《北大群倫電子版grouptheory》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《北大群倫電子版grouptheory（24頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第三章 點群,定義: 三維實正交群,O(3),的有限子群.,第一類點群: 只含轉動元素,SO(3),的有限子群, 也稱為固有點群;,第二類點群: 除含有轉動元素外,還含有轉動反演元素.,n,階轉動軸: 設點群,G,是由繞固定軸,k,轉動生成的,n,階群,則,G,由,C,k,(2,/n),生成.,固定軸,k,稱為,n,階軸. 將元素,C,k,(2,/n),記為,C,n,群,G,是由,C,n,生成的,n,階循環(huán)群,C,n, C,n,2, ,C,n,n,=E,記為,C,n,.,定理:設,G,是點群,K,是,G,的

2、轉動子群, 即,K=GSO(3),則有三種可能:,1),G=K, G,是,SO(3),的有限子群, 即,G,是第一類點群;,2),GK, G,包含空間反演元素,I,則,G=KIK=K,E,I,稱為,I,型非固有點群;,3),GK,且,I,G,則,G,與轉動群,G=KK,+,同構, 其中,K,+,=,Ig,|gG, g K,稱為,P,型非固有點群.,由第一類點群可構造出第二類點群:,1),G=KIK=K,E,I,2) G=K,IK,+,點群是群, 滿足群的封閉性; 點群是有限群, 具有有限的元素;第一類點群是,SO(3),的子群, 群元具有,SO(3),群元特點.,點群,G,的階,n,和轉動軸階

3、,n,i,的關系.,l,是極點,G,軌道的個數(shù), 同一軌道上的極點是具有相同階數(shù),n,i,的轉動軸與球面的交點。,2）,n,i,是第,i,條,G,軌道中極點對應的轉動軸的階。,3）,n,是點群,G,的階數(shù)。,4）,n/,n,i,是第,i,條,G,軌道上點的個數(shù)。一個轉動軸對應兩個,G,軌道點。,3. 第一類點群,第一類點群的分類.,5種可能情況:,1),n,階循環(huán)群,C,n,群:,2條極點,G,軌道, 每一條軌道上有一個點, 則點群中所有轉動元素保持極點不變.,轉動軸階數(shù)為,n.,轉動軸與球面的兩個交點各自組成一條,G,軌道.,一個以固定,n,階轉動軸,k,生成的,n,階循環(huán)群,c,n,=,C

4、,n,. C,n,2,C,n,n,=E,C,n,=C,k,(2,/n).,每個元素自成一類, 共有,n,個類,: ,E, ,C,n, C,n,2, ,C,n,n,-1,共有,n,個一維不可約不等價表示.,分別由,A,P,(,C,n,)=exp(p-1)2,i/n, p=1,2,n,生成.,3) 每一個表示的特征標為,p,(,C,n,m,)=exp(p-1) 2,mi/n.,2) 二面體群,D,m,群:,3條極點,G,軌道: 第一條和第二條軌道上各有(,n/2)=m,個點, 均對應于二階軸, 共有2(,m/2)=m,條; 第三條軌道上有(,n/m)=2,個點, 對應于一個,m,階轉動軸的兩個極點

5、.,因為,m,階轉動軸的兩個極點,r,m,與(,r,m,),在同一條軌道上, 故對點群中任意元素,g,使,g,r,m,=,r,m,或,g,r,m,=,r,m,因而所有,m,個二階軸與,m,階轉動軸垂直.,保持正多邊形空間位置不變的有限轉動群, 稱為二面體群.,相鄰二階軸的夾角相等.,m=,奇數(shù)時,為2,/,m;,m=,偶數(shù)時,為,/,m,與,m,階軸垂直的二階軸將繞,m,階軸的轉動,元素與其逆轉動通過相似變換聯(lián)系起來.,單位元素,E,自成一類;,C,m,k,和,C,m,m,-k,成一類,k=1,2,(m-1)/2;,m,個二階軸為一類; 共有(,m+3)/2,類.,m=,奇數(shù)時,m=,偶數(shù)時,

6、單位元素,E,自成一類;,C,m,k,和,C,m,m,-k,成一類,k=1,2,(m-2)/2;,C,m,m,/2,自成一類;,m,個二階軸分為兩類:,夾角為2,/,m,的,二階軸各為一類;,共有,m/2+3,類.,D,2,群,:,由三個垂直的二階軸生成,1) 共分為4個類,2) 4個一維不可約不等價表示,E,C,2,(1),E,C,2,(2),E,C,2,(3),均是,D,2,的不變子群.,D,2,是,E,C,2,(1),和,E,C,2,(2),的直積群,D,2,=,C,2,C,2,可由兩個二階循環(huán)群,C,2,表示的直積給出.,正方形對稱群,D,4,:,1) 共分為5個類,2) 5個不可約不

7、等價表示,4個一維不可約不等價表示, 一個二維表示.,D,4,有三個三階不變子群:,D,4,有到二階循環(huán)群的三個同態(tài), 可得到,D,4,的三個,一維非恒等不可約不等價表示,3) 四面體群,T,群:,3條極點,G,軌道: 第一條軌道上有(,n/2)=6,個點, 均對應于三個二階軸, 共有(6,/2)=3,條;第二條和第三條軌道上各有有(,n/3)=4,個點, 對應于4個,3階轉動軸的8個極點.,保持正四面體空間位置不變的有限轉動群, 稱為四面體群.,T,群12個元素分4個類,:,T,群有4個不等價不可約表示,:,T,群不變子群,與,D,2,同構，其商群,T/D,2,=D,2,，C,3,D,2,，

8、 C,3,2,D,2,與三階,循環(huán)群同構，可得,T,群的三個一維不等價表示,T,群有1個3維表示,:,4) 八面體群,O,群:,3條極點,G,軌道: 第一條軌道上有(,n/2)=12,個點, 對應于6個二階軸, 共有(12,/2)=6,條;第二條軌道上有(,n/3)=8,個點, 對應于4個,3階轉動軸的8個極點；,第三條軌道上有(,n/4)=6,個點, 對應于3個,4階轉動軸的6個極點.,正八面體對稱轉動群, 稱為八面體群.,12個棱邊中相對棱中點連線給出6個2階軸；,8個面中相對面重心連線給出4個,3階軸；,6個頂點中相對頂點連線給出,3個,4階軸。,共有5個類，故有5個不等價不可約表示,2

9、個一維表示，一個二維表示，二個三維表示,5) 十二面體群,Y,群:,3條極點,G,軌道: 第一條軌道上有(,n/2)=30,個點, 對應于15個二階軸, 共有(30,/2)=6,條;第二條軌道上有(,n/3)=20,個點, 對應于（20/2）=10個,3階轉動軸；,第三條軌道上有(,n/5)=12,個點, 對應于（12/2）=6個,5階轉動軸.,正十二面體對稱轉動群, 稱為十二面體群.,第二類點群可由第一類群構造。分為9類：,C,n,I,C,n,=,C,n,E,I,，2,n,階阿貝爾群，共有2,n,個共軛類。,2）,D,n,I,D,n,=,D,n,E,I,，2,n,階群,。,3）,T,I,T,

10、= T,E,I,，24階群,稱為,T,h,群。共有8個共軛類。,4）,O,I,O,= O,E,I,，48階群,稱為,O,h,群。共有10個共軛類。,5）,Y,I,Y,= Y,E,I,，48階群,稱為,O,h,群。共有10個共軛類。,表示可由第一類點群的表示與二階循環(huán)群表示直積得到,4. 第二類點群,7）,與,D,n,同構的,P,型第二類點群。,K=,C,n,=,C,n, C,n,2,C,n,n,是,D,n,的不變子群.陪集,K,+,為,D,n,=,KK,+, 與,D,n,同構的第二類點群為,KIK,+,8）,與,D,2n,同構的,P,型第二類點群。,K=,D,n,是,D,2n,的不變子群.,D

11、,2n,=,KK,+, 與,D,2n,同構的第二類點群為,KIK,+,陪集,K,+,為,9）,與,O,同構的,P,型第二類點群。,K=T,是,O,的不變子群.,O=KK,+, 與,O,同構的第二類點群為,KIK,+,陪集,K,+,為,偶數(shù)階轉動反射軸,S,4n,生成的元素,偶數(shù)階轉動反射軸,S,4n+2,生成的元素,3）,T,h,群:,T,I,T,= T,E,I,。,取,T,h,群,的一個二階軸,C,2,為主軸,與主軸垂直的平面稱為水平反射平面,記作,h,.,第二類點群與,Schoenflie,分類的對應,T,h,可由,T,和對,T,的反射操作,得到,4）,O,h,群:,O,I,O,取,O,h

12、,群,的一個四階軸,C,4,為主軸,.,1）,C,n,IC,n,群,n,為奇數(shù)時,第二類點群與,Schoenflie,分類的對應,稱為,S,4n+2,群.,n,為偶數(shù)時, 有,IC,2n,n,=,h,故,記作,C,2nh,群.,7）與,D,n,同構的,P,型第二類點群。,第二類點群與,Schoenflie,分類的對應,上述點群可由,C,n,群加上對,垂直反射平面反射操作得到,稱為,C,nv,群.,取,C,n,為主軸,.,過主軸且垂直于,C,2,(i),的平面稱為垂直反射面,記作,V,(i),第二類點群在,Schoenflie,分類中分為9類:,9）與,O,同構的,P,型第二類點群。,第二類點群與,Schoenflie,分類的對應,上述點群可由,C,n,群加上對,垂直反射平面反射操作得到,稱為,C,nv,群.,取,C,n,為主軸,.,過主軸且垂直于,C,2,(i),的平面稱為垂直反射面,記作,V,(i),