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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第六章變質量動力學,6,1,變質量質點的運動微分方程,1.,變質量質點的運動微分方程,設作用于質點系的外力為,質點系在瞬時,t,的動量為,質點系在瞬時,t,+d,t,的動量為,根據動量定理,得,將上式展開得,略去高階微量,并以,d,t,除各項,得,或,（61）,式中 是微小質量,d,m,在并入前,對于質點,m,得相對速度,令,（62）,則式（61）改寫為,（63）,上式稱為變質量質點的運動微分方程,式中,m,是變量,是代數量,因 具有力的量綱且與噴氣方向相反,稱為反推力,2.,常用的幾種質量變化規(guī)律,（1）

2、質量按線性規(guī)律變化,設變化規(guī)律為,（64）,式中 皆為常數,該式代表質量隨時間呈線性變化,由 知,其反推力為,（65）,可見,當 為常數時,反推力也為常量,且與 方向相反,（2）質量按指數規(guī)律變化,設變化規(guī)律為,（66）,式中 皆為常數,由 知,其反推力為,（67）,令 表示僅在反推力 作用下變質量質點的加速度,（68）,則當 為常量時,也是常量,即由反推力引起的加速度為常量,例,6,1,設火箭在真空中運動且不受任何外力作用,方向與火箭運功方向相反,單級火箭,其噴射出的氣體相對于速度 的大小不變,此問題稱齊奧爾科夫斯基第一類問題,對這一問題,變質量質點的運動微分方程（63）,在運動方向上的投影

3、為,或,（a）,設初始時刻,t,=0,時,將式（a）積分得,（b）,設火箭燃燒終了時質量為,速度為,v,令,（c）,稱N為質量比（有些資料取 為質量比）,令,（b）,稱 為火箭的特征速度,它代表這一級火箭在初始速度 的基礎上所能增加的速度,由式（d）可得,（c）,稱此式為齊奧爾科夫斯基公式,它表明在 已知時,欲使火箭達到特征速度 所應具備的質量比,如果火箭在真空中且處于均勻重力場內,沿鉛直方向向上運動,稱為齊奧爾科夫斯基第二類問題,與第一問題的區(qū)別是有均勻重力作用,運動微分方程（63）在鉛直方向上的投影為,（f）,設初始時刻,t,=0,時,且 為常量,將式（f）積分得,（g）,例,6,2,單級

4、火箭具有重大的缺欠,任何時候火箭的反推力不僅要使有效載荷產生加速度,二級火箭及多級火箭,而且也要使龐大的殼體產生同樣的加速度,這就限制火箭速度的提高,多級火箭可以克服這一缺欠,那就是燃料裝得越多其殼體也就越大,當前一級火箭燃料燃燒終了時,連同其殼體一起拋棄,后一級火箭開始工作,二級火箭由3部分組成,第一級火箭,第二級火箭和載荷,設第一級火箭總質量為,其內攜帶燃料的質量為,且,第二級火箭總質量為,其內攜帶燃料的質量為,載荷的質量為,設燃料從火箭噴出的相對速度,=常數,方向與火箭速度方向相反,每秒噴出的燃料質量也為常數,火箭由靜止開始運動,略去重力,由例6.1式（b）可得,第一級火箭的燃料全部噴射

5、完時火箭的速度為,（a）,當第二級火箭的燃料也全部噴射完時 速度為,（b）,如果取,則由式（a）及（b）可得,如果用單級火箭,仍采用上面的參數,所求得的速度就要低的多,設二級火箭的總質量（不含載荷質量 ）,為常量,則 的不同分配將影響火箭的速度,將式（a）代入式（b）,記,則 是 的函數,為求 的最大值,將其對 求導,并令,化簡并只取,M/P,冪級數展開的首項,得,（d）,滿足式（c）的 將使 達到最大值,將式（c）代入式（a）（b）,略去 及 的高次項,可得,（d）,如果取,則,如果仍用,則由式（d）可得,這顯然比 時的 要大得多,下面討論多級火箭,設各級火箭的質量分別為,各級火箭內的燃料質

6、量為,載荷質量為,各級火箭噴射氣體的相對速度方向都與火箭速度方向相反,大小分別為,不計重力,則由例61式（b）可以求得,第,i,級火箭在燃料噴射完畢時所增加的速度,令,（e）,則得第,n,級火箭燃料燃燒完畢時的速度,（f）,利用拉格朗日乘子法,可以求得滿足下式的 將使火箭的總質量為最小值,（g）,式中,為拉格朗日乘子,將式（g）代入式（f）,設 皆為已知,則可以求得,再將求得的,代入式（,g,）,即可得,如果有,則用上面方法可以求得,（h）,（i）,式（i）表明,欲使火箭總質量為最小,火箭中每一級火箭燃燒完畢所增加的速度 值應相同,即欲使火箭達到給定的最終速度,使火箭總質量為最小值的條件是,火

7、箭中每一級燃料燃燒完畢時所增加的速度必須相同,滿足這一條件時總質量為,（j）,利用 相等這一條件,可以求得多級火箭中各級火箭之間的質量分配,例如二級火箭（,n,=2,）,三級火箭（,n,=3,）,如圖所示,橫坐標,n,代表火箭級數,縱坐標 代表火箭總質量 與載荷質量 之比,欲將人造地球衛(wèi)星送入軌道,火箭的最終速度應達到,設,按上面公式可以求得火箭總質量的最小值：,一級火箭（,n,=1,）,（即不可能達到7.8km/s）,二級火箭（,n,=2,）,三級火箭（,n,=3,）,四級火箭（,n,=4,）,五級火箭（,n,=5,）,n,級火箭（,n,）,6,2,變質量質點的運動學普遍定理,研究變質量質點

8、的動量,動量矩及動能的變化規(guī)律所使用的動量定理、動量矩定理,及動能定理統(tǒng)稱變質量質點的動力學普遍定理,1.,變質量質點的動量定理,（69）,將式（62）（63）代入式（69）得,（610）,記并入（或放出）質量的絕對速度為,即,則式（610）可寫為,（611）,記,（612）,稱 為由于并入（或放出）質量的絕對速度引起的反推力,將其代入式（611）得,（613）,式（613）稱為變質量質點動量定理的微分形式：,變質量質點的動量對時間的導數,等于作用其上的外力與由于并入（或放出）,質量的絕對速度而引起的反推力的矢量和,將式（613）積分,設,t,=0,時質點質量為,速度為,得,（614）,式（6

9、14）稱為變質量質點動量定理的積分形式,如果并入或放出質量的絕對速度,則式（613）成為,此式與不變質量質點的動量定理形式相同,但其,m=m(t),是變量,將其積分有,顯然,即使,也不是常量,2.,變質量質點的動量矩定理,變質量質點對任一點,O,的動量矩為,（615）,式中 為從點,O,指向該質點的矢徑,點,O,為定點,將變質量質點動量定理的微分形式（613）代入可得,（616）,式（616）稱變質量質點的動量矩定理：,變質量質點對某定點的動量矩對時間的導數,等于作用于質點上外力的合力對,該點之矩與由于并入（或放出）,質量的絕對速度引起的反推力對該點力矩的矢量和,3.,變質量質點的動量定理,變

10、質量質點動量定理的微分形式（613）可以寫成,（617）,將上式各項點乘,得,由于,因此上式可寫為,（618）,或,（619）,式（618）或（619）稱變質量質點的動能定理：,變質量質點動能的微分與放出（或并入）的元質量由于,其牽連速度而具有的動能的代數和,等于作用于質點上外力合力的元功與由于并入（或放出）,質量的絕對速度引起的反推力所作的元功之和,由于,即,因此式（618）也可以寫成為,（620）,因此變質量質點的動能定理也可以這樣敘述：,變質量質點動能的微分與并入（或放出）的元質量,由于牽連運動而具有的動能之差,等于作用于質點上外力的合力與反推力所作的元功之和,例,6,3,圖為傳送砂子的

11、裝置,然后流出斜面,設砂子以流量,q,=,常數（,kg/s,）從大漏斗中流下,斜面上砂子是定常流動,砂子從漏斗鉛直流下,其質量保持不變,不計摩擦,求傾角應為多少,以速度 流下傾角為,的傳送帶上并沿斜面下滑,l,長度,若使砂子在斜面上的速度 為常數,解：,研究傳送帶上的砂子,由變質量質點的動能定理式（618）,有,式中 為漏斗流入到傳送帶上的砂子質量元,為從傳送帶上流出的砂子質量元,為 流出時的絕對速度,有,常數,將這些關系式代入前式得,式中s為砂子沿傳送帶方向的位移,由于流量q,質量m及斜面長度l之間有關系：,或,因此有,即,得,例,6,4,設小方塊長度極短,初始靜止,小方塊最外端在桌邊,總長

12、度為,l,的一排方塊放在圖所示水平桌面上,求在如下兩種情況下,當小方塊已經有一半離開桌面時,總質量為,數量很多,相鄰的小方塊互相接觸而不連接,如圖加一水平的常力,留在桌面上的小方塊的速度,（1）忽略桌面上的摩擦力,（,2,）桌面與小方塊間的動滑動摩擦因數為,f,解：,研究仍在桌面上的一群小方塊,并將其視為變質量質點,小方塊離開桌面瞬時,選坐標,Ox,（1）由于,且無摩擦,將動量定理式（,6,10,）投影到軸,Ox,上,有,式中,化簡后分離變量得,將上式積分,利用初始條件,x=l,時,v,0,當,x=l/,2,時,有,（2）當有摩擦時,式（610）成為,化簡后得到,將上式分離變量并積分,利用初始條件,x=l,時,v,0,利用,x=l/,2,時,有,