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1、,*,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Click to edit Master title style,集合的基本概念和運(yùn)算,主要內(nèi)容,集合的基本概念,集,合、相等、,(,真,),包含、子集、空集、全集、冪集,集合運(yùn)算,交、并、,(,相對(duì)和絕對(duì),),補(bǔ)、對(duì)稱差,文氏圖,有窮集計(jì)數(shù)問題,集合恒等式,集合的基本概念,集合(Set)是不能精確定義的基本概念。,所謂集合，是指我們無意中或思想中將一些確定的、彼此完全不同的客體的總和而考慮為一個(gè)整體。這些客體叫做該集合的元素。(康托),直觀地說，

2、把一些事物匯集到一起組成一個(gè)整體就叫,集合,，而這些事物就是這個(gè)集合的,元素,或,成員,。,例如：,方程x,2,10的實(shí)數(shù)解集合：,26個(gè)英文字母的集合；,坐標(biāo)平面上所有點(diǎn)的集合；, ,集合通常用大寫的英文字母來標(biāo)記。,常見的數(shù)的集合,N自然數(shù)集合,Z整數(shù)集合,Q有理數(shù)集合,R實(shí)數(shù)集合,C復(fù)數(shù)集合,集合的表示方法,表示一個(gè)集合的方法主要有兩種：,列元素法,和,謂詞表示法,。,列元素法,是列出集合的所有元素，元素之間用逗號(hào)隔開，并把它們用花括號(hào)括起來。,Aa，b，c，z,Z0，1，2，,C桌子,燈泡,老虎,自然數(shù),謂詞表示法,是用謂詞來概括集合中元素的屬性。,Bx|xRx,2,10,許多集合可以

3、用兩種方法來表示，如B也可以寫成-1，1。但是有些集合不可以用列元素法表示，如實(shí)數(shù)集合。,集合的元素,集合的元素是彼此不同的，如果同一個(gè)元素在集合中多次出現(xiàn)應(yīng)該認(rèn)為是一個(gè)元素。,例如：1，1，2，2，31，2，3,集合的元素是無序的。,例如：1，2，33，1，2,元素和集合之間的關(guān)系,元素和集合之間的關(guān)系是隸屬關(guān)系，即,屬于,或,不屬于,，屬于記作,，不屬于記作,。,例如：Aa，b，c，d，d,a,A，b，c,A，d,A，d,A，,b,A，d,A。,b和d是A的元素的元素。,可以用一種樹形圖表示集合與元素的隸屬關(guān)系。集合作為結(jié)點(diǎn)，它的元素作為其兒子。,說明,隸屬關(guān)系可以看作是處在不同層次上的集

4、合之間的關(guān)系。,規(guī)定：對(duì)任何集合,A,都有,A,A,。,A,a,b,c,d,d,b,c,d,d,子集,定義6.1 設(shè)A，B為集合，如果B中的每個(gè)元素都是A中的元素，則稱B是A的子集合，簡(jiǎn)稱,子集,。這時(shí)也稱B被A,包含,，或A,包含,B，記作 B,A。,包含的符號(hào)化表示為,B,A,x(xBxA),如果,B,不被,A,包含，則記作,B A,。,例如：,N,Z,Q,R,C,，但,Z N,。,顯然對(duì)任何集合,A,都有,A,A,。,隸屬和包含的說明,隸屬關(guān)系和包含關(guān)系都是兩個(gè)集合之間的關(guān)系，對(duì)于某些集合可以同時(shí)成立這兩種關(guān)系。（本書的系統(tǒng)中把集合中的元素也看做（同一層次的）集合）,例如 Aa，a和a,

5、既有aA，又有a,A。,前者把它們看成是不同層次上的兩個(gè)集合，,后者把它們看成是同一層次上的兩個(gè)集合。,集合相等,定義6.2 設(shè)A，B為集合，如果 A,B 且 B,A，則稱A與B,相等,，記作AB。,相等的符號(hào)化表示為：,AB,A,B B,A,如果A與B不相等，則記作AB。,真子集,定義6.3 設(shè)A，B為集合，如果 B,A 且 BA，則稱B是A的,真子集,，記作B,A。,真子集的符號(hào)化表示為,B,A,B,A BA,如果B不是A的真子集，則記作B,A。,例如：N,N,空集,定義6.4 不含任何元素的集合叫做,空集,，記作,。,空集的符號(hào)化表示為：,x|xx。,例如: x|xRx,2,+1=0,是

6、方程x,2,+1=0的實(shí)數(shù)解集，因?yàn)樵摲匠虩o實(shí)數(shù)解，所以是空集。,空集的性質(zhì),推論 空集是唯一的。,證明：假設(shè)存在空集,1,和,2,，由上述定理有,1,2,，,2,1,。,根據(jù)集合相等的定義，有,1,2,。,定理 空集是一切集合的子集。,證明：任給集合A，由子集定義有,A, ,x(x, xA),右邊的蘊(yùn)涵式因前件假而為真命題，,所以,A也為真。,n元集,含有n個(gè)元素的集合簡(jiǎn)稱,n元集,，它的含有m(mn)個(gè)元素的子集叫做它的,m元子集,。,例 A1,2,3，將A的子集分類：,0元子集（空集）,1元子集（單元集）,1，2，3,2元子集,1,2，1,3，2,3,3元子集,1,2,3,冪集,一般地說

7、，對(duì)于n元集A，它的0元子集有 個(gè)，1元子集有 個(gè)，m元子集有 個(gè)，n元子集有 個(gè)。子集總數(shù)為,定義,設(shè)A為集合，把A的全部子集構(gòu)成的集合叫做A的,冪集,，記作P(A)(或PA，2,A,)。,冪集的符號(hào)化表示為,P(A),x | x,A,若,A,是,n,元集，則,P(A),有,2,n,個(gè)元素。,全集,定義,在一個(gè)具體問題中，如果所涉及的集合都是某個(gè)集合的子集，則稱這個(gè)集合為,全集,，記作E。,說明,全集是有相對(duì)性的，不同的問題有不同的全集，即使是同一個(gè)問題也可以取不同的全集。,例如，在研究平面上直線的相互關(guān)系時(shí)，可以把整個(gè)平面,(,平面上所有點(diǎn)的集合,),取作全集，也可以把整個(gè)空間,(,空間上

8、所有點(diǎn)的集合,),取作全集。,一般地說，全集取得小一些，問題的描述和處理會(huì)簡(jiǎn)單些。,集合的運(yùn)算,定義6.7 設(shè)A，B為集合，A與B的,并集,AB，,交集,AB ，B對(duì)A的,相對(duì)補(bǔ)集,AB分別定義如下：,ABx|xAxB ,ABx|xAxB ,ABx|xAx,B ,舉例,設(shè) Aa，b，c，Ba，Cb，d 則有,ABa，b，c，ABa，,ABb，c，,BA,，BC,說明,如果兩個(gè)集合的交集為,，則稱這兩個(gè)集合是不相交的。例如,B,和,C,是不相交的。,n個(gè)集合的并和交,兩個(gè)集合的并和交運(yùn)算可以推廣成n個(gè)集合的并和交：,A,1,A,2,A,n,x|xA,1,xA,2,xA,n,A,1,A,2,A,n

9、,x|xA,1,xA,2,xA,n,上述的并和交可以簡(jiǎn)記為：,A,1,A,2,A,n,A,1,A,2,A,n,兩個(gè)集合的并和交運(yùn)算可以推廣到無窮多個(gè)集合的情況：,A,1,A,2,A,1,A,2,對(duì)稱差集,定義,設(shè)A，B為集合，A與B的,對(duì)稱差集,A,B定義為：A,B(AB)(BA),對(duì)稱差運(yùn)算的另一種定義是A,B(AB)(AB),例如: Aa，b，c，Bb，d，,則 A,Ba，c，d,絕對(duì)補(bǔ)集,定義,AEAx|xEx,A,因?yàn)镋是全集，xE是真命題，所以A可以定義為：,Ax|x,A ,例如: Ea，b，c，d，Aa，b，c,Ad,文氏圖,集合之間的關(guān)系和運(yùn)算可以用,文氏圖,給予形象的描述。,文

10、氏圖的構(gòu)造方法如下：,畫一個(gè)大矩形表示全集E(有時(shí)為簡(jiǎn)單起見可將全集省略)。,在矩形內(nèi)畫一些圓(或任何其它的適當(dāng)?shù)拈]曲線)，用圓的內(nèi)部表示集合。,不同的圓代表不同的集合。如果沒有關(guān)于集合不交的說明，任何兩個(gè)圓彼此相交。,圖中陰影的區(qū)域表示新組成的集合。,可以用實(shí)心點(diǎn)代表集合中的元素。,文氏圖的實(shí)例,有窮集的計(jì)數(shù)問題,使用文氏圖可以很方便地解決,有窮集的計(jì)數(shù)問題,。,首先根據(jù)已知條件把對(duì)應(yīng)的文氏圖畫出來。,一般地說，每一條性質(zhì)決定一個(gè)集合。,有多少條性質(zhì)，就有多少個(gè)集合。,如果沒有特殊說明，任何兩個(gè)集合都畫成相交的,然后將已知集合的元素?cái)?shù)填入表示該集合的區(qū)域內(nèi)。,通常從n個(gè)集合的交集填起，,根據(jù)

11、計(jì)算的結(jié)果將數(shù)字逐步填入所有的空白區(qū)域。,如果交集的數(shù)字是未知的，可以設(shè)為x。,根據(jù)題目中的條件，列出一次方程或方程組，就可以求得所需要的結(jié)果。,例,對(duì)24名會(huì)外語的科技人員進(jìn)行掌握外語情況的調(diào)查。其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：會(huì)英、日、德和法語的人分別為13，5，10和9人，其中同時(shí)會(huì)英語和日語的有2人，會(huì)英、德和法語中任兩種語言的都是4人。已知會(huì)日語的人既不懂法語也不懂德語，分別求只會(huì)一種語言(英、德、法、日)的人數(shù)和會(huì)三種語言的人數(shù)。,解：令A(yù)，B，C，D分別表示會(huì)英、法、德、日語的人的集合。根據(jù)題意畫出文氏圖。設(shè)同時(shí)會(huì)三種語言的有x人，只會(huì)英、法或德語一種語言的分別為y,1,，y,2,和y,3,人。

12、將x和y,1,，y,2,，y,3,填入圖中相應(yīng)的區(qū)域，然后依次填入其它區(qū)域的人數(shù)。,4-x,4-x,4-x,x,y,2,y,1,y,3,2,5-2,英 13,法 9,德 10,日 5,y,1,+2(4-x)+x+213,y,2,+2(4-x)+x9,y,3,+2(4-x)+x10,y,1,+y,2,+y,3,+3(4-x)+x24-5,包含排斥原理,定理,設(shè)S為有窮集，P,1,P,2,P,m,是m個(gè)性質(zhì)。S中的任何元素x或者具有性質(zhì)P,i,，或者不具有性質(zhì)P,i,(i=1,2,m),兩種情況必居其一。令A(yù),i,表示S中具有性質(zhì)P,k,的元素構(gòu)成的子集，則S中不具有性質(zhì)P,1,P,2,P,m,的

13、元素為,推論,S中至少具有一條性質(zhì)的元素?cái)?shù)為,例,求1到1000之間(包含1和1000在內(nèi))既不能被5和6，也不能被8整除的數(shù)有多少個(gè)。,解答 設(shè),Sx|xZ1x1000,A x|xSx可被5整除,B x|xSx可被6整除,C x|xSx可被8整除,|T|表示有窮集T中的元素?cái)?shù),x,表示小于等于x的最大整數(shù),lcm(x,1,x,2,x,n,)表示x,1,x,2,x,n,的最小公倍數(shù),|A|,1000/5,200,|B|,1000/6,166,|C|,1000/8,125,|AB|,1000/,lcm(5,6),33,|AC|,1000/,lcm(5,8),25,|BC|,1000/,lcm(6

14、,8),41,|ABC|,1000/,lcm(5,6,8),8,將這些數(shù)字依次填入文氏圖，得到,根據(jù)包含排斥原理，所求不能被5，6和8整除的數(shù)應(yīng)為,由文氏圖也可得知，不能被,5,，,6,和,8,整除的數(shù)有,1000,(200+100,33,67),600,個(gè)。,集合恒等式,下面的恒等式給出了集合運(yùn)算的主要算律，其中A，B，C代表任意集合。,冪等律 AAA (6.1) AAA (6.2),結(jié)合律 (AB)CA(BC) (6.3) (AB)CA(BC) (6.4),交換律 ABBA (6.5) ABBA (6.6),分配律 A(BC)(AB)(AC) (6.7) A(BC)(AB)(AC) (6.

15、8),同一律 A,A (6.9) AEA (6.10),集合恒等式,零律 AEE (6.11) A,(6.12),排中律 AAE (6.13),矛盾律 AA,(6.14),吸收律 A(AB)A (6.15) A(AB)A (6.16),德摩根律 A(BC)(AB)(AC)(6.17) A(BC)(AB)(AC)(6.18)(BC)BC (6.19)(BC)BC (6.20),E (6.21)E, (6.22),雙重否定律 (A)A (6.23),集合運(yùn)算性質(zhì)的一些重要結(jié)果,AB,A，AB,B(6.24),A,AB，B,AB(6.25),AB,A(6.26),ABAB (6.27),ABB,A,

16、B,ABA,AB,(6.28),A,BB,A (6.29),(A,B),CA,(B,C) (6.30),A,A (6.31),A,A, (6.32),A,BA,C,BC (6.33),對(duì)偶原理,對(duì)偶式,：一個(gè)集合表達(dá)式，如果只含有、,、,E、,、,，那么同時(shí)把與互換，把,與,E互換，把,與互換,，得到式子稱為原式的對(duì)偶式。,對(duì)偶原理,：對(duì)偶式同真假?；蛘哒f，集合恒等式的對(duì)偶式還是恒等式。,集合恒等式的證明方法,邏輯演算法,利用,邏輯等值式,和,推理規(guī)則,集合演算法,利用,集合恒等式,和,已知結(jié)論,邏輯演算法的格式,題目：AB,證明：,x，,xA, , xB,所以 AB,或證,A,B B,A,題

17、目：A,B,證明：,x，,xA, ,xB,所以 A,B,集合演算法的格式,題目：AB,證明： A, , B,所以,AB,題目：A,B,證明：A, ,B,所以,A,B,例,證明A(BC)(AB)( AC),證明 對(duì)任意的x，有,xA(BC),xA x,BC,xA (xBxC),xA (xBxC),xA (x,B x,C),(xAx,B) (xAx,C),xAB xAC,x(AB)(AC),所以 A(BC)(AB)( AC),例,證明AEA,證明 對(duì)任意的x，有,xAE,xA xE,xA (因?yàn)閤E是恒真命題),所以 AEA,例,證明ABAB,證明 對(duì)于任意的x，有,xAB,xA x,B,xA x

18、B, ,xAB,所以 ABAB。,說明,等式,6.27,把相對(duì)補(bǔ)運(yùn)算轉(zhuǎn)換成交運(yùn)算，這在證明有關(guān)相對(duì)補(bǔ)的恒等式中是很有用的。,例,證明 (AB)BAB,證明(AB)B,(AB)B,(AB)(BB),(AB)E, AB,例,證明 ABB,A,B,ABA,AB,說明,上式給出了A,B的另外三種等價(jià)的定義，這不僅為證明兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系提供了新方法，同時(shí)也可以用于集合公式的化簡(jiǎn)。,證明思路,ABB,A,B,ABA,AB, ,ABB,證明 ABB,A,B,對(duì)于任意的x，有, xA,xAxB,xAB,xB(因?yàn)锳BB),所以 A,B。,證明 A,B,ABA,顯然有 AB,A，,下面證 A,AB。,對(duì)于

19、任意的x，有, xA,xAxA,xAxB(因?yàn)锳,B),xAB,所以 A,AB,由集合相等的定義有 ABA。,證明 ABA,AB,AB, AB, (AB)B(因?yàn)锳BA), A(BB), A,證明 AB,ABB。,由例6.10 (AB)BAB 及 AB,有, AB, B(AB), B, B,例,化簡(jiǎn)(ABC)(AB)(A(BC)A),解答 因?yàn)?AB,ABC，A,A(BC)，,從而，,(,AB,C),(AB),(,A(,BC),A,),(AB)A,BA,例,已知 A,BA,C，證明BC。,證明 已知 A,BA,C，所以有,A,(A,B)A,(A,C),(A,A),B(A,A),C (由式6.3

20、0),B,C (由式6.32),B,C,(由式6.29),BC (由式6.31),作業(yè),P.75-76,3.13 (2)(4),3.14 (3),3.18,典型題,判斷元素與集合的隸屬關(guān)系以及集合之間的包含關(guān)系,集合的基本運(yùn)算題,有關(guān)集合運(yùn)算性質(zhì)的分析題,集合相等或者包含的證明題,有窮集合的計(jì)數(shù)問題,典型例題一,判斷下列命題是否為真,(1) x, x,(2) x x,(3) x x,x,(4) x x,x,(5) x xx,(6) x xx,(7) 若xA，AP(B)，則 xP(B),答案,(1) 真,(2) 假,(3) 真,(4) 真,(5) 真,(6) 真,(7) 假,典型例題一的分析,判

21、斷元素a與集合A的隸屬關(guān)系是否成立的基本方法：把a(bǔ)作為一個(gè)整體，檢查它在A中是否出現(xiàn)，注意這里的a可能是集合表達(dá)式。,判斷集合包含A,B一般可以使用以下四種方法：,若A、B是用枚舉方式定義的，依次檢查A的每個(gè)元素是否在B中出現(xiàn)。,若A、B是用謂詞法定義的，且A、B中元素性質(zhì)分別為P和Q，那么“如果P則Q”意味著 AB， “P當(dāng)且僅當(dāng)Q”意味著AB。,通過集合運(yùn)算判斷AB，即ABB，ABA，AB3個(gè)等式中有一個(gè)為真，則AB。,可以通過文氏圖判斷集合的包含（不是證明）,。,判斷以下命題的真假,(1) A(BC)(AB)(AC),(2) (AB)(BA),(3) A(BC)(AB)C,(4),(AB),(BA),(5),(AB)A,(6) (AB)(BA) A,(7) ABA B,答案,(1) 真,(2) 真,(3) 假,(4) 假,(5) 假,(6) 假,(7) 假,