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1、對于,線性系統(tǒng),,各變量是關(guān)于系統(tǒng)的線性函數(shù)。,,則其,解可以線性疊加,。,P,2,A,,B,,P,1,A,,B,,P,1,P,2,A,,B,,=,+,1,、疊加法(,superposition method,),的基本概念,如果方程,和,均為,線性,則:,§,6-4,用,疊加法求彎曲變形,基于桿件變形后其軸線為一光滑連續(xù)曲線和位移是桿件變形累加的結(jié)果這兩個重要概念,以及在小變形條件下的力的獨立作用原理,采用疊加法(,superposition method,),由現(xiàn)有的撓度表可以得到在很多復(fù)雜情形下梁的位移。,2,、疊加法求彎曲變形,當(dāng)梁上受有幾種不同的載荷作用時,都可以將其分解為各種載荷單
2、獨作用的情形,由撓度表查得這些情形下的撓度和轉(zhuǎn)角,再將所得結(jié)果疊加后,便得到幾種載荷同時作用的結(jié)果。,解:,例,1,求梁的撓度和轉(zhuǎn)角,,y,c,,,?,A,。,,a,a,P =,q a,A,B,q,C,,a,a,A,B,,q,C,,,a,a,A,B,,C,,P,=,+,例,2,求圖示懸臂梁的,y,c,組合方法一:,增減載荷法,C,A,B,C,B,A,C,(,1,),C,B,(,2,),將桿件系統(tǒng)分解為,n,段,分,n,次變形。假設(shè)每次只有一段變形,其它段均作為剛性處理(可以使用剛性體的力學(xué)原理),然后進(jìn)行疊加,求得變形量。,組合方法二:,逐段剛化法,方法:,先假設(shè),BC,段,剛性,,,只有,A
3、B,段變形,再考慮,BC,段的變形,( AB,段剛性,),A,B,C,B,A,C,C,A,B,=,+,牽帶,位移,例,3,求圖示懸臂梁的,y,c,組合方法三:,等價積分法,積分,A,B,C,C,x,,dx,例,4,求圖示懸臂梁的,y,c,先取微分長度,形成微集中力,dP,=,qdx,,,代換后知:,B,A,P,例,5,求圖示簡支梁的,y,C,P,A,B,C,EI,2EI,解:,P,A,B,C,組合方法四:,等價懸臂梁法,(,僅適合簡支梁受到對稱荷載,),由于對稱:梁在,C,點的轉(zhuǎn)角為,0,,可以視為一懸臂梁在,C,點固定,在,A,點受集中力作用。,A,點所產(chǎn)生的位移恰好與,C,點,的位移數(shù)值相
4、同。,A,注意:一般已經(jīng)給出懸臂梁法受集中力,(,力偶,),作用所產(chǎn)生的位移和轉(zhuǎn)角,即:,B,A,P,=,+,B,A,M,A,a,a,A,a,a,M=a*P/2,A,a,a,A,,B,,A,,B,,P,=,+,組合方法五:,利用對稱性,(,僅適合求簡支梁中點位移,),從數(shù)學(xué)知識,任何實矩陣都可以分解為對稱矩陣和反對稱矩陣之和的形式,: [ F ]= [ F ],symm,,+ [ F ],antisymm,,,對于軸對稱的結(jié)構(gòu),,,力也可以同樣分解,.,例如,P/2,P/2,P/2,P/2,例,6,:已知,懸臂梁受集中力作用所產(chǎn)生的端部位移和轉(zhuǎn)角。,求圖示梁在中點的撓度,,f,c,=,
5、+,A,,B,,P/2,P/2,P/2,P/2,a,A,,B,,P,a,a/2,C,,在對稱力,P/2,和支座反力,P/2,作用下,中截面的的撓度,f,c,可以用端部的撓度,f,B,表示,B,C,D,B,A,P,§,6-5,簡單的靜不定梁,與桿件,靜不定問題的解題方法類似,,除了平衡方程外,還需要建立變形協(xié)調(diào)方程(,compatibility equation,),,,并建立力與位移或變形之間的物理關(guān)系,即物理方程或稱本構(gòu)方程(,constitutive equations,)。,解靜不定梁,基本步驟:,2,、建立,平衡方程,3,、針對原,冗余約束條件,,建立變形協(xié)調(diào)方程,4,、按照彎曲變形的
6、公式建立,物理方程,1,、選定并解除冗余約束,代之以多余約束反力,形成,基本靜定基,。(注意:,基本靜定基的形式并不唯一。,),5,、聯(lián)立求解,平衡方程、,物理方程和,變形協(xié)調(diào)方程。解得,多余約束反力,例8,求,:,梁的約束力,已知:,A,端固定、,B,端鉸支梁的彎曲剛度為,EI,、,長度為,l,。,B,A,l,q,解:,1,、平衡方程,:,Y,A,+Y,B,-,ql,=,0,X,A,=,0,B,M,A,Y,A,X,A,Y,B,A,l,q,3,、物理方程:,2,、變形協(xié)調(diào)方程:,,,y,B,=,y,B,(,q,)+,y,B,(,F,By,)=0,y,B,(,q,)=,ql,4,/,(,8,EI
7、,),,y,B,(,F,By,)= -,Y,b,l,,3,/,(,3,EI,),l,y,B,(,Y,B,),B,Y,B,A,B,M,A,Y,A,X,A,Y,B,,A,l,q,y,B,(,q,),B,l,q,=,+,解:,4,、綜合求解,Y,A,+Y,B,-,ql,=,0,X,A,=,0,y,B,=,y,B,(,q,)+,y,B,(,Y,B,)=0,由平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程、物性關(guān)系聯(lián)立解出,:,y,B,(,q,)=,ql,4,/,(,8,EI,),,y,B,(Y,B,)= -,Y,b,l,,3,/,(,3,EI,),Y,B,=,3,ql /,8 ,,X,A,=,0 ,,M,A,=,ql,2
8、,/,8,Y,A,=,5,ql /,8 ,,B,M,A,Y,A,X,A,Y,B,,A,l,q,強(qiáng)度:正應(yīng)力:,剪應(yīng)力:,剛度:,穩(wěn)定性:,都與內(nèi)力和截面性質(zhì)有關(guān)。,§,6-6,提高彎曲剛度的一些措施,一、選擇梁的合理截面,矩形木梁的合理高寬比,北宋李誡于,1100,年著,?,營造法式,,?,一書中指出,:,,矩形木梁的合理高寬比,(,h,/,b,= ),1.5,英,(,T.Young,),于,1807,年著,?,自然哲學(xué)與機(jī)械技術(shù)講義,,?,一書中指出,:,,矩形木梁的合理高寬比 為,R,b,h,請記?。寒?dāng)梁上下對稱時,,,強(qiáng)度與抗彎截面模量,W,z,相關(guān);剛度與慣性矩,I,z,相關(guān),。,合
9、理截面,1,、在面積相等的情況下,選擇抗彎模量大的截面,z,D,z,a,a,例如:以圓形截面為基準(zhǔn),在面積相等的情況下,比較其它截面,對于正方形,z,D,0.8,D,圓環(huán)形,截面,a,1,2,a,1,z,矩形,截面,工字形截面與框形截面類似。,0.8,a,2,a,2,1.6,a,2,2,a,2,z,框形截面,顯然:,工字形、槽形截面比矩形截面合理,,,矩形截面比圓形截面合理。,對于抗拉和抗壓不相同的脆性材料最好選用關(guān)于中性軸不對稱的截面,2,、根據(jù)材料特性選擇截面,二、采用變截面梁,最好是等強(qiáng)度梁,即,若為等強(qiáng)度矩形截面,則高為:,同時,P,x,在工程應(yīng)用中則廣泛采用變截面梁,如:在機(jī)械工廠中
10、,行車多采用魚腹梁形狀。,三、合理布置外力(包括支座),使,M,,max,,盡可能小,,P,,L/,2,L/,2,M,x,+,PL/,4,,P,,L/,4,3,L/,4,M,x,3,PL/,16,,P=qL,,L/,5,4,L/,5,,對稱,M,x,qL,2,/,10,M,x,q,,L,L,/5,q,,L,/5,40,2,qL,50,2,qL,-,M,x,q,,L,/2,L,/2,x,32,2,qL,-,M,四、防止薄壁梁的側(cè)向屈曲,1.,矩形純彎梁的臨界載荷,L,M,M,x,y,z,2.,工字鋼形截面純彎梁的臨界載荷,L,M,M,x,y,z,h,,由上可見,,I,y,過小時,,雖然強(qiáng)度和剛度
11、較高,但側(cè)向失穩(wěn)的可能性卻增大了,,這點應(yīng)引起注意。,五、選用高強(qiáng)度材料,提高許用應(yīng)力值,同類,材料,,,如,鋼材,“,E,”,值相差不多,,,“,?,s,”,相差較大,,,故換用同類材料只能提高強(qiáng)度,不能提高剛度和穩(wěn)定性,。,,,,不同類材料,,E,和,G,都相差很多(鋼,E,=,200GPa,,,銅,E,=,100GPa,),,故可選用不同的材料以達(dá)到提高剛度和穩(wěn)定性的目的,。,但是,改換材料,其,原料費用,也會隨之發(fā)生很大的改變!,?,剛度設(shè)計舉例,,對于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件,剛度設(shè)計就是根據(jù)對零件和構(gòu)件的不同工藝要求,將最大撓度和轉(zhuǎn)角,(,或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角,),限制在一定
12、范圍內(nèi),即滿足彎曲剛度設(shè)計準(zhǔn)則,(criterion for stiffness design),:,上述二式中,?,w,?,和,?,?,?,分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角,均根據(jù)對于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。,已知:鋼制圓軸,左端受力為,F,P,,,F,P,=,20,kN,,,a,=,l m,,,l,=,2 m,,,E,=206,GPa,,,其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承,B,處的許用轉(zhuǎn)角,?,θ,?,=0.5°,。,試:根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑,d,。,解:根據(jù)要求,所設(shè)計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度,以保證軸承,B,處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此,需按下列步驟計算。,B,解:根據(jù)要求,所設(shè)計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度,以保證軸承,B,處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此,需按下列步驟計算。,1,.查表確定,B,處的轉(zhuǎn)角,,由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁,B,處的轉(zhuǎn)角為,B,1,.查表確定,B,處的轉(zhuǎn)角,,由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁,B,處的轉(zhuǎn)角為,B,2,.根據(jù)剛度設(shè)計準(zhǔn)則確定軸的直徑根據(jù)設(shè)計要求,B,2,.根據(jù)剛度設(shè)計準(zhǔn)則確定軸的直徑根據(jù)設(shè)計要求,,其中,,?,的單位為,rad,(,弧度),而,?,θ,?,的單位為(,°,)(度),考慮到單位的一致性,將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后,得到軸的直徑,作業(yè),,,6-18(a), 6-21,,,6-24,本章結(jié)束,