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1、單擊以編輯,母版標題樣式,單擊以編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,目錄 上頁 下頁 返回 結束,二階微分方程的,習題課,(,二,),二、微分方程的應用,解法及應用,一、兩類二階微分方程的解法,第七章,一、兩類二階微分方程的解法,1.,可降階微分方程的解法,降階法,令,令,逐次積分求解,2.,二階線性微分方程的解法,常系數(shù)情形,齊次,非齊次,代數(shù)法,歐拉方程,練習題,:,P353,題,2,(2),;,3,(6),(7);,4,(2),；,解答提示,P353,題,2,(2),求以,為通解的微分方程,.,提示,:,由通解式可知特征方程的根為,故特征方程為,因此微分方程為,P353

2、,題,3,求下列微分方程的通解,提示,:,(6),令,則方程變?yōu)?特征根,:,齊次方程通解,:,令非齊次方程特解為,代入方程可得,思 考,若,(7),中非齊次項改為,提示,:,原方程通解為,特解設法有何變化,?,P354,題,4(2),求解,提示,:,令,則方程變?yōu)?積分得,利用,再解,并利用,定常數(shù),思考,若問題改為求解,則求解過程中得,問開方時,正負號如何確定,?,特征根,:,例,1,.,求微分方程,提示,:,故通解為,滿足條件,解滿足,處連續(xù)且可微的解,.,設特解,:,代入方程定,A,B,得,得,處的銜接條件可知,解滿足,故所求解為,其通解,:,定解問題的解,:,例,2.,且滿足方程,提

3、示,:,則,問題化為解初值問題,:,最后求得,思考,:,設,提示,:,對積分換元,則有,解,初值問題,:,答案,:,的解,.,例,3.,設函數(shù),內,具有連續(xù)二階導,(1),試將,x,x,(,y,),所滿足的微分方程,變換為,y,y,(,x,),所滿足的微分方程,;,(2),求變換后的微分方程滿足初始條件,數(shù),且,解,:,上式兩端對,x,求導,得,(1),由反函數(shù)的導數(shù)公式知,(2003,考研,),代入原微分方程得,(2),方程的對應齊次方程的通解為,設的特解為,代入得,A,0,從而得,的通解,:,由,初始條件,得,故所求,初值問題的解為,二、微分方程的應用,1.,建立數(shù)學模型,列微分方程問題,

4、建立微分方程,(,共性,),利用物理規(guī)律,利用幾何關系,確定定解條件,(,個性,),初始條件,邊界條件,可能還有銜接條件,2.,解微分方程問題,3.,分析解所包含的實際意義,例,4.,解,:,欲向,宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星,為使其,擺脫地球,引力,初始速度應不小于第二宇宙速度,試,計算此速度,.,設,人造地球衛(wèi)星質量為,m,地球質量為,M,衛(wèi)星,的,質心到地心的距離為,h,由,牛頓第二定律得,:,(,G,為引力系數(shù),),則有初值問題,:,又設,衛(wèi)星的初速度,代入原方程,得,兩邊積分得,利用初始條件,得,因此,注意到,為使,因為當,h,=,R,(,在地面上,),時,引力,=,重力,即,代入,即得,這

5、,說明第二宇宙速度為,求質點的運動規(guī)律,例,5.,上的力,F,所作的功與經過的時間,t,成正比,(,比例系數(shù),提示,:,兩邊對,s,求導得,:,牛頓第二定律,為,k,),開方如何定,+?,已知一質量為,m,的質點作直線運動,作用在質點,例,6.,一鏈條掛在一釘子上,啟動時一端離釘子,8 m,另一端離釘子,12 m,力,求鏈條滑下來所需的時間,.,解,:,建立坐標系如圖,.,設在,時刻,t,鏈條較長一段,下垂,x,m,又設,鏈條線密度為常數(shù),此時鏈條受力,由,牛頓第二定律,得,如不計釘子對鏈條所產生的摩擦,由,初始條件得,故,定解問題的解為,解得,(s),微分方程通解,:,當,x,=20 m,時

6、,思考,:,若摩擦力為鏈條,1 m,長的質量,定解問題的,數(shù)學模型是什么,?,摩擦力為鏈條,1 m,長的質量 時的數(shù)學模型為,不,考慮摩擦力時的數(shù)學模型為,此時鏈條滑下來,所需時間為,練習題,從船上向海中沉放某種探測儀器,按探測,要求,需確定儀器的下沉深度,y,與下沉速度,v,之間的函,數(shù)關系,.,設儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力作用,設儀器質量為,m,體積為,B,海水比重為,儀器所受阻力與下沉速度成正,比,比例系數(shù)為,k,(,k,0),試建立,y,與,v,所滿足的微分,方程,并求出函數(shù)關系式,y=y,(,v,).,(1995,考研,),提示,:,建立坐標

7、系如圖,.,質量,m,體積,B,由牛頓第二定律,重力,浮力,阻力,注意,:,初始條件為,用分離變量法解上述初值問題得,作業(yè),P348 4 ,6 ;,P353 3,(8),;4,(2),(4),；,7;*11,(1),得,質量,m,體積,B,第十一節(jié),備用題,有特,而對應齊次方程有解,微分方程的通解,.,解,:,故所給二階非齊次方程為,方程化為,1.,設二階非齊次方程,一階線性非齊次方程,故,再積分得通解,復習,:,一階線性微分方程,通解公式,:,2.,設函數(shù),在,r,0,內,滿足,拉普拉斯方程,二階可導,試將方程化為以,r,為自變量的常微分,方程,并求,f,(,r,).,提示,:,利用對稱性,即,(,歐拉方程,),原方程可化為,且,解初值問題,:,則,原方程化為,通解,:,利用初始條件得特解,:,