《高等數(shù)學(xué)方明亮6.6空間直線及其方程》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)方明亮6.6空間直線及其方程（27頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,*,*,返回,上頁(yè),下頁(yè),目錄,第六節(jié) 空間直線及其方程,第六章,( Space Straight Line and Its Equation),四、直線與平面的夾角,一、空間直線方程的一般方程,二、空間直線方程的對(duì)稱式方程和參數(shù)方程,三、兩直線的夾角,五、平面束,六、小結(jié)與思考練習(xí),10/18/2024,1,因此其一般式方程,(General Equation of a Space Straight Line),直線可視為兩平面交線，,(不唯一),一、空間直線方程的一般方程,10/18/2024,2,(Symmetric Expression),1. 對(duì)稱式方程（點(diǎn)

2、向式方程),故有,說(shuō)明:,某些分母為零時(shí), 其分子也理解為零.,設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為,則,此式稱為直線的,對(duì)稱式方程,(也稱為,點(diǎn)向式方程,),直線方程為,已知直線上一點(diǎn),例如, 當(dāng),和它的方向向量,二、空間直線方程的對(duì)稱式方程和參數(shù)方程,10/18/2024,3,設(shè),得參數(shù)式方程 :,3.,參數(shù)式方程,(Parametric Form ),10/18/2024,4,解:,先在直線上找一點(diǎn),.,再求直線的方向向量,令,x,= 1, 解方程組,得,交已知直線的兩平面的法向量為,是直線上一點(diǎn) .,例1,用對(duì)稱式及參數(shù)式表示直線,（補(bǔ)充題）,10/18/2024,5,故所給直線的對(duì)稱式方程為,參數(shù)式方程

3、為,解題思路,:,先找直線上一點(diǎn);,再找直線的方向向量.,(自學(xué)課本,例1,),10/18/2024,6,例 2,求與兩平面,x,4,y,= 3 和2,x,y,5,z,= 1 的交線平行且過(guò)點(diǎn)(3, 2, 5)的直線的方程.,解：,因?yàn)樗笤谥本€與兩平面的交線平行，也就是直線的方向向量,s,一定同時(shí)與兩平面的法線向量,n,1,、,n,2,垂直，所以可以取,因此所求直線的方程為,10/18/2024,7,例3,求直線,與平面2,x,y,z,6=0的交點(diǎn).,解：,所給直線的參數(shù)方程為,x,= 2 +,t,y,=3+,t,z,=4+2,t,代入平面方程中，得,2(2+,t,) + (3+,t,) +

4、 (4+2,t,)6=0.,解上列方程，得,t,=1. 把求得的,t,值代入直線的參數(shù),方程中，即得所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為,x,=1,y,=2,z,=2.,（由課本例3改編）,10/18/2024,8,則兩直線夾角,滿足,設(shè)直線,兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取,銳角,),的方向向量分別為,（The Angle between Two Straight Lines）,三、兩直線的夾角,10/18/2024,9,特別地有:,10/18/2024,10,解,:,直線,直線,二直線夾角,的余弦為,從而,的方向向量為,的方向向量為,例4,（由課本,例4,改編）,求以下兩直線的夾角,10/18/202

5、4,11,（The Angle between a Straight Lines and a Plane）,當(dāng)直線與平面垂直時(shí),規(guī)定其夾角,線所夾銳角,稱為直線與平面間的夾角;,當(dāng)直線與平面不垂直時(shí),設(shè)直線,L,的方向向量為,平面,的法向量為,則直線與平面夾角,滿足,直線和它在平面上的投影直,四、直線與平面的夾角,10/18/2024,12,特別有:,例5,求過(guò)點(diǎn)(1,2 , 4),且與平面,解:,取已知平面的法向量,則直線的對(duì)稱式方程為,直的直線方程.,為所求直線的方向向量.,垂,10/18/2024,13,五、平面束,有時(shí)用,平面束,的方程解題比較方便，現(xiàn)在我們來(lái)介,紹它的方程.,設(shè)直線,

6、L,由方程組,所確定，其中系數(shù),A,1,、,B,1,、,C,1,與,A,2,、,B,2,、,C,2,不成比例.,我們建立三元一次方程：,( III ),其中,為任意常數(shù). 因?yàn)?A,1,、,B,1,、,C,1,與,A,2,、,B,2,、,C,2,不成,( II ),( I ),（Pencil of Planes）,10/18/2024,14,比例，所以對(duì)于任何一個(gè),值，方程(III)的系數(shù)：,不全為零，從而方程(III)表示,一個(gè)平面，若一點(diǎn)在直線,L,上，則點(diǎn)的坐標(biāo)必同時(shí)滿足方程(I)和(II)，因而也滿足方程(III)，故方程(III)表示通過(guò)直線,L,的平面，且對(duì)于于不同的,值，方程(I

7、II)表示通過(guò),直線,L,的不同的平面.,反之，,通過(guò)直線,L,的任何平面(除平面(II)外)都包含在方程(III)所表示的一族平面內(nèi).,通過(guò)定直線的所有平面的全體稱為平面束，而方程(III)就作為通過(guò)直線,L,的平面束的方程(,事實(shí)上，方程(III)表示缺少平面(II)的平面束).,10/18/2024,15,例6,求直線,在平面,x,+,y,+,z,=0上的投影直線的,方程.,解：,過(guò)直線,的平面束的方程為,(,x,+,y,-,z,-1) +,(,x,y,+,z,+1)=0,(1+ ),x,+(1- ),y,+(-1+ ),z,+(-1+ )=0,即,(*),其中,為待定常數(shù). 這平面與平

8、面,x,+,y,+,z,=0垂直的條件是,即,由此得,=-1,代入,(*),式，得投影平面的方程為,2,y,-2,z,-2 =0 即,y,-,z,-1=0,所以投影直線的方程為,10/18/2024,16,解：,10/18/2024,17,解：,10/18/2024,18,1. 空間直線方程,一般式,對(duì)稱式,參數(shù)式,內(nèi)容小結(jié),10/18/2024,19,直線,直線,夾角公式:,2. 線與線的關(guān)系,10/18/2024,20,平面,:,L,L,/,夾角公式：,直線,L,:,3. 面與線間的關(guān)系,4. 平面束,10/18/2024,21,課外練習(xí),習(xí)題66 1（偶數(shù)題）；3；4（2）（4）；,6（

9、2）；7 （偶數(shù)題）；10；12,思考與練習(xí),D,10/18/2024,22,C,C,面,面,面,面；,xoy,Q,D,xoz,Q,C,yoz,Q,B,xoy,Q,A,r,r,r,r,),(,;,),(,;,),(,),(,面,面,面,面；,xoy,Q,D,xoz,Q,C,yoz,Q,B,xoy,Q,A,r,r,r,r,),(,;,),(,;,),(,),(,A,10/18/2024,23,B,B,10/18/2024,24,解：,相交,求此直線方程,.,的方向向量為,過(guò),A,點(diǎn)及,面的法向量為,則所求直線的方向向量,方法1,利用叉積.,所以,且垂直于直線,又和直線,2.,一直線過(guò)點(diǎn),10/18/2024,25,設(shè)所求直線與,的交點(diǎn)為,待求直線的方向向量,方法2,利用所求直線與,L,2,的交點(diǎn) .,即,故所求直線方程為,則有,10/18/2024,26,代入上式 , 得,由點(diǎn)法式得所求直線方程,而,10/18/2024,27,