《華中科技大學線性代數(shù)第二節(jié)行列式的性質(zhì)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《華中科技大學線性代數(shù)第二節(jié)行列式的性質(zhì)（29頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié) 行列式的性質(zhì),行列式 稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式.,記,一、行列式的性質(zhì),性質(zhì)1,行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.,證明：,（數(shù)學歸納法）,n,=1,時，顯然成立；,假設對,n,-1,階行列式也成立，下證對,n,階行列式也成立,（按,j,列展開）,（按,i,列展開）,因此,即結(jié)論成立,是,D,T,中原素,的代數(shù)余子式，,是相應,的余子式，且為行列式,D,劃去第,i,行、第,j,列后剩下的元,素組成的,n,-1,階行列式,M,ij,的轉(zhuǎn)置，即,由歸納假設,M,ij,= M,ij,T,，故,注：,行列式中的,行,與,列,的地位是平等的。（,對,行,成立的性質(zhì)，同樣對,列,成立,）,推論,行列式也

2、可按行展開，即：,性質(zhì)2,行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù),k,，等于用數(shù),k,乘此行列式.,提示：,直接對等式兩端的行列式按第,i,行展開,推論,行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面,推論,若行列式的某一行（列）中所有元素全為,零,，則行列值式為,提示：,令,性質(zhì),2,中的,k,=0,即得結(jié)論,若,n,階,行列式的每一個元素都乘以同一數(shù),k,，等于用 乘以此行列式.,性質(zhì)3,互換行列式的兩,行,（,列,）,行列式變號.,證明,：,（,數(shù)學歸納法證明）（見課本,Page 9,）,n,=2,時，顯然成立；假設對,n,-1,階行列式也成立，下證對,n,（,2,

3、）階行列式,也成立,設原,n,階行列式為,D,D,1,為交換,D,的第,i,行與第,j,行之后的,行列式，由于,n,2,，故除了交換的第,i,行與第,j,行，還有,一個第,k,行，分別對,D,1,和,D,按第,k,行展開：,根據(jù)假設，,故有,推論,行列式中如果有兩行（列）元素對應成比例，則此行列式為零,推論,如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.,證明：,互換相同的兩行，有,行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即,推論,把行列式 按第 行展開有,證明,把行列式中的 換成 可得,相同,同理,命題得證,關于代數(shù)余子式的重要性質(zhì),（列）,（行）,性質(zhì)

4、4,若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.,則行列式等于下列兩個行列式之和：,例,性質(zhì)5,把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變,例如,計算行列式常用方法：,利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值,二、計算舉例,計算行列式的原則：,盡量將行列式化為上（下）三角形式,n,階行列式的一般計算方法（,n,!,項代數(shù)和）,計算量非常大,n,階行列式的性質(zhì),性質(zhì)1,行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.即 .,性質(zhì)2,互換行列式的兩行（列）,行列式變號.,推論,如果行列式有兩行（列）的對應元素完全相同，則此行列式為零.,性質(zhì)3,行列式的某一行（列

5、）中所有的元素都乘以同一數(shù) ，等于用數(shù) 乘此行列式.,推論2,行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零,性質(zhì)4,若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和,則這個行列式等于兩個行列式之和.,性質(zhì)5,把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變,例1,解,例2,解,每行所有元素和均相同,例3,解,爪形結(jié)構(gòu),例4,解,爪形結(jié)構(gòu),例5,例6,計算范德蒙德(,Vander monde,)行列式,將前一行乘以 加到下一行上,解,（從下往上）,按第一列展開，并把每一列的共因子 提出，有,n,-,1階范德蒙德行列式,解,每一行提取各行的公因子,，于是得到,例7,計算,上面等式右端行列式為,n,階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知,例8,遞歸法 求行列式,因此,計算行列式技巧：,1、分析，探求行列式的結(jié)構(gòu),2、化零，盡可能把行列式化為爪型,4、邊為0，把行列式化為三角形行列式,3、對角化 ，邊化,5、求出行列式,6、整理思路,三、小結(jié),多做題目、總結(jié)規(guī)律、靈活應用,