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1、 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 1 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 小 結(jié) 思 考 題 作 業(yè)格 林 (Green)公 式平 面 上 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) 的條 件全 微 分 方 程格 林 G reen.G . (17931841) 英 國 數(shù) 學 家 、 物 理 學 家 第 10章 曲 線 積 分 與 曲 面 積 分 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 2DD 1. 區(qū) 域 連 通 性 的 分 類 設(shè) D為 平 面 區(qū) 域 , 復 連 通 區(qū) 域單 連 通 區(qū) 域一 、 格 林 公 式否 則 稱 為 則 稱 D為 平 面復 連 通 區(qū) 域 .成 的

2、部 分 都 屬 于 D, 如 果 D內(nèi) 任 一 閉 曲 線 所 圍單 連 通 區(qū) 域 , 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 3 定 理 10.4(格 林 公 式 ) 設(shè) 閉 區(qū) 域 D由 分 段 光 滑的 曲 線 L圍 成 , LD yQxPyxyPxQ dddd)( 函 數(shù) P(x, y)及 Q(x, y)在 D上 具 有連 續(xù) 偏 導 數(shù) , 則 有2. 格 林 公 式其 中 L是 D的 取 正 向 的 邊 界 曲 線 . 一 階 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 4 D Ll當 觀 察 者 沿 邊 界 行 走 時 ,(1) P、 Q在 閉 區(qū) 域 D上 具 有 一 階 連

3、 續(xù) 偏 導 ; (2) 曲 線 L是 封 閉 的 , 并 且 取 正 向 .注規(guī) 定 邊 界 曲 線 L的 正 向 .區(qū) 域 D總 在 他 的 左 邊 .D L D:記 為 LD yQxPyxyPxQ dddd)(格 林 公 式 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 5),()(),( 21 bxaxyxyxD ),()(),( 21 dycyxyyxD (1)先 對 簡 單 區(qū) 域 證 明 :證 明 LD yQxPyxyPxQ dddd)(若 區(qū) 域 D既 是 型X又 是 型Y即 平 行 于 坐 標 軸 的 直 線和 L至 多 交 于 兩 點 . xyO a bdc D )(1 xy

4、)(2 xy A BC E )(2 yx )(1 yx 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 6 D )(2 yx )(1 yx D yxxQ dd dc yyyQ d),( 2 CBE yyxQ d),(同 理 可 證 LD xyxPyxyP d),(dddc yd dc yyyQ d),( 1 LD yQxPyxyPxQ dddd)( yyxQ d),( EAC yyxQ d),( dc yy yyxQ d),( )( )(21 xxQyy d)( )(21 CBE CAE yyxQ d),( LD yQxPyxyPxQ dddd)( L yyxQ d),( xyOdc A BC E化

5、 為 二 次 積 分化為第二類曲線積分 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 7 DL(2) 再 對 一 般 區(qū) 域 證 明 : 1L 1D 2D3DD yxyPxQ dd)( 若 區(qū) 域 D由 按 段 光 滑(如 圖 )將 D分 成 三 個 既 是 型X又 是 型Y 的 區(qū) 域,1D yxyPxQ dd)( 2L3L321 DDD ,2D .3D的 閉 曲 線 圍 成 . xyO積 分 區(qū) 域 的 可 加 性 LD yQxPyxyPxQ dddd)( 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 8 L yQxP dd D yxyPxQ dd)( 321 dd)(DDD yxyPxQ yxy

6、PxQ dd)( yxyPxQ dd)( yQxP dd yQxP dd LD yQxPyxyPxQ dddd)( yxyPxQ dd)(1D 2D3D yQxP dd1L 2L 3L DL 1L 2L3L1D 2D3D(L1, L2, L3對 D來 說 為 正 方 向 ) 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 91L 2L 3L(3) 對 復 連 通 區(qū) 域 證 明 : D yxyPxQ dd)(若 區(qū) 域 不 止 由 一 條 閉 曲 線 L yQxP dd 所 圍 成 . )dd( yQxP 2L( 3L 1L) D格 林 公 式且 邊 界 的 方 向 對 區(qū)的 曲 線 積 分 ,右

7、端 應 包 括 沿 區(qū) 域 D的 全 部 邊 界域 D來 說 都 是 正 向 . LD yQxPyxyPxQ dddd)(對 復 連 通 區(qū) 域 D, (L1, L2, L3對 D來 說 為 正 方 向 ) 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 10 1L2L 3L(3) 對 復 連 通 區(qū) 域 證 明 :由 (2)知 D yxyPxQ dd)( 3L )0,0( CE ECAB BA若 區(qū) 域 不 止 由 一 條 閉 曲 線添 加 直 線 段 ,AB .CE則 D的 邊 界 曲 線 由 ,AB ,2L ,BA,AFC ,CE ,3L EC CGA及 構(gòu) 成 . L yQxP dd所 圍

8、成 .AB 2L BA AFC CE )dd( yQxP EC CGA )dd( yQxP 2L( 3L 1L) G FD CEAB(L1, L2, L3對 D來 說 為 正 方 向 )對 復 連 通 區(qū) 域 D, 格 林 公 式且 邊 界 的 方 向 對 區(qū)的 曲 線 積 分 ,右 端 應 包 括 沿 區(qū) 域 D的 全 部 邊 界域 D來 說 都 是 正 向 . 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 11 便 于 記 憶 形 式 : .dddd LD yQxPyxQP yx 格 林 公 式 的 實 質(zhì)之 間 的 聯(lián) 系 .溝 通 了 沿 閉 曲 線 的 積 分 與 二 重 積 分 LD

9、yQxPyxyPxQ dddd)( 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 12 L xyyx dd (1) 計 算 平 面 的 面 積3. 簡 單 應 用 LD yQxPyxyPxQ dddd)(格 林 公 式 .dd21 L xyyxA y x得 D yxdd2閉 區(qū) 域 D的 面 積 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 13 O xy 例 求 橢 圓解 由 公 式得 tttabA d)sin(cos21 220 2 .ab D所 圍 成 的 面 積 . L xyyxA dd21 20,sin,cos ttbytax 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 14 對 平 面 閉

10、曲 線 上 的 對 坐 標 曲 線 積 分 ,yPxQ 當 比 較 簡 單 時 ,常 常 考 慮 通 過 格 林公 式 化 為 二 重 積 分 來 計 算 . DL yxyPxQyQxP dd)(dd 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 15D 計 算 .d)(d)3( L xyxyyxL是 圓 周 : 如 把 圓 周 寫 成 參 數(shù) 方 程 :,cos31 x再 將 線 積 分 化 為 定 積 分 計 算 ,用 格 林 公 式 易 求 .分 析 sin34y )20( 則 過 程 較 麻 煩 .9)4()1( 22 yx解 ,)( yxP 設(shè) yxQ 3由 格 林 公 式 3xQ,1y

11、P D yxdd2 .18 L xyxyyx d)(d)3( O xy(2) 簡 化 曲 線 積 分 的 計 算例 DL yxyPxQyQxP dd)(dd 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 162.1 L yy yyxxyxI ,d)2e(de 3計 算其 中 L為 圓 周 xyx 222 解 ,eyP yxxyQ y 2e3 ,eyyP yyxQ e3 3yyPxQ 由 格 林 公 式 有 DL yxyPxQyQxP dd)(ddI 對 稱 性的 正 向 . O xy yxyD dd3 .0 D 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 17 則 曲 線 積 分為 取 正 向 的

12、圓 周設(shè) ,922 yxL L yxxxyxy ).(d)4(d)22( 2 18解 ,22 yxyP 設(shè) xxQ 42 由 格 林 公 式 42 xxQ,22 xyP L yxxxyxy d)4(d)22( 2 D yxxx dd)2242( D yxdd2 .18 DL yxyPxQyQxP dd)(dd 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 18 例 計 算 ,d)cose(d)sine( ymyxmyy xAO x .22 axyx 分 析但 由 myQ x cosexQ yP可 知 yPxQ 非 常 簡 單 .m,cose yx myx cose,sine myyP x 其 中

13、AO是 從 點 A(a,0)到 點 O(0,0)的 上 半 圓 周此 積 分 路 徑 AO不 是 閉 曲 線 ! O xy )0,(aA 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 19 O xy為 應 用 格 林 公 式 再 補 充 一 段 曲 線 ,因 在 補 充 的 曲 線 上 還 要 算 曲 線 積 分 ,補 充 的 曲 線 要 簡 單 , 使 之 構(gòu) 成閉 曲 線 . 所 以因 而 這 里 補 加 直 線 段直 線 段 . 通 常 是 補 充 與 坐 標 軸 平 行 的 L不 閉 合 + 邊 L , 使 L+ L閉 合 , 再 用 格 林 公 式 .由 格 林 公 式 D yxm dd

14、 ymyxmyy xOAAO x d)cose(d)sine( 281 am解 .OA axy 0,0OA的 方 程 為 a x0 d0故 0所 以 , I .81 2am 081 2amAO OA OA0 0 0myPxQ ymyxmyy xOA x d)cose(d)sine( )0,(aA 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 20 L xyyx d2d則 曲 線 積 分 222 yx設(shè) L為 正 向 圓 周 在 第 一 象 限 中 的 部 分 ,的 值 為 ( ).23解 L xyyx d2d 2121 LLLLL 00dd3 D yx 3 yPxQ4)2(3 2 .23 LO x

15、y 22 2L1L DL yxyPxQyQxP dd)(dd D 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 210 (3) 二 重 積 分 化 為 線 積 分 計 算則 yPxQ解 令 ,0P 2e yxQ 例 為 頂 點 的 D y yx ,dde 2計 算 是其 中 D)1,0(),1,1(),0,0( BAO以 LD yQxPyxyPxQ dddd)(格 林 公 式 D y yxdde 2 BOABOA y yx de 2 OA y yx de 2 AB y yx de 2 BO y yx de 22e y ).e1(21 1 10 de 2 xx x 0 0 0 O x y 11 AB

16、D三 角 形 閉 區(qū) 域 . 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 22 解 記 L所 圍 成 的 閉 區(qū) 域 為 D,其 中 L為 一 條 無 重 點 ,分 段 光 滑 且 不 經(jīng) 過 原 點 的 連 續(xù) 閉 曲 線 , L的 方 向 為例 L yx xyyx ,dd 22計 算令 ,22 yx yP 22 yx xQ ,022 時則 當 yx有 xQ yP222 22 )( yx xy 逆 時 針 方 向 . 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 23L L yx xyyx 22 dd即 L為 不 包 圍 原 點 的 任 一 閉 曲 線 .即 L為 包 圍 原 點 在 內(nèi) 的 任

17、一閉 曲 線 .由 格 林 公 式 ,)0,0()1( 時當 D ,)0,0()2( 時當 D應 用 由 格 林 公 式 , 得 LD yQxPyxyPxQ dddd)(0yPxQ 作 位 于 D內(nèi) 圓 周 222: ryxl D L xyO D1rl xyOP、 Q在 閉 區(qū) 域 D上 具 有 一 階 連 續(xù) 偏 導 ;曲 線 L是 封 閉 的 , 并 且 取 正 向 .記 D1由 L和 l所 圍 成 , L yx xyyx ,dd 22計 算 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 24 L yx xyyx 22 dd 20 2 2222 dsincos r rr L yx xyyx 2

18、2 dd.2 yxyPxQ dd 所 以0 0 l yx xyyx 22 dd sincosry rx1D yPxQ l yx xyyx 22 dd 222: ryxl 其 中 l 的 方 向 取逆 時 針 方 向 L1Drl xyO注 意 格 林 公 式 的 條 件對 復 連 通 區(qū) 域 D, 格 林 公 式 右 端 應 包 括 沿且 邊 界 的 方 向區(qū) 域 D的 全 部 邊 界 的 曲 線 積 分 ,對 區(qū) 域 D來 說 都 是 正 向 . 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 25 解 記 L與 l 圍 成 的 閉 區(qū) 域 為 D1.設(shè) L為 圓 周在 L內(nèi) 部 作 有 向 橢 圓

19、 l:順 時 針 方 向 .例 L yx yxxyI .4 dd 22求,022 時當 yx xQyP .422 的 正 向 yx 4: 22 yxLl xyO,4 222 yx l的 方 向 為1DI L yx yxxy 224 ddl l yx yxxy 224 dd而 lL yx yxxy 224 dd 格 林 公 式 yxyPxQD dd)(1 0 0l yx yxxy 224 dd cos2x siny 20 2 )sin(dcos2)cos2(dsin 法 一 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 26 l yx yxxy 224 dd 20 2 )sin(dcos2)cos2

20、(dsin dcos2sin220 2 2222 20 d21 221 I所 以 0 .法 二 l yx yxxy 224 dd l yxxy dd12 yxD dd)11(1 22 2)2(1 22 4: 22 yxLl xyO 1DD2是 由 l 所 圍 區(qū) 域2224 yx 2224: yxl格 林 公 式2D l yxxy dd 2 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 27O x y 0 sin de yy D 研 究 生 考 題 (數(shù) 學 一 )(10分 )已 知 平 面 區(qū) 域 ,0,0),( yxyxDL為 D的 正 向 邊 界 .試 證 : ;dededede)1( si

21、nsinsinsin L xyL xy xyyxxyyx .2dede)2( 2sinsin L xy xyyx證 左 邊 = L0 sin de yy ,)dee( 0 sinsin xxx右 邊 = 0 sin de xx,)dee( 0 sinsin xxx法 一 0 sin de xxxxxx(1) 2ee sinsin xx L xyL xy xyyxxyyx dededede sinsinsinsin 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 28 .2dede)2( 2sinsin L xy xyyx 0 sinsin )dee( xxx已 知 平 面 區(qū) 域 ,0,0),( y

22、xyxDL為 D的 正 向 邊 界 .試 證 : ;dededede)1( sinsinsinsin L xyL xy xyyxxyyx證 (2) 由 于 ,2ee sinsin xx故 由 (1)得 L xy xyyx dede sinsin .2 2研 究 生 考 題 (數(shù) 學 一 )(10分 ) 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 29 證 法 二 (1) 根 據(jù) 格 林 公 式 , 得左 邊 =右 邊 = ,d)ee( sinsin xD y ,d)ee( sinsin xD y 因 為 D關(guān) 于 xy 對 稱 , 所 以 d)ee( sinsin xD y d)ee( sins

23、in xD y O xy D L LD yQxPyxyPxQ dddd)(研 究 生 考 題 (數(shù) 學 一 )(10分 ).2dede)2( 2sinsin L xy xyyx已 知 平 面 區(qū) 域 ,0,0),( yxyxDL為 D的 正 向 邊 界 .試 證 : ;dededede)1( sinsinsinsin L xyL xy xyyxxyyx L xyL xy xyyxxyyx dededede sinsinsinsin 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 30 證 法 二 由 (1)知 L xy xyyx dede sinsind)ee( sinsin xD y d)ee(

24、sinsin xD x d2 D .2 2 L xy xyyx dede sinsin d)ee( sinsin xD y d)ee( sinsin xD y L xy xyyx dede sinsin + +研 究 生 考 題 (數(shù) 學 一 )(10分 ).2dede)2( 2sinsin L xy xyyx已 知 平 面 區(qū) 域 ,0,0),( yxyxDL為 D的 正 向 邊 界 .試 證 : ;dededede)1( sinsinsinsin L xyL xy xyyxxyyx 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 31 G 1 ddL yQxP 2 ddL yQxP B如 果 在

25、 區(qū) 域 G內(nèi) 有二 、 平 面 上 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān)的 條 件 A L1 L21. 平 面 上 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) 的 定 義否 則 與 路 徑 有 關(guān) .則 稱 曲 線 積 分 L yQxP dd 在 G內(nèi) 與 路 徑 無 關(guān) , xyO 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 32 2.平 面 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) 的 條 件定 理 10.5的 各 分 量 在 區(qū) 域 D上 有 一 階 連 續(xù) 偏 導 數(shù) ,則 以 下 三 個(1)對 D中 任 意 分 段 光 滑 的 閉 曲 線 L, 總 有;0d),(d),( yyxQxyxPL(2)

26、曲 線 積 分 yyxQxyxPL d),(d),( 在 D內(nèi) 與(3) yyxQxyxP d),(d),( 在 D內(nèi) 是 某 個 二 元函 數(shù) 的 全 微 分 ,即 存 在 u(x, y), 使 得路 徑 無 關(guān) ; .d),(d),(),(d yyxQxyxPyxu ),(),(),( yxQyxPyxF 設(shè) 向 量 函 數(shù)命 題 等 價 ： 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 33 證 定 理 中 的 三 個 條 件 互 為 充 要 條 件 . 證 明 方 式 :)2()1( 0d),(d),( yyxQxyxPL 在 D內(nèi) 與 路 徑 無 關(guān) . DA BL1L 2如 圖 , 在

27、 (1)的 條 件 下 yyxQxyxPL d),(d),( 0 yyxQxyxP d),(d),( yyxQxyxP d),(d),( 1L2L yyxQxyxPL d),(d),(2 于 是 ,yyxQxyxPL d),(d),(1 .d),(d),(2 yyxQxyxPL yyxQxyxPL d),(d),( )1()3()2()1( 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 34 :)3()2( 由 條 件 (2)yyxQxyxPAB d),(d),( yyxQxyxP d),(d),( ),( 00 yx ),( yx),( yxu只 需 證 xu yu由 偏 導 定 義 limxu

28、 ),(),( yxuyxxu x0 x ),( yxxu yyxQxyxP d),(d),( ),( 00 yx ),( yxx 在 D內(nèi) 與 路 徑 無 關(guān)yyxQxyxPL d),(d),( yyxQxyxPyxu d),(d),(),(d 設(shè) A(x0, y0), B(x, y)是 D內(nèi) 任 意 兩 點 , 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 35 ),( yxx xyO D ),( yxxM yyxQxyxP d),(d),( ),( yx yyxQxyxP d),(d),( ),( yx ),( yxPxu 于 是 , ),( yxxu ),( yxu xyxP d),( x

29、yxxP ),( 積 分 中 值 定 理0lim xxu ),( yxxP ),( yxPP連 續(xù)同 理 可 證 ),( yxQyu 所 以 , ),( yxxu yyxQxyxP d),(d),( ),( 00 yx ),( yxx .d),(d),(),(d yyxQxyxPyxu xx x),( 00 yx ),( yxu ),( yxB),( 00 yxA 0 ）（ 10 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 36 :)1()3( 不 妨 設(shè) 封 閉 曲 線其 參 數(shù) 方 程 為 ),(),( tyytxx ,10 ttt ),(),( 00 tytx )(),( 11 tytx

30、都 對 應 A點 , 則 ACBA yyxQxyxP d),(d),( 10 d)()(),()()(),(tt ttytytxQtxtytxP易 證 )()(),()()(),()(),( tytytxQtxtytxPtytxu 是原 函 數(shù) . )(),()(),( 0011 tytxutytxu )()( AuAu .0yyxQxyxPyxu d),(d),(),(d .0d),(d),( yyxQxyxPLACBA是 光 滑 的 , 化 為 定 積 分 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 37 推 論 10.1(曲 線 積 分 的 基 本 定 理 )積 分 L rF d區(qū) 域 G

31、內(nèi) 的 一 個 向 量 場 , ),(),(),( yxQyxPyxF 設(shè) 向 量 函 數(shù)續(xù) , 是 平 面P(x, y)及 Q(x, y)都 在 G內(nèi) 連且 存 在 一 個 數(shù) 量 函 數(shù) f (x, y),使 得 ,fF 則 曲 線在 G內(nèi) 與 路 徑 無 關(guān) , 且 ).()(d AfBfrFL 其 中 L為 位 于 區(qū) 域 G內(nèi) 起 點 為 A、 終 點 為 B的 任 意 分分 段 光 滑 曲 線 . 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 38 定 理 10.6下 兩 個 命 題 等 價 ：(1)曲 線 積 分 yyxQxyxPL d),(d),( 在 D內(nèi) 與xQyP (2) 在

32、 D內(nèi) 恒 成 立 .路 徑 無 關(guān) ;的 各 分 量 在 單 連 通 區(qū) 域 D上 有 一 階 連 續(xù) 偏 導 數(shù) , ),(),(),( yxQyxPyxF 設(shè) 向 量 函 數(shù) 則 以證 在 D內(nèi) 任 取 一 條 閉 曲 線 C, 都 有.0dd yQxPC格 林 公 式 CG yQxPyxyPxQ dddd閉 曲 線 C所 包 圍 的 區(qū) 域 G完 全 位 于 D內(nèi) ,:)2()1( 0 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 39 0dd yxyPxQGxQyP ,由 于 的 連 續(xù) 性 , 在 D內(nèi) 恒可 以 得 到 xQyP 成 立 . :)1()2( 在 D內(nèi) 任 取 一 條

33、閉 曲 線 C, 單 連 通 的 , 因 為 D是閉 曲 線 C所 包 圍 的 區(qū) 域 G完 全 位 于 D內(nèi) ,格 林 公 式 yxyPxQyQxP GC dddd 0所 以 , 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) . 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 40 例 計 算 曲 線 積 分 ,d)(d)21( 22 yyxxyxyL 其 中 L是 )1,1()0,0(222 到上 從yyx 的 一 段 有 向 弧 .xyO )1,1(B解 ,21),( 2yxyyxP ,)(),( 2yxyxQ yP )(2 yx xQ曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) . L上 述 定 理 的 簡 單

34、 應 用 ： (1) 簡 化 曲 線 積 分 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 41 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) . xyO )1,1(BL所 以可 以 用 有 向 折 線代 替 有 向 弧 L.如 圖 . 于 是 , ,d)(d)21( 22 yyxxyxyL yyxxyxy d)(d)21( 22 yyxxyxy d)(d)21( 22 10 dx 0 0 00 10 2d)1( yy .34 ,d)(d)21( 22 yyxxyxyL ).1,1()0,0(2: 22 到上 從yyxL ABOAL 1 0ABOA )0,1(A1 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用

35、42xyO 解 .1523原 式 = yyxxxyx d)(d)2( 422 10 2dxx yy d)1(10 4 xyxxxQ 2)( 42 xxyxyyP 2)2( 2 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) .例 L yyxxxyx .d)(d)2( 422計 算 為其 中 L.2sin)1,1()0,0( xyBO 的 曲 線 弧到 點由 點 xQyP )0,0( )1,1( )1,1(B )0,1( 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 43 考 慮 表 達 式如 果 存 在 一 個 函 數(shù) yyxQxyxP d),(d),( ),( yxu 使 得),(d yxu則 稱 yyxQ

36、xyxP d),(d),( 并 將的 一 個稱 為 yyxQxyxPyxuu d),(d),(),( yyxQxyxP d),(d),( 全 微 分 式 ,為 一原 函 數(shù) . yyxQxyxP d),(d),()2( 求 的 原 函 數(shù) .定 理 的 簡 單 應 用 ： 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 44 由例 ,ddd 2x xyyxxy .ddd 2y yxxyyx 可 知 : ,dd 2x xyyx 2 dd y yxxy 都 是 分 別 是 上 面 的,xy ,xy yx yxxyxy dd)(d ,dd yxxy 原 函 數(shù) .全 微 分 式 . 10.3 格 林 公

37、式 及 其 應 用 45 下 面 說 明 一 般 怎 樣 判 斷 全 微 分 式求 原 函 數(shù)xQyP 由 定 理 , yyxQxyxP d),(d),( 是 一 個 全 微 分 式 ,即 ),(d yxu yyxQxyxP d),(d),( (1) 判 斷 全 微 分 式 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 46 xQyP 若 ),( ),( 00 d),(d),(yx yx yyxQxyxP xyxPxx d),(0 0 ),( 0yxC ),( yxByyxQyy d),(0 0 D(x0, y) yyxQyy d),(0 xyxPxx d),(0或 則 O xy ),( 00 y

38、xA(2) 求 原 函 數(shù)),( yxu ),( yxu ),( ),( 00 d),(d),(yx yx yyxQxyxPACBADB 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 47 例 ?d)2e(d)e( 是 否 為 全 微 分 式問 yyxxx yy 用 曲 線 積 分 求 其 一 個 原 函 數(shù) .如 是 ,解 在 全 平 面 成 立 .e xQyP y 所 以 上 式 是 全 微 分 式 . .e2 22 yxx y 因 而 一 個 原 函 數(shù) 是 ： 全 平 面 為 單 連 通 域 , yyxxxyxu yyx y d)2e(d)e(),( ),( )0,0( yyxy y d)

39、2e(0 xxx d)e(0 0 xyO法 一 )0,(x(x,y) 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 48 這 個 原 函 數(shù) 也 可 用 下 法 “ 分 組 ” 湊 出 : 222ed yxx y .e2),( 22 yxxyxu y yyxxx yy d)2e(d)e( )dede( yxx yy )e(d yx )d2d( yyxx 222d yx ),( yxu法 二 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 49 因 為 函 數(shù) u滿 足 Pxxu y e故 yy 2)( 從 而所 以 , .2e),( 22 Cyxxyxu y 問 是 否 為 全 微 分 式 ?yyxxx

40、 yy d)2e(d)e( 用 曲 線 積 分 求 其 一 個 原 函 數(shù) .如 是 , xxu y d)e( 2e 2xxy )(y由 此 得 yx y 2e y的 待 定 函 數(shù)法 三 )(e yxy yu Cyyyy 2d2)( 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 50 解 ,2)( 2 xyxyyyP )()( xyxyxxQ ,),( 2xyyxP )(),( xyyxQ xQyP 積 分 與 路 徑 無 關(guān)設(shè) 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) ,yxyxxyL d)(d2 具 有 連 續(xù) 的 導 數(shù) ,其 中 ,0)0( 且 )1,1( )0,0( 2 .d)(d yxyx

41、xy 計 算即 xyxy 2)( 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 51xyO 10 d0 x .21 (1,0) 10 dyy xyxy 2)( 由 Cxx 2)(0C知 2)( xx )1,1(設(shè) 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) ,yxyxxyL d)(d2 具 有 連 續(xù) 的 導 數(shù) ,其 中 ,0)0( 且 )1,1( )0,0( 2 .d)(d yxyxxy 計 算 )1,1( )0,0( 2 d)(d yxyxxy ,0)0( 由 )1,1( )0,0( 22 dd yyxxxy 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 52x yO法 二 )1,1( )1,1( )0

42、,0( 2 d)(d yxyxxy )1,0( 10 d0 yy 10 2d1 xx0 1 022x .21 設(shè) 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) ,yxyxxyL d)(d2 具 有 連 續(xù) 的 導 數(shù) ,其 中 ,0)0( 且 )1,1( )0,0( 2 .d)(d yxyxxy 計 算 )1,1( )0,0( 22 dd yyxxxy 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 53 ),()( 在設(shè) 函 數(shù) xf 內(nèi) 具 有 一 階 連 續(xù) 導 數(shù) ,L是 上 半 平 面 (y 0)內(nèi) 的 有 向 分 段 光 滑 曲 線 ,為 (a, b), 終 點 為 (c, d). ,d1)(d)

43、(11 222 yxyfyyxxxyfyyI L 記(1) 證 明 曲 線 積 分 I 與 路 徑 L無 關(guān) ;(2) 當 ab = cd 時 , 求 I 的 值 .證 )(11 2 xyfyyyyP 因 為 1)( 22 xyfyyxxxQ)(1)( 2 xyfxyyxyf 所 以 在 上 半 平 面 內(nèi) 曲 線 積 分 I 與 路 徑 L無 關(guān) .(1)例 其 起 點 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 54.badc 解(2) 由 于 曲 線 積 分 I 與 路 徑 L無 關(guān) , yxyfyyxxxyfyyI L d1)(d)(11 222 L是 上 半 平 面 (y 0)內(nèi) 的

44、有 向 分 段 光 滑 曲 線 ,起 點 (a, b), 終 點 (c, d). ),( dc所 以 xbxfbbI ca d)(11 2 ycyfyycdb d1)( 22 xbxbfbac ca d)( bcdcycyfcdb d)( ttfttfbadc cdbcbcab d)(d)( (2) 當 ab = cd 時 ,求 I 的 值 .0t t法 一 xyO ),( ba ),( bc 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 55 解(2) yxyfyyxxxyfyyI L d1)(d)(11 222 L是 上 半 平 面 (y 0)內(nèi) 的 有 向 分 段 光 滑 曲 線 ,起 點

45、(a, b), 終 點 (c, d).(2) 當 ab = cd 時 ,求 I 的 值 .法 二 I ,d)(d)( yxyxfxxyyfL 2dd y yxyxL badc 2dd y yxyxL 設(shè) F(x)為 f (x)的 一 個 原 函 數(shù) , 則 yxyxfxxyyfL d)(d)( )()( abFcdF.badcI 由 此 得 L yxd ),( ),( dc bayx ,0)d()( xyxyfL )dd()( yxxyxyfL 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 56 例 求 解 有 的 微 分 方 程 可 以 由 多 元 函 數(shù) 全 微 分 的 逆 運xyy (是 可

46、 分 離 、解 將 方 程 寫 成因 為 左 端 是 全 微 分 式所 以 方 程 變 成得 通 解 .Cxy 三 、 全 微 分 方 程 又 是 齊 次 方 程 )(d xy算 解 出 . xyyx dd 0dd xyyx 0)(d xy 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 57 1. 定 義 0d),(d),( yyxQxyxP則 若 有 全 微 分 形 式如 0dd yyxx )(21),( 22 yxyxu 全 微 分 方 程或 恰 當 方 程yyxx ddd 是 全 微 分 方 程 . .xQyP 所 以 0dd yyxx ),( yxu yyxQxyxPyxu d),(d),

47、(),(d 全 微 分 方 程 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 58 2.解 法 0d),(d),( yyxQxyxP(1) 應 用 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) ; xQyP 通 解 為 yyxQxyxPyxu yx yx d),(d),(),( ),( ),( 00 ,d),(d),( 00 0 xyxPyyxQ xxyy Cyxu ),(2) 用 直 接 湊 全 微 分 的 方 法 ; 全 微 分 方 程(3) 用 不 定 積 分 的 方 法 . yyxx yyxQxyxP 00 d),(d),( 0 ),( 0yxC ),( yxBD(x0, y) O xy ),( 0

48、0 yxA因 為 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 59 .1dd 32 的 通 解求 方 程 x yxxxy 解例 將 方 程 整 理 得,1 xQyP 0d)1(d)( 32 yxxyxx 全 微 分 方 程因 為 (1) 用 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān)),( yxu .43 43 xyyxx yx yxxxx 00 32 d)1(d)( yxxyxxyx d)1(d)(),( )0,0( 32 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 60 (2) 湊 微 分 法yd yd 0)43d( 43 xxxyy )dd( xyyx xx d2 xx d3 0)(d d d 0原

49、 方 程 的 通 解 為 .43 43 Cxxxyy xy 33x 44x 0d)1(d)( 32 yxxyxx 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 61 (3) 不 定 積 分 法 yxxxu 32 xyxx 43 43yu yu又,1)( xyCx 1)( yC ,)( yyC 原 方 程 的 通 解 為 .43 43 Cxxxyy 0d)1(d)( 32 yxxyxx ),(yCx x1 )(yC xyxxyxu d)(),( 32因 為所 以所 以所 以 xu yu 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 62 .0d3d2 4 223 的 通 解求 方 程 yy xyxyx解

50、 46yxyP 全 微 分 方 程將 左 端 重 新 組 合yy d12 .1 32 Cyxy 原 方 程 的 通 解 為 )1(d 32yxy 例 )d3d2( 423 yyxxyx xQ d dy1 32yx 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 63 格 林 公 式 LD yQxPyxyPxQ dddd)(四 、 小 結(jié)單 (復 )連 通 區(qū) 域 的 概 念 格 林 公 式 的 應 用格 林 公 式 的 實 質(zhì)的 聯(lián) 系 .溝 通 了 沿 閉 曲 線 的 積 分 與 二 重 積 分 之 間注 意 使 用 條 件 與 路 徑 無 關(guān) 的 等 價 命 題 10.3 格 林 公 式 及 其

51、 應 用 64x yO思 考 題 .)( dd)0,1( )1,0( 2 yx xyyxI計 算 曲 線 積 分 .)0,1()1,0( 的 直 線 段至為 自 積 分 路 徑其 中 BAL 是 非 題解 因 為 xQyx xyyP 422 )(故 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) . )1,0( A )0,1(B AO yx xyyxI 2)( dd OB yx xyyx 2)( dd 01 2)0( d0 yy 10 2)0( d0 x x 0 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 65 非 因 為 在 定 理 10.6中 ,要 求 所 考 慮 區(qū) 域 G是且 函 數(shù) P(x, y), Q(x, y)及 其 偏 導 數(shù) 在 G上對 本 題 來 說 ,當 且 僅 當 ,時xy 導 數(shù) 連 續(xù) ,上 述 解 法 中 點 (0,0)在 直 線 ,上xy 從 而.)( dd)0,1( )1,0( 2 yx xyyxI計 算 曲 線 積 分 為其 中 L.)0,1()1,0( 的 直 線 段至自 積 分 路 徑 BA xQyx xyyP 422 )(單 連 通 的 ,連 續(xù) , P、 Q及 其 偏不 滿 足 定 理 10.6的 條 件 . 10.3 格 林 公 式 及 其 應 用 66 作 業(yè)習 題 冊完 全 掌 握 課 后 題