基礎(chǔ)解系為：,相似矩陣與相似變換,定理,：設(shè)Ａ是ｎ階方陣，則Ａ相似于一個(gè)對(duì)角陣的充分必要條件是Ａ恰有ｎ個(gè)線性無關(guān)的特征向量。,,其中Ｐ為Ａ的ｎ個(gè)線性無關(guān)的特征向量拼成的矩陣， 且這個(gè)對(duì)角陣主對(duì)角線上的ｎ個(gè)元素就是Ａ的特征值。,,推論,：ｎ階陣Ａ有ｎ個(gè)不同的特征值，則Ａ必相似于一個(gè)對(duì)角陣。,,,,ｎ階矩陣Ａ與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是對(duì)于每一個(gè)ｋ重根，對(duì)應(yīng)的特征矩陣的秩是ｎ－ｋ。,定義,：設(shè)有,n,個(gè)變?cè)?的二次多項(xiàng)式：,稱為是,n,個(gè)變?cè)膶?shí)二次型。,,具有以下特點(diǎn)：,1,、每一項(xiàng)中變?cè)拇螖?shù)加起來都等于,2,。,,2,、　前面的系數(shù)等于　，　　　　前面的系數(shù)等于,

11、3,、　　都是實(shí)數(shù)。,,若把實(shí)二次型寫成以下形式：,,因此上式的系數(shù)就是一個(gè)方陣，因?yàn)?,是一個(gè)對(duì)稱實(shí)方陣，系數(shù)矩陣為：,同時(shí)，我們也可以把二次型寫成矩陣形式：,,例：求實(shí)對(duì)稱矩陣Ａ對(duì)應(yīng)的二次型：,,解：,解析幾何,向量的點(diǎn)乘、叉乘，以及它們所表示的意義；,,曲線方程、曲面方程；,,直線與直線的夾角、直線與平面的夾角、平面與平面的夾角。,數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積”、“內(nèi)積”,.,結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積,.,解,定義,關(guān)于向量積的說明：,//,向量積也稱為“叉積”、“外積”,.,可用三階行列式表示,//,由上式可推出,補(bǔ)充,,,解,三角形,A

12、BC,的面積為,,,旋轉(zhuǎn)過程中的特征：,如圖,將 代入,將 代入,得方程,例,6,,將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．,旋轉(zhuǎn)雙曲面,旋轉(zhuǎn)橢球面,旋轉(zhuǎn)拋物面,從柱面方程看柱面的特征：,（其他類推）,實(shí) 例,橢圓柱面,//,軸,雙曲柱面,//,軸,拋物柱面,//,軸,空間曲線的一般方程,,曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程,.,空間曲線,C,可看作空間兩曲面的交

13、線,.,特點(diǎn)：,一、空間曲線的一般方程,,空間曲線的參數(shù)方程,二、空間曲線的參數(shù)方程,消去變量,z,后得：,曲線關(guān)于 的投影柱面,設(shè)空間曲線的一般方程：,以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面,.,投影柱面的特征：,三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影,,,如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量．,法線向量的特征：,垂直于平面內(nèi)的任一向量．,已知,設(shè)平面上的任一點(diǎn)為,必有,一、平面的點(diǎn)法式方程,平面的點(diǎn)法式方程,,平面上的點(diǎn)都滿足上方程，不在平面上的點(diǎn)都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形．,其中法向量,已知點(diǎn),解,取,所求平面方程為,化簡(jiǎn)得,取法向量

14、,化簡(jiǎn)得,所求平面方程為,解,,由平面的點(diǎn)法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般方程,平面一般方程的幾種特殊情況：,平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；,平面通過 軸；,平面平行于 軸；,平面平行于 坐標(biāo)面；,類似地可討論 情形,.,類似地可討論 情形,.,,,設(shè)平面為,由平面過原點(diǎn)知,所求平面方程為,解,設(shè)平面為,將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得,解,將,代入所設(shè)方程得,平面的截距式方程,設(shè)平面為,,由所求平面與已知平面平行得,（向量平行的充要條件）,解,化簡(jiǎn)得,令,代入

15、體積式,所求平面方程為,定義,（通常取銳角）,,,兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角,.,三、兩平面的夾角,按照兩向量夾角余弦公式有,兩平面夾角余弦公式,兩平面位置特征：,//,例,6,,研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：,解,兩平面相交，夾角,兩平面平行,兩平面平行但不重合．,兩平面平行,兩平面重合,.,,解,點(diǎn)到平面距離公式,,,定義,空間直線可看成兩平面的交線．,空間直線的一般方程,一、空間直線的一般方程,方向向量的定義：,,如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的方向向量．,//,二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程,直線的對(duì)稱式方程,令,直線的一組方向數(shù),方向向量的余

16、弦稱為直線的方向余弦,.,直線的參數(shù)方程,例,1,,用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線,解,在直線上任取一點(diǎn),取,解得,點(diǎn)坐標(biāo),因所求直線與兩平面的法向量都垂直,取,對(duì)稱式方程,參數(shù)方程,解,所以交點(diǎn)為,取,所求直線方程,定義,直線,直線,^,兩直線的方向向量的夾角稱之,.,（銳角）,兩直線的夾角公式,三、兩直線的夾角,兩直線的位置關(guān)系：,//,直線,直線,例如，,解,設(shè)所求直線的方向向量為,根據(jù)題意知,取,所求直線的方程,解,先作一過點(diǎn),M,且與已知直線垂直的平面,再求已知直線與該平面的交點(diǎn),N,,,令,代入平面方程得,,,交點(diǎn),取所求直線的方向向量為,所求直線方程為,定義,直線和它在平面上的投

17、影直線的夾角 稱為直線與平面的夾角．,,^,^,四、直線與平面的夾角,直線與平面的夾角公式,直線與平面的位置關(guān)系：,//,解,為所求夾角．,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),隨機(jī)事件的概率、條件概率、全概率公式、常用的概率分布、數(shù)學(xué)期望、方差、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn),一、古典概率,,古典概率：,P(A),＝,,m,：事件,A,包含的基本事件數(shù)或樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)；,,n,：事件總數(shù)或樣本點(diǎn)總數(shù)；,,古典概率有以下特點(diǎn)：,,（,1,）樣本點(diǎn)總數(shù),n,是有限的；,,（,2,）每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率是相等的。,（,4,）,.,如果事件,A,和,B,互不相容，則,AB,＝,Φ,，此時(shí),,（,5,）,.,對(duì)于對(duì)立事件,A,和

18、有,,例,1,：,100,件產(chǎn)品中有,5,件次品，有返回的取三次，每次取一件，請(qǐng)問取到的次品的概率？,解：,設(shè),A,：三次中取到次品，則有,,,,（,6,）,.,若 ，則,P(A-B),＝,P(A),－,P(B),定理：如果 是 的一個(gè)剖分，且 ，則對(duì)任一事件,B,，有,,則稱上式為全概率公式。,這個(gè)公式稱為貝葉斯公式。,在某些情況下，事件,B,發(fā)生或不發(fā)生對(duì)事件,A,不產(chǎn)生影響，我們稱這時(shí)事件,A,與事件,B,相互獨(dú)立，這時(shí)有,P(A),＝,P(A|B),，因此有：,例,3:,設(shè)甲、乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中的概率分別為,0.9,，,0

19、.8,，求在一次射擊中，目標(biāo)被擊中的概率？,,＝,0.9,＋,0.8,－,0.9×0.8,＝,0.98,,解：設(shè),A,表示甲擊中目標(biāo)，,B,表示乙擊中目標(biāo)。則目標(biāo)被擊中是概率是,密度函數(shù),1,．兩點(diǎn)分布（也叫貝努里分布）。,,2.,二項(xiàng)分布,3.,泊松分布,4.,均勻分布,5.,指數(shù)分布,,定義,：隨機(jī)變量各取值和相應(yīng)的出現(xiàn)概率的乘積之和就是該隨機(jī)變量的數(shù)字特征，記為 ，它反映的是隨機(jī)變量的平均值。,對(duì)于離散型隨機(jī)變量，它的數(shù)學(xué)期望為,,對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，它的數(shù)學(xué)期望為,,下面看幾個(gè)常見分布的數(shù)學(xué)期望：,1.,兩點(diǎn)分布：,2.,二項(xiàng)分布,：,3.,泊松分布：,,4.,均勻分布：,,

20、5.,指數(shù)分布：,,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：,,1.,若,c,為常數(shù)，則,E(c),＝,c,。,,2.,若,a,為常數(shù)，,3.,線性性質(zhì)：若,a,，,b,為常數(shù)，則,5.,若,4.,可加性：,,,這個(gè)性質(zhì)可以推廣到無限個(gè)。,定義,：若 存在，我們稱為方差，記為 ，,,稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，它反映了隨機(jī)變量和均值的偏離程度。,對(duì)于離散型的隨機(jī)變量：,,對(duì)于連續(xù)型的隨機(jī)變量：,,常見分布的方差：,1.,兩點(diǎn)分布：,,,2.,二項(xiàng)分布：,,,,3.,泊松分布：,4.,均勻分布：,,5.,指數(shù)分布：,,方差的性質(zhì)：,,1.,若,c,為常數(shù)，,D(c)=0,；,,2.

21、 ,k,為常數(shù)；,,3.,，,a,為常數(shù)。,,定義：如果隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為,,則稱 服從參數(shù)為 ， 的正態(tài)分布，記為 它的分布函數(shù)為：,,同樣，它也滿足 ， 。它的圖形呈鐘形，對(duì)稱軸為 ， 越小越陡，越大越平坦。,,對(duì)于正態(tài)分布它的數(shù)字特征如下：,,,稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，一般記為 ，稱,,,,分布函數(shù),,由于一般的正態(tài)分布比較難計(jì)算，因此在計(jì)算過程中采用對(duì)其變換，把它變到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的形式，然后查表得出結(jié)果。變換過程就是：,,,,,,如果現(xiàn)有 要我們求， 則有

22、,另外,由此也可得,例,1:,人的體重符合參數(shù) ， 的正態(tài)分布，即 ，對(duì)任一人,,（,1,）他的體重在,[45,65],的概率；,,（,2,）他的體重大于,85,公斤的概率。,解：,,例,2,：若生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度 服從正態(tài)分布 如果規(guī)定零件長(zhǎng)度在,50±1.5,之間為合格，求零件是合格品的概率,P,，已知,=0.8413, =0.9772,解：由題意得：,,例,3,： 且 求,解：,例,4,：設(shè) ，且概率密度 ，則正確的為（ ）,參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)，置信區(qū)間等等,,比例占,40%,，也就是,60,分左右。,