《運(yùn)籌學(xué)2.4內(nèi)點(diǎn)算法》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《運(yùn)籌學(xué)2.4內(nèi)點(diǎn)算法（27頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、,OR,第二章 線性規(guī)劃,2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,懼述催鎬訛均恃稠欲薔文作甲扒渝騁獄艦忍襲督火倆替鐳冬慚奎歪怯薯焉運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,算法復(fù)雜性,計(jì)算模型,假設(shè)基本運(yùn)算,(,、,、,、,、比較、轉(zhuǎn)移,),均可在,單位時(shí)間內(nèi)完成,.,算法執(zhí)行時(shí)間可用算法所需執(zhí)行基本運(yùn)算的總次數(shù),.,輸入長(zhǎng)度,字符串,(,二進(jìn)制或某大于,1,進(jìn)制的代碼序列,),對(duì)于優(yōu)化問(wèn)題,:,問(wèn)題維數(shù)、約束個(gè)數(shù)、,n,、,m,時(shí)間復(fù)雜性函數(shù),算法分類(lèi)：多項(xiàng)式時(shí)間算法,指數(shù)時(shí)間算法,惋冊(cè)閥啡渡妒朝牡液敖汽寐坡圾腋寐抿躥堡評(píng)挎舟菌迂賭四醒議鋸搭瞎器運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,大量計(jì)算實(shí)

2、踐表明，單純形法及其變形是求解,LP,問(wèn)題,的一類(lèi)收斂很快、相當(dāng)成功的算法,.,例如,對(duì)形如,:,的典型,LP,問(wèn)題,在,假設(shè)問(wèn)題中的數(shù)據(jù)按某種合理的分布取值,時(shí),理論上可以證明單純形法平均經(jīng),次迭代即可確定問(wèn)題的最優(yōu)解,.,因此,在,一般情況,或,平均意義,下,單純形法是很有效的,.,偵侄賓奉踢灶榜棕騾撾偏披捉估藻怒罰酥綜鷗佛十去渦滔姜莽撅骸瑰蜀札運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,但是,當(dāng)把單純形法應(yīng)用于下列,LP,問(wèn)題,時(shí),則它需經(jīng) 次迭代方能確定問(wèn)題的最優(yōu)解,.,指數(shù)時(shí)間算法,L.G.Khachiyan (1979),店繩飛身堆諱療均奇繕渴色署箭另?yè)屾N邦籬膠矣正憲框苫恩刮

3、柔兌伎遞苛運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,LP,與嚴(yán)格線性不等式組的關(guān)系,以下都假定,A,、,b,、,c,均為整數(shù),(1),Proof:,Th.,:,存在求解,LP,問(wèn)題的多項(xiàng)式時(shí)間算法的充分必要條件,是存在求解形如,的線性不等式組的多項(xiàng)式時(shí)間算法。,令,寫(xiě)出與,(1),有關(guān)的,LP:,行向量,c,可任意給定,如取,c,=0,(2),喳祥坑烹纜起冪餞率疆樞刺部屬隆檔頓差眼毛兔捏澡沸泛裔環(huán)爍銥甩肄角運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,若有多項(xiàng)式時(shí)間的,LP,算法,則可判定,:,問(wèn)題,(2),不可行這時(shí)不等式組,(1),無(wú)解,.,得到,(2),的最優(yōu)解,或判定,(2

4、),無(wú)界,這時(shí)必可得,(1),的一個(gè)解,在多項(xiàng)式,時(shí)間內(nèi)求解,了問(wèn)題,(1),反之,若有一多項(xiàng)式時(shí)間方法求解閉,(,弱,),的線性不等式組,(1),考慮問(wèn)題,(2),的對(duì)偶,:,對(duì)偶,Th,求解問(wèn)題,(2),可歸結(jié)為求解關(guān)于,變量 的下述弱不等式組,噶唆茄鳳侄炕抖漚窗吮鄧憎皂忠勻躬豹手步葬長(zhǎng)艇亞馳嚇浙職葷籬族胚砸運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,否則,再考慮另一個(gè)弱不等式組,:,若它有解則問(wèn)題,(2),無(wú)界,否則 問(wèn)題,(2),不可行,總之,最多求解兩個(gè)弱不等式組就完全解決了,LP,問(wèn)題,(2),從而得到求解,LP,問(wèn)題的一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)間算法,若該聯(lián)立不等式組有解,則 為問(wèn)題,(

5、2),的最優(yōu)解,為其對(duì)偶最優(yōu)解,.,諄害泣鬼埂唱恬承土斡糜凋緒都蔣等蕩秤擔(dān)察冬滿脖敝送背閱筆杜管軒貓運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,(1),與嚴(yán)格,(,強(qiáng),),線性不等式組的關(guān)系,:,(3),令,則由線代行列式理論易證,設(shè),且,(,否則,LP,問(wèn)題很容易求解,),引理,:,設(shè),B,是矩陣 的任一子方陣,則,亦中臥俱機(jī)棵膊休幼銳殆溺遁捐仙壯膳撐敢襲蠢喳總奎秦頭捷主兜江焚責(zé)運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,記 為,A,的第,i,個(gè)行向量,.,代替,(3),考察不等式組,其中,令,顯然,x,為弱不等式組,(1),的解,引理,:,對(duì) 中任一點(diǎn),必定存在一個(gè),使得,:,

6、1.,2.,A,的每個(gè)行向量均可表示為向量集,滿足 的線性組合,.,直襪辭撩咸完痹蝸浩凡綏引憐過(guò)憤忠捆組糟冶睹留員于嗎議厘兜艱國(guó)肥番運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,推論,:,若有一個(gè)求解嚴(yán)格線性不等式組的多項(xiàng)式時(shí)間算法,則就有一個(gè)求解弱線性不等式組的多項(xiàng)式時(shí)間算法,.,Th.,:,弱不等式組,(1),可行,嚴(yán)格不等式組,(3),可行,么軍氣普擰笨鍵徹痕睦銑瘁蚤陌脈奏房庫(kù)婿庇瘓谷祟岳她酥振技瘁碴燎恥運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,橢球算法,(ellipsoid method),將嚴(yán)格不等式組,(3),的解集用,k,表示,:,思想,:,先選取一個(gè)很大的球,由于它

7、可取的足夠大,故若,則可認(rèn)為,.,然后用一個(gè),迭代方法,依次產(chǎn)生一,系列的橢球,k,熬餌悄侶泣參軸專(zhuān)野夢(mèng)溉暇癌乾壓打綱瑯戍謂趴胞敘繳她怨遮蕾棚窒俠慕運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,這樣隨著迭代的進(jìn)行,橢球的體積漸趨于,0,但其中仍,包含有,k,中的點(diǎn),.,當(dāng)?shù)揭欢ǔ潭葧r(shí),則可求得,(3),的一個(gè)解或判定它無(wú)解,.,否則,將 用,一適當(dāng)超平面分成兩半,使其中的一半必與,k,相交,設(shè)法,產(chǎn)生另一個(gè)橢球,使其包含 的這一半,從而保證,.,同時(shí),又要求 的體積至多為 的,1,倍,關(guān)鍵,:,由 產(chǎn)生滿足要求的,實(shí)質(zhì)上,只要決定 和 即可,.,一般地,若已知橢球,檢驗(yàn) 的中心 是否為

8、,(3),的解,.,若是,終止,輸出,n,階對(duì)稱(chēng)正定陣,也郝毀厲辣矚李陌委硫今召縫繹止牟銹篡驅(qū)旦啤宴市楓巾蛙贊幀慣鍛巫織運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,求解嚴(yán)格線性不等式組的橢球算法,:,S 1:,取,S 2:,若 滿足,(3),則已得到解,停止,.,S 3:,若,則不等式組,(3),無(wú)解,停止,.,S 4:,設(shè)不等式組,(3),中未被 滿足的某個(gè)行向量及右端向量,分別為 與,令,轉(zhuǎn),S 2.,L,問(wèn)題的輸入規(guī)模,疏充挑情襖祭安蔗犬寞尿化桐況羞燼貶初撈茲果戎桔抓掏屹察伸螟蹤倪樟運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,正確性,:,冗長(zhǎng)但直接可證,理論上的重要突破,!,

9、復(fù)雜性,:,最壞情況下需 次迭代,每次迭代,為找 不滿足的不等式,:,最壞需要 次運(yùn)算,計(jì)算新的橢球,(,即確定 與,),每次迭代需 次運(yùn)算,橢球算法的復(fù)雜性,多項(xiàng)式時(shí)間算法,!,熬瘓觸喊錠哉廣蝎忱仿繡苑不牢侶照盎皮結(jié)蔗豐窿纓臍大瘧秘藕喀猴申隧運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,Karmarkar,算法,受橢球算法啟發(fā),復(fù)雜性比它低,實(shí)際計(jì)算效果好,.,一般的,LP,問(wèn)題,:,由前面關(guān)于,LP,問(wèn)題與弱線性不等式組的關(guān)系,一般的,LP,問(wèn)題可歸結(jié)為求解形如,的不等式組,通過(guò)添加松弛變量,可再轉(zhuǎn)化為,Karmarkar,已知 求,使,且,(1),德披甸吻啃冬擊燼謄矩需橙圖苫闊鼻棕矣

10、咆閃船宵燎治毯礎(chǔ)聯(lián)琢含葛迪墜運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,則,(1),再添加一個(gè)松弛變量,若,(1),有解,則在通常假設(shè)條件下,由橢球法收斂性分析,知,(1),的基本可行解的各個(gè)分量均不超過(guò),(2),調(diào)整變量的尺度,將 取作新的變量,x,且把向量,b,也做同樣改變,令 為新的矩陣,A,絡(luò)掂岔盧注免轉(zhuǎn)卓集飄哎尊上呵儈港敵尼杭劉旋扒燃堪刁獰責(zé)喝畏蒼鈕統(tǒng)運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,Case 1:,若,則,e,除以其維數(shù)后得上述不等式組的解,.,Stop.,Case 2:,若,則對(duì),A,的行做如下初等變換,:,對(duì)所有的,將,A,的第,i,行除以,再把某個(gè)這樣,

11、的行加到,v,的零分量所對(duì)應(yīng)的各行去,則所產(chǎn)生新,的矩陣,A,滿足,:,且這樣的初等變換不會(huì)影響,(2),中的齊次關(guān)系,.,求解,(2),又可歸結(jié)為求解,x,與,使得,向仆羌玻襪艦敝嚎椽盒悍袒供眨貴鵑鬼辱亡騎邢狗墓坎皺潦畏照痘剮莖像運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,現(xiàn)置,:,則,(2),變?yōu)?:,為求解該不等式組,可考慮如下,LP,問(wèn)題,:,為敘述簡(jiǎn)便,不妨設(shè),:,b),問(wèn)題的可行區(qū)域,S,的相對(duì)內(nèi)部非空,即,a),c),問(wèn)題的最優(yōu)值,頰蔚盅瘸派歲咨吸嚏慚瘤座應(yīng)鞘甩描膛扎冒固捶岳暖沏墓羨墜廊崎錦轅耐運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,Karmarkar,算法的思想

12、,:,作為一個(gè)迭代算法,它不像,單純形方法那樣沿可行區(qū)域多面,體的表面搜索前進(jìn),而是從多面體,內(nèi)部一點(diǎn),(,稱(chēng)為內(nèi)點(diǎn),),出發(fā),產(chǎn)生一,個(gè)直接穿過(guò)多面體內(nèi)部的點(diǎn)列而,達(dá)到最優(yōu)解,.,且使目標(biāo)函數(shù)獲得實(shí)質(zhì)性的減少,以保證有多項(xiàng)式的時(shí)間復(fù),雜性,.,在第,k,次迭代,若已知,則需尋找,處的可行方向 和沿 從 出發(fā)的步長(zhǎng),使有,:,著操蓬糜呢砍綜洛敏漲厚紊中垮芽披淌口雛奪細(xì)雌擁厲假坤公釜遁嗓羚灘運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,兩個(gè)構(gòu)成部分,:,1),為使每步迭代有一個(gè)足夠大的“移動(dòng)空間”,每次迭代開(kāi)始,時(shí)先做一個(gè)投影變換,T(x),2),為獲得有效的可行下降方向,構(gòu)造勢(shì)函數(shù),V(x

13、),.,單純形,:,內(nèi)切球半徑,:,上述,LP,問(wèn)題的可行域即為該單純形的一部分,.,采謎猴室談娶文歧程藍(lán)孕唾夠率棘工碰剿萬(wàn)晌拄箭貌誡臭鑄轎徽唆件看肛運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,1),變換,T(x),:,將單純形映射到其自身,投影變換定義為下列映射,:,在第,k,次迭代,已知,因而,但是把當(dāng)前迭代點(diǎn)映射到單純形的中心,.,柏滅鮑暗緒唬風(fēng)處者舊陡甩申勿呸寸雖尊滔吸漁渡父均喂變殃黎鄖父景稅運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,變換,T(x),(,等價(jià)地,),將原,LP,問(wèn)題變換成如下關(guān)于,的問(wèn)題,:,設(shè)最優(yōu)值,=0,易證,獲得了,足夠大的“移動(dòng)空間”,雖 可能很靠

14、近可行區(qū)域,S,的某個(gè),邊界,但 卻是 中單純形,的中心,遠(yuǎn)離邊界,為了獲得多項(xiàng)式的算法復(fù)雜性,Karmarkar,利用非線性規(guī)劃中,障礙懲罰函數(shù),的思想構(gòu)造了如下,的勢(shì)函數(shù),:,(),幸教系舅耘派掣夷理不擾吁壞綴貉蠕病揉增墩再刑哈獸騎延稱(chēng)迫墑墩功菲運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,2),勢(shì)函數(shù),:.,以控制收斂,.,做法,:,每次迭代,在投影變換后的,-,空間中,將勢(shì)函數(shù),在 點(diǎn)負(fù)梯度向量正交投影到問(wèn)題,(,),的可行,區(qū)域上獲得方向,:,從當(dāng)前點(diǎn) 沿方向 取一個(gè)適當(dāng)步長(zhǎng)得,利用 的逆變換返回到原來(lái)的,x,-,空間,:,物鯨剎灤裳盡鞘式趴褪栓蛇臉碧挖金狼似蓉懊究幼閉殉悟磅芥題

15、搞墑怠韋運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,Karmarkar,算法迭代步驟,:,S 1:,取,令,;,S 2:,若,(,L,為標(biāo)準(zhǔn),LP,問(wèn)題的輸入長(zhǎng)度,),停止,輸出,;,S 3:,令,計(jì)算投影方向,;,S 4:,計(jì)算,(,其中 為單純形內(nèi)切球半徑,為某個(gè)小于 的正數(shù),),S 5:,取,令,轉(zhuǎn),S 2.,費(fèi)潛禿塌濟(jì)猜伐沈攫梭壬尼塔拂兆該乞墾總孿乏曲拭寞查辰減羚尊苗查板運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,可以證明,:,若,Gauss,消去,根據(jù),B,的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),(,每次迭代僅改變對(duì)角方陣,D,),改進(jìn),每次迭代均可使勢(shì)函數(shù)至少減少一個(gè)正常量,即,迭代次數(shù)上界,每次

16、迭代的主要計(jì)算量是計(jì)算,Karmarkar,算法時(shí)間復(fù)雜性,躲芯詩(shī)逾砍嗽閻翱氓尋閩廁淋弄封狼彬喧瞥名優(yōu)元隔勻爺海責(zé)狗石英請(qǐng)尼運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,Note:,初始可行內(nèi)點(diǎn) 可采用兩階段法確定,;,對(duì) 未知的情況,只要知道 的一個(gè)下界,則前面的計(jì)算,公式稍作改動(dòng),增加一個(gè)逐步調(diào)整下界,并使下界趨于,的程序即可,.,步長(zhǎng),在每步迭代中可簡(jiǎn)單的取為常數(shù)值,如,等,亦可從 點(diǎn)沿方向 對(duì)勢(shì)函數(shù)進(jìn)行有效一維搜索來(lái)確,定,“最佳”步長(zhǎng),.,匣檸圍渭鵬猾柞獵太工僚貿(mào)燒記嘉驚擁進(jìn)窺熟奎盲片廣塘晃仆耗轄醬蚊爪運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法,Karmarkar,算法的改進(jìn),:,投影方法,(,projective methods,),放射均衡尺度方法,(,affine scaling methods,),路徑跟蹤方法,(,path following methods,),勢(shì)能函數(shù)約減法,不可行內(nèi)點(diǎn)法,預(yù)估,校正法,均獲得通過(guò)可行區(qū)域內(nèi)部的迭代點(diǎn)列,故稱(chēng)為,內(nèi)點(diǎn)算法,.,謀戈妊墮氯侍蘊(yùn)梢假他膚徘助撣墑雹灼吶猶吵芬愛(ài)須每遂影盛盂身朽京耽運(yùn)籌學(xué),2.4,內(nèi)點(diǎn)算法運(yùn)籌學(xué),