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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第四章,特征值和特征向量、,矩陣的相似對角化,第一節(jié) 特征值與特征向量,一 特征值與特征向量的概念,二 特征值和特征向量的求法,第一節(jié) 特征值與特征向量,三 特征值和特征向量的性質,一、特征值與特征向量的概念,定義,為階方陣，,為數，,為維非零向量，,若,則,稱為,的,特征值,，,稱為,的,特征向量,（）,注,并不一定唯一；,階方陣,的特征值，就是使齊次線性方程組,特征向量，特征值問題只針對與方陣；,有非零解的,值，即滿足,的,都是,方陣,的特征值,定義,稱以,為未知數的一元次方程,為,的,特征方程,定義,

2、稱以,為變量的一元次多項式,為,的,特征多項式,定理,設階方陣的特征值為,則,證明,當是,的特征值時，,的特征多項,式可分解為,令,得,即,證明,因為行列式,它的展開式中，主對角線上元素的乘積,是其中的一項，由行列式的定義，展開式中的其它項至,多含個主對角線上的元素，,含的項只能在主對角線上元素的乘積項中,故有,比較，有,因此，特征多項式中,定義,方陣,的主對角線上的元素之和稱為方陣,的,跡,.,記為,二、特征值和特征向量的性質,推論,階方陣,可逆,的個特征值全不為零.,若數,為可逆陣的,的特征值，,則 為 的特征值,推論,則 為 的特征值,推論,則 為 的特征值,推論,則 為 的特征值,推論

3、,特別,單位陣,的一個,特征值為,三、應用舉例,、若,為可逆陣,的特征值，則,的一個特征值為（）,、證階方陣,的滿足，則,的特征值為,或,、三階方陣,的三個特征值為、，則,（）,、求下列方陣的特征值與特征向量,四、特征向量的性質,定理,互不相等的特征值所對應的特征向量線性無關。,定理,互不相等的特征值對應的各自線性無關的特征,向量并在一塊，所得的向量組仍然,線性無關。,定理,若階矩陣,的任重,特征值,對應的線性無,關的特征,向量,的個數不超過,一 相似矩陣的定義、性質,二 矩陣可相似對角化的條件,三 應用舉例,第二節(jié) 矩陣相似對角化,一、定義,定義,設,、,都是階矩陣，若有可逆矩陣,，,使得,

4、則稱,是,的,相似矩陣,，或者說矩陣,與,相似,稱為對,進行,相似變換,，,對,進行運算,可逆矩陣,稱為把,變成,的,相似變換矩陣,記作：,二、性質,（1）反身性：,（2）對稱性：,（3）傳遞性：,；,，則,；,，,，則,；,（4）,，則,（5）,，則,（6）,，且,可逆，則,定理,若階矩陣,與,相似，則,與,有相同的特征,多項式，從而,與,有相同的特征值,推論,若階矩陣,與對角矩陣,相似，,就是,的個特征值,則,而對對角陣,有,則,若有可逆,矩陣,使,（8）,，則,的多項式,特別,這樣可以方便地計算,的多項式,（7）,，則,若能尋得相似變換矩陣,使,對階方陣,，,稱之為,把方陣,對角化,三、

5、相似對角化,定理的推論說明，,如果階矩陣,與對角矩陣,相,似，,那么，使得,的矩陣,又是怎樣構成的呢？,則,的主對角線上的元素就是,的全部特征值,設存在,可逆，,使得,有,于是有,因為,可逆，,故,于是,是,的個線性,無,關的特征向量。,反之，,即,設,可逆，且,則,若,有個線性無關的特征向量,所以,即,與對角矩陣,相似,定理,階矩陣,能與對角矩陣,相似,有階線性無關的特征向量,推論,如果階矩陣,有個不同的特征值，則矩陣,注意,中的列向量,的排列順序要與,的順序一致,（1）,可相似對角化,（2）,是,的基礎解系中的解向量，,因,的取法不是唯一的，,故,因此,也是不唯一的,（3）,所以如果不計,

6、的排列順序，,的根只有個（重根按重數計算）,又,是唯一的,則,推論,若階矩陣,可相似對角化,的任重,特征值,對應個線性無關的特征,向量,例題：,3.實對稱矩陣的相似對角化,1.n元實向量的內積、施密特正交化方法、正交矩陣,2.實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質,第三節(jié)實對稱矩陣的相似對角化,一、,內積的定義與性質,1、定義,設維實向量,稱實數,為向量,與,的,內積,，記作,注：,內積是向量的一種運算，用矩陣形式表示，有,、性質,（1）對稱性：,（2）線性性：,（3）正定性：,當且僅當,時,推廣性質：,、長度的概念,二、向量的長度與夾角,令,為維向量,的,長度,（,模,或,范數,）.,特別,長度

7、為的向量稱為,單位向量,.,（1）正定性：,（2）齊次性：,（3）三角不等式：,、性質,（4）柯西施瓦茲（,CauchySchwarz,）不等式:,當且僅當,與,的線性相關時，等號成立.,注,當,時，,由非零向量,得到單位向量,是,的單位向量.,稱為把,單位化,或,標準化,.,的過程,、夾角,設,與,為維空間的兩個非零向量，,與,的夾,角的余弦為,因此,與,的,夾角,為,例,解,練習,三、正交向量組及其求法,1、正交,當,，稱,與,正交,.,注,若，則,與任何向量都正交.,對于非零向量,與,，,2、正交組,若向量組中的向量兩兩正交，且均為非零向量，則,這個向量組稱為,正交向量組,，簡稱,正交組

8、,.,3、標準正交組,由單位向量組成的正交組稱為,標準正交組,.,定理,4、性質,正交向量組必為線性無關組.,定理,若向量,與,與,中每個向量都正交，,則,的任一線性組合也正交.,5、正交基,若,正交向量組,則稱,為向量空間,上的一個,正交基,.,為向量空間,上的一個基，,6、標準正交基,若標準,正交組,則稱,為向量空間,上的一個,標準正交基,.,為向量空間,上的一個基，,7、施密特（,Schmidt,）正交化法,設,是向量空間,的一個基，要求向量空,間,的一個標準正交基，就是,要找到一組兩兩正交的單,位向量,，使,與,等價，,此問題稱為把,這組基,標準正交化,.,1）正交化,令,就得到,的一

9、個標準正交向量組.,的一組標準正交基.,如果,上述方法稱為施密特,（,Schmidt,）,正交化法.,2）標準化,令,是,的一組基，則,就是,注,則,兩兩正交，且與,等價.,上述,方法中的兩個向量組對任意的,與,都是等價的.,四、應用舉例,例1,證明：中，勾股定理,成立,的充要條件是正交.,解,所以,成立的充要條件是,即正交.,已知三維向量空間中，,例2,正交，,試求,是三維向量空間的一個正交基.,解,設,則,即,例4,已知向量,求的一個標準,正交基.,解,設非零向量 都于正交，,即滿足方程,或,其基礎解系為,令,1）正交化,令,2）標準化,令,五、正交矩陣和正交變換,1、定義,如果階矩陣滿足

10、：,則稱,為,正交矩陣,.,則,可表示為,若,按列分塊表示為,亦即,其中,的列向量是標準正交組.,的一個標準正交基.,正交矩陣,的個列（行）向量構成向量空間,2、正交矩陣的充要條件,的行向量是標準正交組.,注,3、正交變換,若,為正交矩陣，則,=,線性變換稱為,正交變換,.,設,=,為,正交變換,，則有,經,正交變換后向量的長度保持不變,內積保持不變,注,從而,夾角保持不變,.,判斷下列矩陣是否為正交矩陣.,定理,對稱矩陣的特征值為實數.,說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實對稱矩陣,定理,對稱矩陣的互異特征值對應的特征向量正交.,定理,若階對稱陣,的任重,特征值對應的線性,無關的特征,向量恰有個（不證）,定理,若為階對稱陣，則必有正交矩陣,，使得,六、實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質,根據上述結論，利用正交矩陣將對稱矩陣化,為對角矩陣，其具體步驟為：,將特征向量正交化;,3.,將特征向量單位化.,4.,2.,1.,二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法,例,設矩陣,求一個正交矩陣P，使得,為對角陣。,例,設三階對稱矩陣A的特征值為1,2,3;矩陣A的屬于,特征值1，2的特征向量分別為,（1）,A的屬于特征值3的特征向量,。,（2）,求矩陣A,。,