《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理學(xué)案【含解析】新人教A版必修4》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理學(xué)案【含解析】新人教A版必修4（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、23.1平面向量基本定理平面向量基本定理提出問題問題1：在物理中，我們學(xué)習(xí)了力的分解，即一個(gè)力可以分解為兩個(gè)不同方向的力，試想：平面內(nèi)的任一向量是否可以分解為其他兩個(gè)向量的和？提示：可以問題2：如果e1，e2是兩個(gè)不共線的確定向量，那么與e1，e2在同一平面內(nèi)的任一向量a能否用e1，e2表示？根據(jù)是什么？提示：可以根據(jù)是數(shù)乘向量和平行四邊形法則問題3：如果e1，e2是共線向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？提示：不一定當(dāng)a與e1共線時(shí)可以表示，否則不能表示導(dǎo)入新知平面向量基本定理?xiàng)l件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量結(jié)論這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12

2、e2基底不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底化解疑難理解平面向量基本定理應(yīng)關(guān)注的三點(diǎn)(1)只要是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量都可作為一組基底，所以基底的選取不唯一(2)零向量與任一向量都共線，因此零向量不能作為基底(3)1，2是唯一的.兩向量的夾角提出問題問題1：平面中的任意兩個(gè)向量都可以平移至公共起點(diǎn)，它們存在夾角嗎？提示：存在問題2：若上題中的結(jié)論為存在夾角，向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？提示：不一樣導(dǎo)入新知向量的夾角條件兩個(gè)非零向量a和b產(chǎn)生過程作向量a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角范圍0，特殊情況0a與b同向90a與b垂直，記作ab180a與b反向化解疑難正確理

3、解向量的夾角(1)向量夾角的幾何表示：依據(jù)向量夾角的定義，兩非零向量的夾角是將兩個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，這樣它們所成的角才是兩向量的夾角如圖，已知兩向量a，b，作a，b，則AOB為a與b的夾角(2)注意事項(xiàng)：向量的夾角是針對(duì)非零向量定義的向量的夾角和直線的夾角范圍是不同的，它們分別是0，和.用基底表示向量例1如圖，梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，M，N分別是DC，AB的中點(diǎn)，若a，b，試用a，b表示，.解如圖所示，連接CN，則四邊形ANCD是平行四邊形則a；ba；ab.類題通法用基底表示向量的方法將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求

4、向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解活學(xué)活用如圖所示，已知在ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC邊的中點(diǎn)若a，b，試用a，b為基底表示向量，.答案：ab；ba向量夾角的簡(jiǎn)單求解例2已知|a|b|2，且a與b的夾角為60，則ab與a的夾角是多少？ab與a的夾角又是多少？解如圖所示，作a，b，且AOB60.以，為鄰邊作平行四邊形OACB，則ab，ab.因?yàn)閨a|b|2，所以平行四邊形OACB是菱形又因?yàn)锳OB60，所以與的夾角為30，與的夾角為60.即ab與a的夾角是30，ab與a的夾角是60.類題通法求兩個(gè)向量夾角的方法求兩個(gè)向量

5、的夾角，關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合，根據(jù)向量夾角的概念確定夾角，再依據(jù)平面圖形的知識(shí)求解向量的夾角過程簡(jiǎn)記為“一作二證三算”活學(xué)活用如圖，已知ABC是等邊三角形(1)求向量與向量的夾角；(2)若E為BC的中點(diǎn)，求向量與的夾角答案：(1)120(2)90平面向量基本定理的唯一性及其應(yīng)用例3(1)設(shè)向量e1與e2不共線，若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，則實(shí)數(shù)x，y的值分別為()A0,0B1,1C3,0 D3,4(2)在ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)若，其中，R，求的值解(1)D(2)設(shè)a，b，則ab，ba，ab，所以baab.又因?yàn)閍，b不共線，所以解得，

6、所以.類題通法1平面向量基本定理唯一性的應(yīng)用設(shè)a，b是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，若x1ay1bx2ay2b，則2重要結(jié)論設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，當(dāng)1e12e20時(shí)恒有120若a1e12e2當(dāng)20時(shí)，a與e1共線當(dāng)10時(shí)，a與e2共線120時(shí)，a0活學(xué)活用若向量a，b不共線，且c2ab，d3a2b，試判斷c，d能否作為基底答案：c，d能作為基底5平面向量基本定理的應(yīng)用典例(12分)如圖，在ABC中，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求APPM的值解題流程規(guī)范解答設(shè)e1，e2，則3e2e1，2e1e2.(2分)A，P，M和B，P，N分別共線，存在實(shí)數(shù)，

7、使得e13e2，(4分)2e1e2.(6分)故(2)e1(3)e2.而2e13e2，(8分)由平面向量基本定理，得解得(10分)，APPM41.(12分)名師批注選取恰當(dāng)?shù)幕资墙鉀Q此類問題的前提若不能根據(jù)題意選出基底或設(shè)出基向量，則后續(xù)推導(dǎo)無法進(jìn)行利用A，P，M和B，P，N分別共線建立，是解決本題的關(guān)鍵，也是解決此類問題的常用方法由平面向量基本定理的唯一性建立關(guān)于，的方程組，求出，的值，即可求出與的關(guān)系，進(jìn)而求出APPM的值 活學(xué)活用如圖，ABC中，D為BC的中點(diǎn)，G為AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)G任作一直線MN分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，若x，y，試問：是否為定值？答案：4，為定值隨堂即時(shí)演練1設(shè)O

8、是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，下列向量組：與；與；與；與，其中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面的基底的是()ABC D答案：B2已知ABCD中，DAB30，則與的夾角為()A30 B60C120 D150答案：D3如圖，C，D是AOB中邊AB的三等分點(diǎn)，設(shè)e1，e2，以e1，e2為基底來表示_，_.答案：e1e2e1e24已知e1，e2不共線，且ake1e2，be2e1，若a，b不能作為基底，則k等于_答案：15梯形ABCD中，ABCD，M，N分別是DA，BC的中點(diǎn)，且k，設(shè)e1，e2，以e1，e2為基底表示向量.答案：e1(k1)e2課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1如果e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線

9、的向量，那么下列說法中不正確的是()e1 e2(，R)可以表示平面內(nèi)的所有向量；對(duì)于平面內(nèi)任一向量a，使ae1 e2的實(shí)數(shù)對(duì)(，)有無窮多個(gè)；若向量1e11e2與2e12e2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得1e11e2(2e12e2)；若實(shí)數(shù)，使得e1e20，則0.ABC D答案：B2已知e1，e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么下面四組向量中，不能作為一組基底的是()Ae1，e1e2Be12e2，e22e1Ce12e2,4e22e1De1e2，e1e2答案：C3如圖，在矩形ABCD中，若5e1，3e2，則()A.(5e13e2)B.(5e13e2)C.(3e25e1)D.(5e23e1)答

10、案：A4AD與BE分別為ABC的邊BC，AC上的中線，且a，b，則()A.ab B.abC.ab Dab答案：B5A，B，O是平面內(nèi)不共線的三個(gè)定點(diǎn)，且a，b，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為R，則PR等于()AabB2(ba)C2(ab)Dba答案：B二、填空題6已知非零向量a，b，c滿足abc0，向量a，b的夾角為120，且|b|2|a|，則向量a與c的夾角為_答案：907如圖，在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AHBC于點(diǎn)H，M為AH的中點(diǎn)若，則_.答案：8設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且ae12e2，be1e2，則向量e1e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組

11、合，即e1e2_.答案：ab三、解答題9設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)證明：a，b可以作為一組基底；(2)以a，b為基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若 4e13e2ab，求，的值解：(1)證明：若a，b共線，則存在R，使ab，則e12e2(e13e2)由e1，e2不共線，得不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底(2)設(shè)cmanb(m，nR)，則3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.c2ab.(3)由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.故所求，的值分別為3和1.10如圖，已知梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，E、F分別是DC、AB的中點(diǎn)，設(shè)a，b，試用a，b表示，.解：DCAB，AB2DC，E、F分別是DC、AB的中點(diǎn)，a，b.babba.11.如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中與的夾角為120，與的夾角為30，且|1，|2，若 (，R)，求的值解：如圖，以O(shè)A，OB所在射線為鄰邊，OC為對(duì)角線作平行四邊形ODCE，則.在RtOCD中，|2，COD30，OCD90，|4，|2，故4，2，即4，2，6.- 10 -