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1、學(xué)力土態(tài)狀界臨 土力學(xué)主要研究土體的在荷載和周圍環(huán)境作用下，土體的變形、強(qiáng)度（穩(wěn)定性）和滲流。 為 何 要 學(xué) 臨 界 土 力 學(xué) ：n加 深 對 土 的 工 程 性 質(zhì) 的 認(rèn) 識 和 理 解n它 是 現(xiàn) 代 土 力 學(xué) 本 構(gòu) 模 型 的 基 礎(chǔ)n它 是 數(shù) 值 分 析 方 法 的 基 礎(chǔ)臨 界 狀 態(tài) 土 力 學(xué) 是 現(xiàn) 代 土 力 學(xué) 的 基 石 土 力 學(xué) 模 型 的 討 論 n任何一種理論模型都僅僅描述了現(xiàn)實(shí)世界的一部分或某一側(cè)面。它不可能描述這一復(fù)雜世界的全部現(xiàn)象。n理論模型通常都是在一些假定下建立的，即忽略次要的東西，抓住本質(zhì)。n每一種理論模型都有優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，及其適用范圍。n理

2、論模型有很多，有簡單的，也有復(fù)雜的。n應(yīng)用時應(yīng)根據(jù)工程問題的需要來選取模型。在工程允許的情況下，盡可能的采用簡單模型。 土力學(xué)模型的發(fā)展（簡單到復(fù)雜）n 兒童期模型(經(jīng)典土力學(xué)）1）應(yīng)力計(jì)算用線彈性理論（荷載小時可用）2) 變形計(jì)算本質(zhì)上是一維的3）穩(wěn)定計(jì)算不考慮變形，采用剛塑性模型（當(dāng)允許較大變形時，初始階段應(yīng)力應(yīng)變曲線的形狀可不計(jì)及） n學(xué)生期模型它比兒童期模型更能反映實(shí)際情況，但理論也更復(fù)雜些。研發(fā)學(xué)生期模型有兩個原因：1）它可以把經(jīng)典土力學(xué)中不相關(guān)的性質(zhì)，例如強(qiáng)度，壓縮，剪脹和臨界狀態(tài)等結(jié)合在一起。使土力學(xué)各部分更加有機(jī)的連在一起，便于理解，并采用塑性力學(xué)理論進(jìn)行變形計(jì)算。2）能反映土

3、的非線性以及土的2維和3維變形（但計(jì)算復(fù)雜，通常用有限元計(jì)算） 土力學(xué)仍然處于發(fā)展的初級階段 其主要原因在于還沒有建立起一套堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，各種概念和方法之間缺少有機(jī)的聯(lián)系和統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)（例如變形、強(qiáng)度與滲流缺少有機(jī)的聯(lián)系）；經(jīng)驗(yàn)主義和經(jīng)驗(yàn)公式還隨處可見，并居于重要的地位，這就是土力學(xué)不成熟的標(biāo)志。 臨界狀態(tài)土力學(xué)是現(xiàn)代土力學(xué)發(fā)展的里程碑。它建立了變形與強(qiáng)度之間的關(guān)系，進(jìn)一步完善了土力學(xué)的理論基礎(chǔ)。但這種發(fā)展與變化仍然沒有從根本上改變上述狀況，土力學(xué)統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)仍有待于發(fā)展和研究。 臨 界 狀 態(tài) 土 力 學(xué) 是 Roscoe為 代 表 的 劍 橋 學(xué) 派 創(chuàng) 立 的(1958,1963,

4、1968)n Roscoe,K.H.,Schofield,A.N. and Wroch,C.P.(1958),on the yielding of soils,Geotechnigue,8(1),22-53n Roscoe,K.H. and Schofield,A.N. and Thurairajah, A.H. （1963）, Yielding of soils in states wetter than critical, Geotechnique, 13, 211-240n Roscoe,K.H. and Barland,T.B.(1968), On the generalised st

5、ress-strain behaviour of wet clay, Eds by J.Heyman and F.A.Lechie, Engineering Plasticity(Cambridge University Press),pp.535-609 參考文獻(xiàn)1. Schofield A. and Wroth P.(1968), Critical State Soil Mechanics, London: McGRAW-HILL.2. Wood D.M.(1990), Soil Behavior and Critical State Soil Mechanics, New York :

6、Cambridge Press.3.趙成剛（2008），土的基本性質(zhì)和臨界狀態(tài)理論簡介，自編教材 n 在土力學(xué)中，很多概念和想法都來自于三軸實(shí)驗(yàn)或針對三維軸對稱情況而建立的。因此在建立土的本構(gòu)模型或分析方法時，通常都以三維軸對稱情況為基礎(chǔ)而進(jìn)行，然后再推廣到一般情況。 三維軸對稱情況中2=3，則應(yīng)力不變量通常表示為： 1 2 3 /3 /3iip 1 3 1 3q 1 1 u 為了使本構(gòu)關(guān)系符合熱力學(xué)基本規(guī)則，必須建立完全對偶（功共軛）的應(yīng)力和應(yīng)變的描述。與應(yīng)力在功上相對偶的應(yīng)變（2/3系數(shù)）為： 1 32v 1 323q 1v e v qW p q 劍橋模型的基本假定：n 土是連續(xù)的和各向同

7、性的飽和土。n 土的變形是連續(xù)的。n 不考慮時間的率效應(yīng)（即流變效應(yīng)）。n 土被認(rèn)為是一種彈塑性體。 臨界狀態(tài)的定義n 在外荷載作用下土在其變形發(fā)展過程中，無論其初始狀態(tài)與應(yīng)力路徑如何，都在某一特定點(diǎn)結(jié)束，如果這一點(diǎn)存在的話，則該點(diǎn)處于臨界狀態(tài)。n 臨界狀態(tài)的定義：土體在剪切試驗(yàn)的大變形階段，它趨向于最后的臨界條件，即體積和應(yīng)力（總應(yīng)力和孔隙壓力）不變，而剪應(yīng)變還不斷持續(xù)的發(fā)展和流動的狀態(tài)。 換句話說，臨界狀態(tài)的出現(xiàn)就意味著土已經(jīng)發(fā)生流動破壞，并且隱含著下式成立：0s s sp q v v:lnp空 間 中 的 臨 界 狀 態(tài) 線 Schofield（2005年）對臨界狀態(tài)做如下表述： The

8、 kernel of our ideas is the concept that soil and other granular materials, if continuously distorted until they flow as a frictional fluid, will come into a well defined state determined by two equations（我們想法的要點(diǎn)是這樣一種概念，如果土和其它顆粒材料受到連續(xù)的剪切作用直到象具有摩擦阻力的流體似地流動時，土和顆粒材料進(jìn)入到由以下2個方程確定的狀態(tài)）：n q=Mp n =v+lnp 正常固結(jié)

9、土n 正常固結(jié)土是一種歷史上沒有出現(xiàn)過卸載的土。為研究方便正常固結(jié)土在固結(jié)壓力等于0時，定義其抗剪強(qiáng)度也為0。對于同一土來說，因?yàn)闆]有出現(xiàn)過卸載，所以這樣定義的正常固結(jié)土實(shí)際上是處于一種最疏松的狀態(tài)（與出現(xiàn)過卸載的土相比）。n 如果沿著正常固結(jié)線而固結(jié)的過程出現(xiàn)卸載，見圖7-4從B點(diǎn)開始沿BD線段卸載。BD線稱為膨脹線（膨脹曲線）或回彈線（回彈曲線）。 7-11 Isotropic compression of sand Chapter Ten The Critical State Line And The Roscoe Surface 10-1 Introduction 本章目的是找出一種沒

10、有矛盾,用可以整體理解的統(tǒng)一方式描述所觀測到的土的剪切表現(xiàn).本章首先討論正常固結(jié)土的試驗(yàn)與結(jié)果. Roscoe 抓住影響土體變形的主要因素即： e+1=v; q, p10-2 Families of undrained tests Figure 10-1 Relationship between deviator stress q and axial strain a i n u n d r a i n e d t r i a x i a l t e s t s o n s a m p l e s n o r m a l l y c o n s o l i d a t e d t o pe=a

11、,2a,3a Figure 10-2 Relationship between normalized deviator stress q/ pe and axial strain a for the tests in Fig.10-1 為等效固結(jié)應(yīng)力，等效固結(jié)應(yīng)力是正常固結(jié)線上相應(yīng)于某一孔隙比e的平均有效應(yīng)力，見下式： exp( )/ ep N v ep Figure 10-3 Stress paths in (a) q:p and (b) :p space for undrained tests on normally consolidation samples 10-3 Families

12、of drained tests Figure 10-4 Relationship between (a) deviator stress q and axial strain a and (b) volumetric strain v in drained triaxial tests on samples isotropically normally consolidated to po=a,2a,3a Figure 10-5 Relationship between normalized deviator stress q/po and axial strain a for tests

13、shown in Fig.10-4 Figure 10-6 Stress paths in (a) q:p space for drained triaxial tests on normally consolidated samples 104 The critical state line Figure 10-6 Stress paths in (a) q:p space for drained triaxial tests on normally consolidated samples Figure 10-8 The critical state line in : in p spac

14、e(data from Parry,1960) n 三個公式n qf =MP n臨界狀態(tài)線 Vf = lnPf n正常固結(jié)線 V = N lnP n回彈線 V =V lnP Mq P Table 10-1 Values of soil constants for various clays(after Schofield and Wroth,1968,p.157) 10-5 Drained and Undrained planes Figure 10-9 The critical state line in q:p: space Figure 10-10 The path followed b

15、y an undrained test in q:p: space Figure 10-11 The path followed by a drained test in q:p: space n正常固結(jié)土，只要知道初始條件（P0 、 0）以及實(shí)驗(yàn)參數(shù)（M、）就可求得臨界狀態(tài)時的Pf 、qf 、f n不排水： 0 f由 f = lnPf 可以得到下式 P f =exp( 0 )/ qf =M Pf =M exp( 0 )/ n見例題101 Figure 10-12 The path followed by a drained test in q:p space n 三軸排水實(shí)驗(yàn)初始條件： P

16、P0 ；q0 =0 ； u=0 P = P u = P =1/3(a + 2r ) q = a r三軸實(shí)驗(yàn)中，圍壓為常值r0 P = 1/3a q = a q/ P = 3所以臨界狀態(tài)線在（P 、q ）平面投影的斜率等于3 n 三軸排水實(shí)驗(yàn)n 由圖1012的幾何關(guān)系可得 qf =3(Pf P0 ） qf =MPf 由上面二個式子消去Pf 可以得到 qf =3M P0 /(3M） Pf = qf /M= 3 P0 /(3M) f = lnP f = ln3 P0 /(3M) n見例題102 Figure 10-13 Four undrained planes in q:p: space Figu

17、re 10-14 Two drained planes in q:p: space 10-6 The Roscoe Surface Figure 10-15 Families of drained and undrained tests in q:p: space 結(jié)論：不論排水試驗(yàn)路徑還是不排水試驗(yàn)路徑都在Roscoe面上 驗(yàn)證的方式為：當(dāng)兩種路徑中其有效應(yīng)力點(diǎn)(P:q)相同時，它們是否具有相同的體積v。v相同意味著兩種試驗(yàn)路徑當(dāng)應(yīng)力相同時，都對應(yīng)同一點(diǎn)v，而這些點(diǎn)可以組成一個面，該面稱為Roscoe面 。 Figure 10-16 Drained and undrained paths i

18、n q:p space 為了檢驗(yàn)排水應(yīng)力路徑和不排水應(yīng)力路徑在（p:q:v)空間中是否處于同一曲面，則應(yīng)看在（p:q)平面上同體積形成的曲線是否相同或相似。并且2種路徑的曲線應(yīng)相互協(xié)調(diào)一致，即同體積的曲線應(yīng)從大到小協(xié)調(diào)排列，不允許曲線相互交錯。(反證法） 10-7 The shape of Roscoe surface Figure 10-23 The path in q/pe:p/pe space for a drained test Figure 10-24 Test paths in q/pe:p/pe space for a drained test,an undrained test

19、, and a test at constant p on samples of normally consolidated kaolin clay(after Balasubramaniam,1969) Figure 10-20 Path in q/pe:p/pe space for undrained tests 10-8 The Roscoe surface as a state boundary surface n正常固結(jié)線上的土是一種最疏松狀態(tài)的土 n在正常固結(jié)線右側(cè)的土是處于比正常固結(jié)線上的土還疏松的狀態(tài)；所以正常固結(jié)線右側(cè)是一種不可能的狀態(tài)。 n當(dāng)土的初始狀態(tài)點(diǎn)處于正常固結(jié)線（左

20、側(cè)）以下時，這種狀態(tài)的土必然發(fā)生過卸載，處于超固結(jié)狀態(tài)；與正常固結(jié)土相比，超固結(jié)土通常也會更加密實(shí)。n正常固結(jié)線作為邊界線也可以這樣理解：當(dāng)平均有效應(yīng)力固定時，正常固結(jié)線上的體積（或比容）是最大的體積，即最疏松狀態(tài)；當(dāng)體積（或比容）固定時，正常固結(jié)線上的平均有效應(yīng)力是最大的平均有效應(yīng)力，否則大于這種最小的平均有效應(yīng)力的力就會產(chǎn)生進(jìn)一步壓縮，所以也就不會處于最疏松的狀態(tài)了。 本章小結(jié)n在三維（q；p；v）空間中存在一臨界狀態(tài)線（曲線）。它是正常固結(jié)土樣在三軸壓縮時所有應(yīng)力路徑到達(dá)破壞時的終點(diǎn)。n從正常固結(jié)線到臨界狀態(tài)線(在q；p；v三維空間中）的所有排水或不排水試驗(yàn)的路徑都在Roscoe面上。任

21、何試驗(yàn)的試驗(yàn)平面（排水與不排水平面）與Roscoe面的交線確定了它們所有的路徑。 Roscoe面的幾何形狀為：當(dāng)v為常數(shù)時，Roscoe面會形成一曲線。當(dāng)v為不同數(shù)值時，所形成的曲線形狀都相似，但大小不同。但當(dāng)采用p/pe：q/qe為坐標(biāo)時，則所形成的曲線是唯一的。 Roscoe面是可能與不可能路徑的狀態(tài)邊界面。 Chapter Eleven The behaviour of overconsolidation samples: the hvorslev surface 11-1 Introduction 正常固結(jié)土樣從正常固結(jié)線到達(dá)臨界狀態(tài)線時將發(fā)生破壞，同樣的概念能否用于超固結(jié)土樣，本章將

22、討論這一問題。 11-2 Drained tests Figure 11-1 Compression and swelling lines Figure 10-25 Consolidation and swelling of lightly overconsolidated samples Figure 10-26 Paths in q/pe:p/pe space for undrained tests on lightly overconsolidated samples of kaolin clay(after Loudon,1967) Figure 11-2 Test data from

23、 a drained test on an overconsolidated sample of Weald clay(after Bishop and Henkel,1962,p.128) Figure 10-1 Relationship between deviator stress q and axial strain a i n u n d r a i n e d t r i a x i a l t e s t s o n s a m p l e s n o r m a l l y c o n s o l i d a t e d t o pe=a,2a,3a 觀察圖11-12某一強(qiáng)超固

24、結(jié)土樣排水實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，從圖中可以得到以下幾點(diǎn)結(jié)論：n 土的體應(yīng)變過程是先有很短一段的剪縮，然后就一直剪脹下去。這說明強(qiáng)超固結(jié)土樣較為密實(shí)，所以才會出現(xiàn)剪脹現(xiàn)象（與正常固結(jié)土一直處于剪縮狀態(tài)不同）。n 圖中給出的最后狀態(tài)并沒有到達(dá)臨界狀態(tài)。原因是曲線的最后階段沒有呈水平線段，也就是說，如果實(shí)驗(yàn)繼續(xù)進(jìn)行，曲線將繼續(xù)上升或下降變化，但不能保持體積和應(yīng)力不變，所以還沒有到達(dá)臨界狀態(tài)。 n 峰值強(qiáng)度qf高于最后結(jié)束時的強(qiáng)度，也必然高于臨界狀態(tài)時的強(qiáng)度。再觀察圖7-7超固結(jié)土樣排水實(shí)驗(yàn)，用（p ,q）平面表示的結(jié)果。排水應(yīng)力路徑必然沿著3/1的斜率上升，到達(dá)峰值點(diǎn)qf后，開始下降并向臨界狀態(tài)線發(fā)展，在臨界

25、狀態(tài)線附近結(jié)束。 n 圖中實(shí)驗(yàn)曲線最后的應(yīng)變值已經(jīng)超過20%，經(jīng)常做三軸實(shí)驗(yàn)的人都知道，當(dāng)試樣的應(yīng)變超過20%時，試樣已經(jīng)出現(xiàn)鼓肚，因此試樣的應(yīng)力分布已經(jīng)不均勻了，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系已經(jīng)失真。 Figure 11-3 Test path followed in the drained test of Fig.11-2 11-3 The Hvorslev surface Figure 11-4 Failure states of drained and undrained tests on overconsolidated samples of Weald clay(data from Parry

26、,1960) Figure 11-5 The complete state boundary surface in q/pe:p/pe space n 通常假定土不能承受有效拉應(yīng)力，因此三軸實(shí)驗(yàn)時圍壓最小為零，這時三軸儀中土樣的應(yīng)力狀態(tài)為q=3 ，p =1/33，所以q/p =3。這意味著土受到 土不能承受有效拉應(yīng)力的限制，其應(yīng)力狀態(tài)只能在過原點(diǎn)并且其斜率為3的直線以下的區(qū)域內(nèi)。因此圖11-5的左端，過原點(diǎn)的虛線就表示這一限制，該虛線也是一狀態(tài)邊界面，稱之為無拉力切面。 Figure 11-6 The Hvorslev surface Figure 10-21 Method of obtain

27、ing the equivalent pressure pe 等效固結(jié)壓力（應(yīng)力）是正常固結(jié)線上相應(yīng)于某一孔隙比的平均有效應(yīng)力，見下式： e x p ( ) / e N vP qH = (Mh) exp( 0 )/ +hP 自編講義公式（7-13）至式（7-16）給出上式的具體推導(dǎo)過程。 臨界狀態(tài)土力學(xué)作如下假定：1）Roscoe面是針對正常固結(jié)土或略有超固結(jié)土的狀態(tài)邊界面；2）Hvorslev面是針對超固結(jié)土的狀態(tài)邊界面；3）臨界狀態(tài)線是Roscoe面與Hvorslev面的交線。 F i g u r e 1 1 - 1 6 N o r m a l i z e d s t r e s s p

28、a t h s f o r u n d r a i n e d t e s t s o n overconsolidated samples of kaolin clay(after Loudon，1967) 11-4 The critical state line Figure 11-8 Stress-strain curve for a drained test on oversolidated clay 超固結(jié)土樣在超過極限狀態(tài)后的最后階段很少有達(dá)到臨界狀態(tài)的。即使達(dá)到臨界狀態(tài)，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果也是不可靠的。因?yàn)橥翗与y以保證其均勻性。超固結(jié)土樣超過極限狀態(tài)后在（q：p：v）空間朝著什么方向移動

29、是工程界關(guān)心的問題。Parry（1958）給出如下近似方法： n 結(jié)論：土樣在排水和不排水試驗(yàn)中，破壞后都以某種速率朝臨界狀態(tài)線方向移動。這一結(jié)論對超固結(jié)和正常固結(jié)土樣都適用。n 由上述可做如下假設(shè)：不論在排水和不排水試驗(yàn)中，土樣在持續(xù)的剪切作用下，達(dá)到極限強(qiáng)度以后，將繼續(xù)向臨界狀態(tài)線方向移動，最后到達(dá)臨界狀態(tài)線。 11-5 The complete state boundary surface Figure 11-13 The complete state boundary surface in q/pe:p/pe space Figure 11-14 The complete state

30、boundar y sur face in q:p: space F i g u r e 1 1 - 1 6 N o r m a l i z e d s t r e s s p a t h s f o r u n d r a i n e d t e s t s o n overconsolidated samples of kaolin clay(after Loudon，1967) Figure 11-15 Expected undrained test paths for samples at different overconsolidation Figure 11-17 A drain

31、ed plane in q:p:space Figure 11-21 The line OA of Fig. 11-19 in :pspace Figure 11-23 Failure states of drained tests on samples at different overconsolidation ratios Chapter twelveThe behaviour of sands12-1 Introduction砂土的變形發(fā)展過程是受初始條件（P ，v和密實(shí)程度）控制。 Figure 12-1 The results of drained triaxial tests o

32、n (a) a dense sample and (b) a loose sample of Brasted stand (after Bishop and Henkel,1962,p. 123) Figure 12-2 Data undrained triaxial tests on (a) medium dense and (b) loose samples of Brasted sand (after Bishop and Henkel,1962,p. 110) Figure 12-7 Data from drained triaxial tests on Chattahoochee R

33、iver sand (after Vesic and Clough,1968) 大初始壓力的影響 12-2 The critical state line for sand Figure 12-4 The position of the critical state line in t/s and :ln s space for Leighton Buzzard sand tested in the sample shear apparatus (data from Stroud,1971, and Cole,1967) Figure 12-5 Test paths in q/p and :p

34、 space for undrained tests on dense and loose specimens of sand Figure 12-6 Test paths in q/p and :p space for a drained tests on a dense sample of sand 12-3 Normalized plots n 對于砂土來說，存在的困難是在P：v平面中正常固結(jié)線的的斜率和N難以確定，因?yàn)楸仨氃诤艽蟮膲毫ο虏拍茉囼?yàn)取得。所以用Pe實(shí)行歸一化不適用于砂土。eP ( )lnv v P n 象粘土一樣，砂土的應(yīng)力路徑也會到達(dá)狀態(tài)邊界面，然后一邊膨脹（或收縮），一

35、邊沿此面移動，最后到達(dá)臨界狀態(tài)面。n 當(dāng)v時，砂樣的體積（e）大于臨界狀態(tài)的體積(松)。q/P 的最大值在臨界狀態(tài)時到達(dá)。n 當(dāng)vv 0 （密砂）并移向臨界狀態(tài)時，其平均有效應(yīng)力必然增大，且產(chǎn)生負(fù)孔壓。 p隨 -v 0而指數(shù)增加，最后達(dá)到pu 。 -v 0越大， pu也越大。n 當(dāng) v 0 （松砂），其 -v 0很小，達(dá)到臨界狀態(tài)時pu也很小。 Figure 12-23 Test paths for undrained tests on loose and dense specimens of sand in q:p and :p space n 上圖指出，對較密砂土來說無法保證試驗(yàn)所走路徑一

36、定就是Hvorslev面。實(shí)際上不排水路徑是稍低于Hvorslev面的，但卻高于臨界狀態(tài)線。 Chapter ThirteenBehaviour of soils before failure13-1 Introduction 臨界狀態(tài)線、狀態(tài)邊界面、排水與不排水實(shí)驗(yàn)應(yīng)力路徑、臨界狀態(tài)時體積應(yīng)變、平均應(yīng)力和偏應(yīng)變的計(jì)算。 沒有涉及剪應(yīng)變以及應(yīng)力和變形的關(guān)系 13-2 Elastic and plastic deformations: the elastic wall Figure 13-1 Elastic-plastic behavior of metal F i g u r e 1 3 -

37、2 E l a s t i c - p l a s t i c b e h a v i o r of c l a y i n i s o t r o p i c a n d swelling Figure 13-3 The test path from points D to E in q:p: space 假定：n 一般情況：土樣只有沿狀態(tài)邊界面移動時才會產(chǎn)生塑性變形。n 在狀態(tài)邊界面以下的路徑移動時，只能產(chǎn)生彈性變形或可恢復(fù)變形。n 按照上述假定，在彈性墻內(nèi)的應(yīng)力路徑必是超固結(jié)土，它的變形（不論是排水路徑或是不排水路徑）認(rèn)為是彈性的。n 其路徑一旦到達(dá)上面的狀態(tài)邊界面，并在其上向臨界狀態(tài)線

38、移動時，必然產(chǎn)生塑性。 Figure 13-4 The elastic wall n在彈性墻內(nèi)的應(yīng)力路徑，通常假定為彈性變形。n一般情況下彈性應(yīng)變很小，而塑性應(yīng)變較大。 13-3 Calculation of elastic strains 1 0v p qK n不排水時 10 3s p qG 0p F i g u r e 1 3 - 5 I n t e r s e c t i o n o f a n e l a s t i c w a l l a n d a n undrained plane n 超固結(jié)試樣不排水試驗(yàn)的有效應(yīng)力路徑是垂直上升的，最后到達(dá)狀態(tài)邊界面。如果再繼續(xù)加載就會產(chǎn)生塑性

39、變形，并移向臨界狀態(tài)線。n 上述假定的局限性-實(shí)際上在到達(dá)上邊界破壞面以前，就已經(jīng)存在塑性變形了 Figure 13-6 Intersection of an elastic wall and a drained plane n 超固結(jié)試樣排水試驗(yàn)的有效應(yīng)力路徑DG不是直線（因彈性墻是彎曲的），且隨著P的增大而體積減小。最后到達(dá)狀態(tài)邊界面。如果再繼續(xù)加載就會產(chǎn)生塑性變形，并移向臨界狀態(tài)線F點(diǎn)。 在彈性墻內(nèi)可用下式計(jì)算體變：n 對上式求導(dǎo)后得: lnv v p ( / )v p p / ( / ) v v v vp p 變應(yīng)體 /v p K /K vp 13s qG 3(1 2 ) 3(1 2

40、)/ 2(1 ) 2(1 )EG K E 3(1 2 )2(1 ) vpG 2(1 )3 9(1 2 )s q qG vp 書中269和270頁 從式（13-12）可以看出，E依賴于v和P。 式（13-6）和（13-10）適用于超固結(jié)土在狀態(tài)邊界面以下彈性墻內(nèi)的任何路徑的彈性體變增量和偏應(yīng)變增量的計(jì)算。 從式（13-10）可以看出，因彈性模量不是常量，在排水實(shí)驗(yàn)時，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是非線性的。 不排水試驗(yàn)，dP=0； P=常量；v=常量，所以式（13-10）中應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為線彈性的。 13-4 Calculation of elastic strains for undrained loadi

41、ng in terms of total stresses 總應(yīng)力計(jì)算方法僅適用于土是飽和的、不排水（體積不變）的特殊情況。其他情況則總應(yīng)力方法不適用。 13-5 Essential plasticity theory塑性理論有三個基本要素(金屬材料）： 1. 屈服函數(shù) 2. 硬化規(guī)律 3. 流動法則 Figure 13-7 Stress-strain behavior of an elastic-plastic soil like material. (a) State of stress in a sample. (b) Stress-strain cur ves for c =const

42、ant tests. (c) Stress-strain curves for a=constant tests. (d) Stress-strain curves for c=0 tests Figure 13-8 Yielding and hardening. (a) Yield curves and failure envelope. (b) Yield surface n 水的流動是由水的勢面及其梯度決定的。n 塑性變形或塑性流動與水的流動一樣，它也可以看成是由某種勢的不平衡所引起，這種勢稱為塑性勢。n 1928年Mises假定塑性流動與它的塑性勢函數(shù)相關(guān)，并且這一函數(shù)是應(yīng)力的函數(shù)。

43、認(rèn)為土的塑性流動是與它的塑性勢面和該勢面的梯度相關(guān)。 塑性勢函數(shù)是應(yīng)力的函數(shù)，它可表示為：( , ) 0ij ag H ( , ) ij apij ijg Hd d n 上式表明：一點(diǎn)的塑性應(yīng)變增量與通過該點(diǎn)的塑性勢面存在著正交關(guān)系。此式即確定了塑性應(yīng)變的增量方向，也確定了它的各分量之間的比值與大小。 Figure 13-9 Flow rules. (a) Plastic potential. (b) Normality condition # n塑性應(yīng)變增量與通過該點(diǎn)的塑性勢面正交。 n 相關(guān)聯(lián)流動的定義：塑性勢函數(shù)與屈服函數(shù)相同。n 該定義意味著：塑性應(yīng)變增量與屈服函數(shù)正交。注意：屈服曲線

44、、硬化曲線和破壞曲線并不要求相同。 13-6 Plasticity for soils n土的彈塑性模型中的一些基本概念n n1 共軸：主應(yīng)力與塑性主應(yīng)變增量共軸n2 屈服面：發(fā)生塑性變形的判據(jù)n3 剪脹方程：表示塑性體積應(yīng)變與剪應(yīng)變的分配比例以及它們與應(yīng)力之間的關(guān)系n4塑性勢面：從幾何關(guān)系上表示塑性應(yīng)變的分配關(guān)系n5 正交流動準(zhǔn)則：塑性應(yīng)變增量的方向與塑性勢面垂直n6 相關(guān)聯(lián)：屈服面與塑性勢面相同 Figure 13-10 An elastic wall and the corresponding yield curve Figure 13-11 A family of yield curv

45、es Figure 13-12 Behavior during isotropic compression and unloading # n Roscoe假定土也服從相關(guān)聯(lián)流動法則，因此土的塑性變形正交于土的屈服面。n 注意：土的流動并不完全服從相關(guān)聯(lián)的流動法則，但可近似認(rèn)為服從該法則。n 流動法則(見式1333）實(shí)際上表示了應(yīng)變增量與應(yīng)力之間的關(guān)系方程（剪脹方程、流動方程）。 Figure 13-13 Strain increments during yield 13-7 Cambridge Clay Model假定一：服從相關(guān)聯(lián)流動。假定二：塑性應(yīng)變滿足式（1333）的剪脹方程。 n劍橋

46、模型特點(diǎn)：n 1 是最典型和最簡單的臨界狀態(tài)模型 （模型參數(shù)M, ）n 2 控制兩端、合理建立中間部分的模型n 兩端: 臨界狀態(tài)和等向壓縮狀態(tài)n 數(shù)值擬和: 通過屈服面，以塑性體積應(yīng)變?yōu)榈戎涤不M(jìn)行數(shù)值擬和下面從式（13-33）出發(fā)，推導(dǎo)劍橋模型 從熱力學(xué)的角度定義了與p和q的應(yīng)變?yōu)関和s 。利用塑性勢函數(shù)有：( , )( , )ij apv ij aps g Hd d pg Hd d q g f ( , ) ( , )ij apv ij aps f Hd d pf Hd d q 0f fdf dp dqp q 由上式得： 上頁第一式除第二式后，得：f fd p d qp qf f pq p

47、q / / ( )pvpsd f f f f dp dqd p q p p dq dp 把前頁最后一式代入254頁taylor模型的式（12-16）后得n令：q /p =dq qMdp p ( )dq d dp pdp dp dpqM Mp d p Mdp 有 ： 解出前頁最后方程后得：n由前面討論可知：邊界面（屈服面）將與臨界狀態(tài)線上的一點(diǎn)（px ,qx ,vx)相交（見下圖）。所以有l(wèi)nlnM p Cq p CM p ln ln lnx xx x xxq p CMp qq p pMp Mp Figure 13-14 A yield curve as predicted from Cam-c

48、lay 因x點(diǎn)既是屈服面上的點(diǎn)，也是臨界狀態(tài)線上的點(diǎn)，所以有： 前頁最后一式變?yōu)椋?從后面圖13-15可見：x點(diǎn)在（p，v）平面的投影是在回彈曲線上，所以有：/x xq p M (13 34)ln( ) 1xq pMp p , :ln lnln ; x xx x x xxv v p v pv p q M p 在 臨 界 狀 態(tài) 線 上 則 有 下 式 Figure 13-15 A family of Cam-clay yield curves # 由前面倒數(shù)第2式可得：n解出上式得n把上式代入式（13-34）得ln ln lnx x xv v p p p lnln x v pp ln ln 1

49、 ln ( )ln lnln 1xq p pMp v p p v pq pMp (13 37)( ln )M pq p v n 下面給出式（13-37）屈服面的圖示 Figure 13-15 A family of Cam-clay yield curves # 排水情況的塑性變形的計(jì)算 式（13-37）可改寫為： 2( )ln: ( ) ( )= qv p M pp q q pv p M p M p 微 分 上 式 得 (13 44) :ln:= ( ) ( ) e e p pppv v v ppv p qv v v M p qMp pv qM p qv vMp p 彈 性 體 積 變 形

50、的 計(jì) 算 公 式 為微 分 上 式 得 由剪脹方程式（13-33）得：1 /p ps vM q p n 由式（13-6）和式（13-10）計(jì)算彈性體變和偏應(yīng)變。n 由式（13-44）和式（13-45）計(jì)算塑性體變和偏應(yīng)變。 Figure 13-16 Yield and hardening of Cam-clay # Figure 13-17 Yielding and hardening in an increment of undrained loading # nCam-Clay Model的局限性n Cam-Clay Model是反應(yīng)壓硬性和剪脹性最簡單和物理意義最明確的彈塑性模型。其土

51、性參數(shù)只有三個（M,)。n 但其研究條件：常規(guī)三軸條件下的正常固結(jié)粘土。它本質(zhì)上是二維的。（1）壓硬性方面，在平面上，不能反應(yīng)三軸壓縮狀態(tài)以外的強(qiáng)度、屈服特性； （2）剪脹性方面，只能反應(yīng)剪切體縮，不能反應(yīng)剪切體積膨脹；適用于正常固結(jié)，不能用于超固結(jié)。（3）軟、硬化方面，只能反應(yīng)硬化，不能反應(yīng)軟化。 （4）不能考慮各向異性和主軸旋轉(zhuǎn)。（5）不能考慮時間的變化和溫度變化。（6）不能考慮土的結(jié)構(gòu)的影響。 三維軸對稱情況中2=3，則應(yīng)力不變量通常表示為： 1 2 3 /3 /3iip 1 3 1 3q 1 1 u 10-7 The shape of Roscoe surface Figure 11-

52、8 Stress-strain curve for a drained test on oversolidated clay Figure 11-17 A drained plane in q:p:space Chapter twelveThe behaviour of sands12-1 Introduction砂土的變形發(fā)展過程是受初始條件（P ，v和密實(shí)程度）控制。 Figure 12-2 Data undrained triaxial tests on (a) medium dense and (b) loose samples of Brasted sand (after Bishop and Henkel,1962,p. 110) 解出前頁最后方程后得：n由前面討論可知：邊界面（屈服面）將與臨界狀態(tài)線上的一點(diǎn)（px ,qx ,vx)相交（見下圖）。所以有l(wèi)nlnM p Cq p CM p ln ln lnx xx x xxq p CMp qq p pMp Mp