《【學(xué)生講義】巧解外接球問(wèn)題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【學(xué)生講義】巧解外接球問(wèn)題（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、快速解決巧解外接球問(wèn)題 如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的 內(nèi)接多面體，這個(gè)球 稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球 的問(wèn)題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn) . 考查學(xué)生的空間想象能力 以及化歸能力.研究多面體的夕卜接球問(wèn)題，既要運(yùn)用多面體的 知識(shí)，又要運(yùn)用 球的知識(shí)，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體 外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要 的作用 一、直接法（公式法） 1、求正方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題 24, 【例1】（上海中學(xué)）若棱長(zhǎng)為 3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為 【例

2、2】（交大附中）一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為 則該球的體積為 . 2、求長(zhǎng)方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題 【例3】（復(fù)興高級(jí)中學(xué)）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為 1.2.3, 則此球的表面積為 4,體積為16,則這個(gè)球的表面 By 積為（ d. 32 a. 16 B. 20 C. 24 【例4】（七寶中學(xué)）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為 3. 求多面體的外接球的有關(guān)問(wèn)題 【例5】（上海實(shí)驗(yàn)中學(xué)）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知

3、該六棱柱的頂 點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為 二、構(gòu)造法（補(bǔ)形法） 8,底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為 1、構(gòu)造正方體 【例6】 （2015年上海高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為 則其外接球的表面積是 【例7】 （上海中學(xué)）若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為 則其外接球的表面積是 【小結(jié)】 一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為 .3 a、b、C,則就可以將這 個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑 .設(shè)其外接球的半徑 為R,則有2R 舊2 b2 c2 出現(xiàn)墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)

4、系長(zhǎng)方體。 【原理】長(zhǎng)方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為 ,則體對(duì)角線長(zhǎng)為 幾何體的外接球直徑為 體對(duì)角線長(zhǎng)」即 【例8】：在四面體匚一--- 中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長(zhǎng)度分別為 ,若該四面體 的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積 【例9】（建平中學(xué)）一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為 2,四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面

5、上，則此球的表面 D. 6 【例10】 （華二附中）在等腰梯形 ABCD中，AB=2DC=2 , DAB=60 ,E為AB的中點(diǎn), 將ADE與 BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、 B重合于點(diǎn)P,則三棱錐 P-DCE的外接球的 體積為（ .6 b. m D. 24 4V3 A.百 【例11］（交大附中）已知球 O的面上四點(diǎn)A R G d, DA 平面 ABC AB BC

6、 D DC AB ,『BCD 本文章在給I ］ |圖形的情況下解決球心位置,半徑大小的問(wèn)題. 匚多面體幾何性質(zhì)法 m 13］（大同3學(xué)）大同各項(xiàng)點(diǎn)部作同 個(gè)球面上的正四極柱的高為 圖4 4,體積爐16, 則這個(gè)球的表面積是（ A 16 B 20 本題是運(yùn)用 24 B D 32 這一件質(zhì)來(lái)求解的 DA=AB = BC= "3,則球O的體積等于 2,構(gòu)造K方體 【例12）（2012年上海高考題）E知點(diǎn)A、B.C、D在同一個(gè)球面上, 若 AB 6 A(「2 ,"ADT : 四？^求軸截面圓半徑法 ［例14］（西南位育中學(xué)） 正四

7、棱錐S ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為 S、A、B、C、D都在同一球面上，則此球的體積 【小結(jié)】 根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元 素的外接球的一個(gè)軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑 本題提供的這種思路是探求正 棱錐外接球半徑的通解通法, 該方法的實(shí)質(zhì) 就是通過(guò)尋找外接球的一個(gè)軸截面圓, 從而把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾 圖3 何問(wèn)題來(lái)研究？這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí) 【例15】（上海第二中學(xué)）在矩形 ABCD中，AB 4,

8、BC 3,沿AC將矩形ABCD折成一 個(gè)直二面角B AC D,則四面體 ABCD的外接球的體積為（ 125 A.石 125 B. 9 125 C.V 125 D. 3 【原理】： 直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)。 的球面上，_L&_L BC 【例16] （復(fù)旦附中）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球 ,求球 的體積。 【總結(jié)】斜邊一般為四面體中除了直角頂點(diǎn)以外的兩個(gè)點(diǎn)連線。 四面體是正四面體，外接球與內(nèi)切球的圓心為正四面體高上的一個(gè)點(diǎn) 根據(jù)勾股定理知，假設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為時(shí)，它的外接球半徑為