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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,等差數(shù)列與差比數(shù)列的通項公式,類型一：等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項：,公式,練習(xí)：,類型二：類等差（比）數(shù)列,方法：,累加(乘),一、若數(shù)列有形如,a,n,1,a,n,f,(,n,)的解析式，而,f,(1),f,(2),f,(,n,)的和是可求的，則可用多式累(迭)加法求得,a,n,.,(2011年廈門質(zhì)檢),已知數(shù)列,a,n,中，,a,1,20，,a,n,1,a,n,2,n,1，,n,N,*,，則數(shù)列,a,n,的通項公式,a,n,_.,解析,：,由條件,a,n,1,a,n,2,n,1，,n,N,*,，,即,a

2、,n,1,a,n,2,n,1，得,a,2,a,1,1，,a,3,a,2,3，,a,4,a,3,5，,，,a,n,1,a,n,2,2,n,5，,a,n,a,n,1,2,n,3，,以上,n,1個式子相加并化簡，得,a,n,a,1,(,n,1),2,n,2,2,n,21.,答案,：,n,2,2,n,21,變式探究,1已知數(shù)列,a,n,中，,a,1,1，,a,n,1,a,n,2,n,，求,a,n,.,解析,：,當(dāng),n,2時，,a,2,a,1,2，,a,3,a,2,2,2,，,a,4,a,3,2,3,，,，,a,n,a,n,1,2,n,1,.,將這,n,1個式子累加起來可得,a,n,a,1,22,2,2

3、,n,1,，,a,n,a,1,22,2,2,n,1,122,2,2,n,1,2,n,1.,當(dāng),n,1時，,a,1,適合上式，故,a,n,2,n,1.,二、若數(shù)列有形如,a,n,f,(,n,),a,n,1,的解析關(guān)系，而,f,(1),f,(2),f,(,n,)的積是可求的，則可用多式累(迭)乘法求得,a,n,.,設(shè),a,n,的首項為1的正項數(shù)列，且,n,a,n,1,a,n,0，求它的通項公式,解析,：,由題意,a,1,1 ,a,n,0，(,n,1,2,3，,)，,方法二:,練習(xí),由整理得,再用累乘法 也可以,練習(xí),類型五：待定系數(shù)法求數(shù)列的通項：,則可考慮待定系數(shù)法設(shè),構(gòu)造新的輔助數(shù)列,是首項為

4、,公比為,q,的等比數(shù)列，求出,再進一步求通項,若數(shù)列有形如,a,n,pa,n,1,q,(,n,2，,p,，,q,為常數(shù)，,pq,0，,p,1)的線性遞推關(guān)系，則可用待定系數(shù)法求得,a,n,.,具體思路,：設(shè)遞推式可化為,a,n,1,A,p,(,a,n,A,)，,得,a,n,1,pa,n,(,p,1),A,，與已知遞推式比較，解得,A, ，故可將遞推式化為,a,n, ,p,（,a,n-1,+,）,，,構(gòu)造數(shù)列,b,n,，其中,b,n,a,n, ， 則,b,n,1,pb,n,，即 ,p,，所以,b,n,為等比數(shù)列故可求出,b,n,f,(,n,)，再將,b,n,a,n, 代入即可得,a,n,.,已

5、知數(shù)列,a,n,中，,a,1,1，,a,n,1,a,n,1，求,a,n,.,解析,：,解法一,：,數(shù)列,b,n,為等比數(shù)列，又,a,1,32，,點評,：(1)注意數(shù)列解題中的換元思想的運用，如,b,n,a,n,3.,(2)對數(shù)列遞推式,a,n,1,pa,n,q,，我們通常將其化為,p,，設(shè),b,n,a,n,A,，構(gòu)造數(shù)列,b,n,為等比數(shù)列,，,練習(xí),四、遞推式如,a,n,pa,n,1,rq,n,(,n,2，,pqr,0，,p,，,q,，,r,為常數(shù))型的通項的求法,具體思路,：1.等式兩邊同除以,q,n,，,已知數(shù)列,a,n,滿足,a,n,4,a,n,1,2,n,(,n,2，,n,N,*,)

6、，且,a,1,2.求,a,n,.,解析,：,解法一,： ,a,n,4,a,n,1,2,n,解法二,：,a,n,4,a,n,1,2,n,，,令,a,n,2,n,4(,a,n,1,2,n,1,)，(,n,2)，,得,a,n,4,a,n,1,2,n,，與已知遞推式比較得,1，,a,n,2,n,4 ，,又,a,1,2,21,4，,a,n,2,n,是首項為4，公比為4的等比數(shù)列,a,n,2,n,44,n,1,，,a,n,4,n,2,n,2,2,n,2,n,.,練習(xí),變式探究,5,(2011年鹽城模擬),在數(shù)列,a,n,中，,a,1,2，,a,n,1,a,n,n,1,(2,)2,n,(,n,N,*,)，其

7、中,0.求數(shù)列,a,n,的通項公式,解析,：,由,a,n,1,a,n,n,1,(2,)2,n,(,n,N,*,)，,0，,得,a,n,1,a,n,n,1,2,n,1,2,n,，,所以數(shù)列,a,n,的通項公式為,a,n,(,n,1),n,2,n,.,方法二,：,累加,由得,五、遞推式如,a,n,pa,n,1,qn,r,(,n,2，,pq,0，,p,，,q,為常數(shù))型數(shù)列的通項求法,具體思路,：等價轉(zhuǎn)化為,a,n,xn,y,p,(,a,n,1,x,(,n,1),y,)，再化為,a,n,pa,n,1,(,p,1),xn,(,p,1),y,，比較對應(yīng)系數(shù)，解出,x,，,y,，進而轉(zhuǎn)化為例3的數(shù)列,(2

8、011,年濟寧模擬,)已知數(shù)列,a,n,中，,a,1, ，點(,n,2,a,n,1,a,n,)在直線,y,x,上，其中,n,1,2,3，.求數(shù)列,a,n,的通項,解析,：,點(,n,2,a,n,1,a,n,)在直線,y,x,上，,2,a,n,1,a,n,n,.,令,a,n,1,x,(,n,1),y, (,a,n,nx,y,)，可化為,2,a,n,1,a,n,xn,2,x,y,0與,比較系數(shù)得,x,1，,y,2., 可化為,a,n,1,(,n,1)2 (,a,n,n,2)，,變式探究,6(2010,年豐臺區(qū)模擬,)在數(shù)列,a,n,中，,a,1,2，,a,n,1,4,a,n,3,n,1，,n,N,

9、*,.,(1)設(shè),b,n,a,n,n,，求數(shù)列 的通項；,(2)求數(shù)列,a,n,的前,n,項和,S,n,.,解析,：,(1)由題設(shè),a,n,1,4,a,n,3,n,1，,得,a,n,1,(,n,1)4(,a,n,n,)，,n,N,*,.,b,n,a,n,n,，,b,n,1,a,n,1,(,n,1)，,b,n,1,4,b,n,.,又,b,1,a,1,11，所以數(shù)列 是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列,b,n,4,n,1,.,(2)由(1)可知,a,n,n,4,n,1,，于是數(shù)列,a,n,的通項公式為,a,n,4,n,1,n,.,七、倒數(shù)法求通項,(1)對于遞推式如,a,n,1,pa,n,qa,n,

10、1,a,n,(,p,，,q,為常數(shù)，,pq,0)型的數(shù)列，求其通項公式,具體思路,：兩端除以,a,n,1,a,n,得： ,p,q,，,若,p,1，則構(gòu)成以首項為 ，公差為,q,的等差數(shù)列 ；,若,p,1,轉(zhuǎn)化為例3求解,(2011年保定摸底),已知數(shù)列,a,n,滿足,a,1,1，,n,2時，,a,n,1,a,n,2,a,n,1,a,n,，求通項公式,a,n,.,解析,：,a,n,1,a,n,2,a,n,1,a,n,，,變式探究,答案,：,a,n,(2)若數(shù)列,a,n,有形如,a,n,1, 的關(guān)系，求其通項的具體思路是：取倒數(shù)后得 ，即化為例3的數(shù)列，求出 ，再求得,a,n,.,設(shè)數(shù)列,a,n,

11、滿足,a,1,2，,a,n,1, (,n,N,*,)，,求,a,n,.,解析,：,由,a,n,1,取倒數(shù)，,類型六：特征根法求數(shù)列通。,（條件：若,的,相鄰兩項關(guān)系式可化為,可用這種方法；(其中方程,該數(shù)列的特征根）,的根稱為,（一）有,兩特根,與,，可令,構(gòu)造等比數(shù)列,，則可,進而求出,等比數(shù)列通項公式求出,特征根為0與1,略解：依題意可得該數(shù)列特征根為0與1,練習(xí),(改編),構(gòu)造輔助數(shù)列 ,分析,（二）有,一根,時,可令,易得 是,等差,數(shù)列，求,進而求出,唯一特征根1,解：依題意可得該數(shù)列有惟一特征根為1,該題也可以先求出前幾項，,再猜想歸納出其通項，但要特別注意要用數(shù)學(xué)歸納法證明。,練

12、習(xí),（三）沒有特征根，則可由遞推關(guān)系式得出若干項可判斷,是周期數(shù)列,（題型）若數(shù)列相鄰三項的關(guān)系可化為,且方程,有解，則可用待定系數(shù)法設(shè),公比的輔助等比數(shù)列,構(gòu)造新的以y為,，轉(zhuǎn)化相鄰兩項處理；,若,有兩組值，也可得到兩個等比數(shù)列，分別求其通項,再由方程組求出,兩種情況一起考慮，即,累加,方程思想,分別得到：,由得,練習(xí),【解析】（1）由求根公式，不妨設(shè),(2),(3),遞推式如,的數(shù)列通項的求法,【,具體思路,】,若p=1，則等式兩邊取常用對數(shù)或自然對數(shù)，化為： ，得到首項為 ，公比為r的等比數(shù)列 ，所以 = ，得,若p1，則等式兩邊取以p為底的對數(shù)得：,轉(zhuǎn)化為題型三求通項。,（,11年石家莊市模擬,）若數(shù)列a,n,中，,且 ，則數(shù)列的通項公式,為_,【解析】 及 知,兩邊取常用對數(shù)得：, 是以首項為 ，公比為2的,等比數(shù)列。,其他方法：有構(gòu)造常數(shù)數(shù)列，取對數(shù)（注意真數(shù)大于零），取倒數(shù)，歸納法（注意要用數(shù)學(xué)歸納法證明）,左邊能否因式分式？,累乘法,特征根法,