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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,高階微分方程與方程組,教學(xué)要求（基本理論與方法）,一階,線性方程組,的基本理論與解的性質(zhì),線性方程組的向量表示和存在唯一性,齊次與非齊次 線性方程組解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu),基解矩陣及常數(shù)變易公式,常系數(shù),線性方程組微分方程的求解,exp(At,),的定義與性質(zhì),exp(At,),的三種計(jì)算方法和兩種特例,常系數(shù)非齊次線性,方程組的求解,齊次,/,非齊次 線性方程組,解的性質(zhì)和通解結(jié)構(gòu),解的性質(zhì)（疊加原理）；,解的線性相關(guān),/,無關(guān)性及判別,（,Wronsky,行列式,）,齊次與非齊次 通解結(jié)構(gòu)（基本解組）,基解矩陣

2、及其性質(zhì)、常數(shù)變易公式,基本概念：,線性、齊次與非齊次、解（特解與通解）、初值問題、二者關(guān)系、存在唯一性,向量表示：,向量（矩陣）函數(shù)及微積分、范數(shù)、向量序列與級數(shù),高階線性方程與方程組的基本概念與理論（與對比）,矩陣指數(shù)與基解矩陣,矩陣指數(shù),exp A,的定義與性質(zhì),基解矩陣表示,基解矩陣的計(jì)算方法,基解矩陣與特征值（向量）關(guān)系,特征值（向量）方法,若當(dāng)塊方法,遞推公式方法,高階,(,線性,),微分方程的求解,常系數(shù)齊次線性,方程（歐拉方程）的,特征根法,常系數(shù)非齊次線性,方程的,比較系數(shù)法,一般非齊次線性,方程的,常數(shù)變易法,一般高階（線性）方程的,降解法,*,(,了解,),二階方程的,冪

3、級數(shù)法,（,Bessel,方程）,常系數(shù)齊次線性微分方程的通解-,特征根法,基本解組,復(fù)解實(shí)值轉(zhuǎn)化,歐拉方程的基本解組-,變換,特征方程,基本解組,非齊次常系數(shù)線性方程的特解-,比較系數(shù)法,類型,類型II,特解,特解,待定特解中的系數(shù)，將特解代入方程，比較方程兩端,求出系數(shù)，從而得到特解（待定系數(shù)法?。?n-k階方程,n-1階方程,n-1階方程,并反復(fù)k次，,得n-k階方程,方程,變換,結(jié)果,一般高階方程-,降階法,二階線性方程（已知非零解求另一非線性無關(guān)解）,為齊次方程的基本解組，則通解：,求一般非齊次線性方程的特解-,常數(shù)變易法,假設(shè)非齊次的某特解：,冪級數(shù)解法,Bssel,方程的通解公式

4、和,Bessel,函數(shù),二階線性方程,-冪級數(shù)解法*,齊次：基本解組,非齊次：特解,常系數(shù)齊次：特征根法,常系數(shù)非齊次：比較系數(shù)法、常數(shù)變易法、降階法,冪級數(shù)法*、分解法,變系數(shù)方程（非齊次）：降階法、冪級數(shù)法*,1 計(jì)算特征值，n個(gè)無關(guān)的特征向量；,（I）,n個(gè)線性無關(guān)特征向量情形,2 求解基解矩陣，求標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（實(shí)）；,（2）求解子空間U,j,并分解：,（1）求A的特征值、特征向量,（3）,僅一個(gè)特征值利用 公式,(5.53);,（4）,（II）,基解矩陣的計(jì)算方法-遞推法,利用遞推法計(jì)算基解矩陣,結(jié)論,其中,是下列初值問題的解,(III),基解矩陣的計(jì)算方法-遞推法,練習(xí),3.7,穩(wěn)定

5、性問題,在研究許多實(shí)際問題時(shí)，人們最為關(guān)心的也許并非系統(tǒng)與時(shí)間有關(guān)的變化狀態(tài)，而是系統(tǒng)最終的發(fā)展趨勢。例如，在研究某頻危種群時(shí)，雖然我們也想了解它當(dāng)前或今后的數(shù)量，但我們更為關(guān)心的卻是它最終是否會絕滅，用什么辦法可以拯救這一種群，使之免于絕種等等問題。要解決這類問題，需要用到微分方程或微分方程組的穩(wěn)定性理論。在下兩節(jié)，我們將研究幾個(gè)與穩(wěn)定性有關(guān)的問題。,一般的微分方程或微分方程組可以寫成：,定義 稱微分方程或微分方程組,為自治系統(tǒng)或動力系統(tǒng)。,（,3.28,）,若方程或方程組,f,(,x,)=0有解,X,o,，,X=X,o,顯然滿足（,3.28,）。,稱點(diǎn),X,o,為微分方程或微分方程組（3.

6、28)的平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)。,例7,本章第2節(jié)中的Logistic模型,共有兩個(gè)平衡點(diǎn)：,N,=0和,N,=,K,，分別對應(yīng)微分方程的兩兩個(gè)特殊解。前者為,N,o,=0時(shí)的解而后者為,N,o,=,K,時(shí)的解。,當(dāng),N,o,K時(shí)，則位于,N,=,K,的上方。從圖,3,-,17,中不難看出，若,N,o,0，積分曲線在,N,軸上的投影曲線（稱為軌線）將趨于,K,。這說明，平衡點(diǎn),N,=0和,N,=,K,有著極大的區(qū)別。,圖,3-17,定義1,自治系統(tǒng) 的相空間是指以（,x,1,x,n,）為坐標(biāo),的空間R,n,。,特別，當(dāng),n,=2時(shí)，稱相空間為相平面。,空間R,n,的點(diǎn)集(,x,1,x,n,)|,x,i,

7、=,x,i,(,t,)滿足(3.28)，,i,=1,n,稱為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空間的分布圖稱為相圖。,定義2 設(shè),x,0,是（3.28）的平衡點(diǎn)，稱：,（1）,x,0,是穩(wěn)定的，如果對于任意的,0，存在一個(gè),0，只要|,x,(0)-,x,0,|,，就有|,x,(,t,)-,x,0,|,對所有的,t,都成立。,（2）,x,0,是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的且 。,微分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性除了幾何方法，還可以通過解析方法來討論，所用工具為以下一些定理。,（3）,x,0,是不穩(wěn)定的，如果（1）不成立。,根據(jù)這一定義，Logistic方程的平衡點(diǎn)N=K是穩(wěn)定的且為漸近穩(wěn)定的，而平衡點(diǎn)N=0則是不穩(wěn)定

8、的。,解析方法,定理1 設(shè),x,o,是微分方程 的平衡點(diǎn)：,若 ,則,x,o,是漸近穩(wěn)定的,若 ,則,x,o,是漸近不穩(wěn)定的,證 由泰勒公式，當(dāng),x,與,x,o,充分接近時(shí)，有：,由于,x,o,是平衡點(diǎn)，故,f,(,x,o,)=0。若 ，則當(dāng),x,0，從而,x,單增；當(dāng),x,x,o,時(shí)，又有,f,(,x,)0，可能出現(xiàn)以下情形：,若,q,0，,1,2,0。,當(dāng),p,0時(shí)，,零點(diǎn)不穩(wěn)定；,當(dāng),p,0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定,若,q,0,，,1,2,0,時(shí)，零點(diǎn)不 穩(wěn)定,當(dāng),p,0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定,（2）,0，零點(diǎn)穩(wěn)定,若,a,=0，有零點(diǎn)為中心的周期解,綜上所述：僅當(dāng),p,0時(shí)，（3.30）零點(diǎn)才是漸近穩(wěn)定的；當(dāng),p,=0且,q,0時(shí)（3.30）有周期解，零點(diǎn)是穩(wěn)定的中心（非漸近穩(wěn)定）；在其他情況下，零點(diǎn)均為不穩(wěn)定的。,非線性方程組（3.29）平衡點(diǎn)穩(wěn)定性討論可以證明有下面定理成立:,定理2 若（3.30）的零點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點(diǎn),也是漸近穩(wěn)定的；若（3.30）的零點(diǎn)是不穩(wěn)定的，則（3.29）,的平衡點(diǎn)也是不穩(wěn)定的。,