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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),湖南商學(xué)院,#,1,5.1.2,簡單迭代法,已知根 的存在區(qū)間,a,b,自然可取中點(diǎn),c,作為根 的精略近似值,x,0,。為求逐次逼近 的近似值,x,1,x,2,自然希望使用相同公式,x,k+1,=(x,k,),k=0,1,2,(5-3),利用此式求根近似值的方法稱為簡單迭代法。,X,k,稱為迭代序列，,(x),稱為迭代函數(shù)，上式稱為迭代格式。顯然，如果迭代序列收斂于,且,(x),連續(xù)，則,2,=,（）,=,即根 滿足方程,x=(x)(5-4),因此，為保證迭代序列逐次逼近方程,f(x)=0,的根，應(yīng)當(dāng)選取迭代

2、函數(shù),(x),使方程,(5-4),與,(5-1),同解。,例,5-1,用簡單迭代法求區(qū)間,(2,3),內(nèi)方程,x,3,-2x-5=0,的根,解一 將方程兩邊同加,2x+5,再開三次方，得式,(5-4),型同解方程,x=,作迭代格式,x,k+1,=,k=0,1,取,x,0,=2.5,迭代得,x,1,=2.154434690,x,2,=2.103612029,x,3,=2.095927410,3,X,4,=2.094760545,x,5,=2.094583250,x,6,=2.094556309,X,7,=2.094552215,x,8,=2.094551593,x,9,=2.094551498,

3、X,10,=2.094551484,x,11,=2.094551482=x,12,由于,x,12,=x,11,再迭代已無變化，可見,x,11,解二 將方程,x,3,-2x-5=0,兩邊同加,2x,3,+5,再同除,3x,2,-2,得同解方程,x=(2x,3,+5)/(3x,2,-2),作迭代格式,x,k+1,=(2x,k,3,+5)/(3x,k,2,-2),取,x,0,=2.5,得迭代序列,:x,1,=2.164179104,x,2,=2.097135356,x,3,=2.094555232,X,4,=2.094551482=x,5,故,x,4,4,作迭代格式,x,k+1,=(x,k,3,-5

4、)/2,令,x,0,=2.5,得迭代序列,:x,1,=5.3125,x,2,=72.46643066,X,3,=190272.0118,x,4,=3.444250536 10,16,x,5,=2.042933398 10,46,計(jì)算,x,6,時(shí)溢出,簡單迭代收斂定理,設(shè)迭代函數(shù),(x),滿足條件：,1,當(dāng),x a,b,時(shí),(x)a,b,2,存在正數(shù),L1,使對(duì)任意,x a,b,有,L1,則對(duì)任意初值,x,0,a,b,迭代序列,(5-3),收斂于方程,x=(x),在,a,b,上的唯一根,5,證,:,先證,x=(x),在,a,b,上有唯一根。因 存在,故,(x),連續(xù)。令,g(x)=x-(x),則

5、,g(x),連續(xù)。由條件,1,知,g(a)=a-(a)0,g(b)=b-(b)0,故存在,a,b,使,g()=0,即,=(),證明了方程,x=(x),有根。假定還有根,則由拉格朗日中值定理及條件,2,得,0 =,即正數(shù) 小于其自身。這是不可能的。這說明方程,(5-4),只有一根。,最后證明,x,k,收斂于 。由條件,2,知,L ,6,=,L L,2,因?yàn)?0 L1,可見,k,時(shí)，。證畢。,定理中條件,2,最重要。實(shí)際上，假定在根 的某鄰域,上 ，則對(duì)此鄰域上任意,x,說明,(x),也在此鄰域，條件,1,自然成立。,實(shí)際問題中滿足條件,2,的區(qū)間,a,b,難以求得。但若,連續(xù)，則在根 鄰域 。因此，,1,時(shí)稱稱超線性收斂；,p=2,時(shí)稱平方收斂。在迭代函數(shù) 充分可導(dǎo)時(shí)，由泰勒公式知,11,可見 時(shí)線性收斂，,但 時(shí),p,階收斂。對(duì)例,5-1,前兩種解法，,故解法一迭代序列線性收斂，解法二迭代序列超線性收斂。進(jìn)一步可證,故解法二平方收斂。一般收斂階數(shù),p,越大，迭代序列收斂越快；線性收斂時(shí)常數(shù),c(,稱漸進(jìn)常數(shù),),必滿足,0c1;,常數(shù),c,越小，收斂也越快。,